高考动量守恒“高频模型”分析与归纳

广西

(作者单位：广西区北海市合浦廉州中学)

动量守恒“高频模型”命题特点分析与归纳

“高频模型”为历年高考试题中出现频率比较高的模型，大多是高中物理主干知识。动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一，也是高中物理教学的重要内容，同时还是高考考查的重点和热点，在历年高考中出现的频率很高，尤其是几种典型的“高频模型”。这些模型多立足于现实生活的实际问题，考查学生物理核心素养及综合分析能力。笔者通过研究历年高考试题，总结几种模型，并归纳解决此类题型一些方法，以飨读者。

一、人船模型

人船模型是一种反冲现象，即由人和船两个物体构成的系统，在该系统中，人和船在相互作用下各自运动，只有人与船的摩擦力，即摩擦力是内力，水面对船的阻力可以忽略不计，运动过程中该系统所受到的合外力为零，即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒。这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其他能向动能转化。可以把这类问题统称为反冲。

【例1】如图1所示，质量为m的人站在质量为M长为L静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

图1

【点评】此结论与人在船上行走的速度大小无关，不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的，人船模型问题是我们常遇到问题之一，本题所用方法和结果有普遍意义，但应注意l1、l2必须是相对同一参考系。

【扩展1】如图2所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为m，顶端高度为h，现有一质量为M的物体(M>m，且物体可以看做质点)，沿光滑斜面下滑，当物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是

( )

图2

【分析】由于斜面体放在光滑地面上，则物体下滑的过程中，斜面后退，由平均动量守恒可列式求解，列式时要抓住两物体运动的水平位移之和等于斜面的水平长度。

【点评】本题考查平均动量守恒定律的应用，要注意根据动量守恒得出两物体质量与水平长度的乘积也是守恒的。

二、滑块模型

滑块模型是指物块在木板上运动的情景，是一种物体相对运动的现象，由于两物体之间有相互作用力，会出现相对滑动的物理情景。一般来说，滑块受到木板的摩擦力约束，只能在一个平面上运动，无论相对静止还是相对滑动，都要分析两个物体之间的相互作用力。在高考中出现的题型各种各样，主要以受力分析为突破口进行考查，涉及动量守恒、牛顿运动定律、能量守恒等内容。

【例2】如图3所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m

图3

(1)A、B最后的速度大小和方向；

(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小。

【点评】本题关键是分析清楚两物体的运动过程，此类问题内部滑动摩擦力做功发热，能量守恒是我们常用方法Q=fs相对=Ek末-Ek初。

图4

(1)滑块C与A，B间的动摩擦因数及滑块C滑行的时间；

(2)若解除锁定，再让滑块C以同样的初速度滑上长木板A。则最终A、B的速度分别为多少？

【分析】A、B两个长木板锁定在光滑水平面上时，滑块C从长木板A的左端进入刚好能停在长木板B的右端时速度为零，由功能关系求动摩擦因数μ，利用动量定理求运动时间。若解除锁定，三个物体组成的系统动量守恒。最终C停在B上，且两者速度相等，根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解。

【点评】本题综合运用了动量守恒定律、动量定理和能量守恒定律，关键要正确选择研究对象和研究过程，把握隐含的临界情况和临界条件，以及知道摩擦产生的热量Q=fΔs=fL相对。

三、某一方向上的动量守恒

动量守恒定律是矢量式，研究的很多系统中，在某一方向上，系统符合动量守恒定律的条件，那么，在这一方向上则可以利用动量守恒定律列方程，计算复杂的运动过程。

【例3】如图5所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，与AB平行，由静止释放该小球，则当细绳与AB成θ角时，圆环移动的距离是多少？

图5

【点评】本题是以某一方向动量守恒为特点，以动量守恒定律等知识为依托，考查动量守恒条件的理解与灵活运用能力。

【扩展3】如图6所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为d，m2的左边有一固定挡板，已知m1≥m2，m1由图示位置静止释放，当m1与m2相距最近时m1速度为v1，则求在以后的运动过程中( )

图6

A.m1的最小速度是0

C.m2的最大速度是v1

四、爆炸类问题

爆炸类的模型，主要考查的是研究系统某一瞬间出现爆炸的情景。在爆炸的过程中，内力远大于外力，则系统可以近似处理为动量守恒。爆炸模型类似反冲特点，这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其他能向动能转化。

【例4】抛出的手雷在最高点时水平速度为10 m/s，这时突然炸成两块，其中大块质量300 g仍按原方向飞行，其速度测得为50 m/s，另一小块质量为200 g，求它的速度的大小和方向。

【分析】手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力G=(m1+m2)g，可见系统的动量并不守恒。但在爆炸瞬间，内力远大于外力时，外力可以不计，系统的动量近似守恒。

【点评】爆炸类的题型类似于反冲，都是由其他形式的能转化为动能。

五、子弹打木块模型

子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型模型，它的特点是子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中与木块共同运动，下面从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。

【例5】设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

图7

【点评】这个式子的物理意义为f·d恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见f·d=Q，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力，摩擦生热与路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移)。做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时代错数据。

图8

【点评】对于复杂的物理问题要搞清物理过程，要明确是否满足动量或机械能的守恒条件，特别是碰后的两物体有共同速度的情况，机械能损失最大，所以动量守恒时，机械能不一定守恒。

六、碰撞模型

【例6】甲乙两球在水平光滑轨道上同方向运动，已知它们的动量分别为P甲=5 kg·m/s，P乙=7 kg·m/s，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球动量变为10 kg·m/s，则两球质量m甲与m乙间关系为

( )

A.m甲=m乙B.2m甲=m乙

C.4m甲=m乙D.6m甲=m乙

【点评】碰撞的特点为①作用时间极短，内力远大于外力，总动量总是守恒的；②碰撞过程中，总动能不增加，因为没有其他形式的能量转化为动能；③碰撞过程，两物体产生的位移可忽略。

【扩展3】静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=1.0 kg，mB=4.0 kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0 m，如图9所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0 J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.20，重力加速度取g=10 m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。

图9

(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；

(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？

(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？

七、三体两次作用模型(能量和动量综合问题)

对于高考压轴题来说，运动的多重性、研究对象的复杂性是解决问题的关键。三体两次作用的问题，主要是多过程交织在一起，试题具有一定的难度。

【例7】如图10所示，长木板A静止放在水平地面上，其右端叠放着物块B，左端恰好在O点，水平地面以O点为界，左侧光滑，右侧粗糙。物块C(可以看作质点)和物块D之间夹着一根被压缩的弹簧，并用细线锁住，此时弹簧的弹性势能为8 J，两者以共同的速度v0=6 m/s向右运动，某时刻细线突然断开，物块C与弹簧分离后，撤去物块D，物块C与长木板A碰撞并与之粘连(碰撞时间极短)。已知A、B、C、D的质量均为m=2 kg，木板A的长度l=6 m，A、C与粗糙地面间的动摩擦因数相同，均为μ1=0.1，A、B间的动摩擦因数为μ2=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g=10 m/s2。

图10

(1)求物块C和弹簧分离时物块D的速度大小；

(2)求最终物块B离长木板A左端的距离；

(3)若物块C与长木板A碰撞的同时，在长木板A的右端施加一水平向右的恒力为F=18 N，经过一段时间后撤去，物块B刚好不从长木板的左端滑出，求恒力F作用的时间。

图11

【点评】本题的问题比较复杂，过程也比较多，对于复杂的物理问题要搞清物理过程，要明确是否满足动量或机械能的守恒条件，特别是碰后的两物体有共同速度的情况，机械能损失最大，所以动量守恒时，机械能不一定守恒，这时应注意用动能定理或者功能关系进行求解。