浅谈分类讨论法在初中数学中的应用

邓 燕

（广西壮族自治区柳州市第四十七中学，广西 柳州 545000）

学会用分类讨论的方法解决数学问题是初中数学重点学习的内容之一，这种方法在数学中的应用非常广泛，它能揭示数学学科的本质属性并进行归纳，具有较强的逻辑性和概括性，它不仅能帮助学生解决数学问题，还能提高学生的逻辑思维能力和创新能力。

一、培养学生分类讨论思想的重要性

数学是一门来自生活的学科，生活中处处可见数学的踪影。如，我们把有相同爱好的学

生归为一类，把动物分成哺乳动物、胎生动物；把植物分为裸子植物、被子植物等等，这些都涉及到分类的思想。在数学中，分类思想也是特别常见，如我们把多边形分成三角形、四边形等，将函数分为一次函数、二次函数、反比例函数等等，这些都是分类思想的体现。

此外，初中阶段是学生思维养成的关键时期，数学中的一些概念、定理等都是在一定的科学体系下展开的，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的，在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。

二、数学概念引起的分类讨论

在数学上，有些概念本身就含有分类讨论的思想，如|a|，我们在讨论绝对值a等于什么的时候，得看一下a的正负，如果a为大于等于零的数，那么|a|就等于a本身。如果a为负数，那么|a|就等于它的相反数，及-a。

我们来看下面的一道例题：

若|a|= 5,|b|= 3,a+b＞0，那么a-b的值是多少？

我们在做这道题时，首先要先分析a，b的值是多少，由绝对值的定义可知，a和b的值都是两种情况，即a的值为正负5，b的值为正负3，那么此时再计算a-b的值时就需要分类讨论了。根据题里面的已知条件，a+b ＞ 0可知，a的值不能为-5，而b的值可以是正负3，所以最后可得出a-b的值是2或8。

三、创设生活问题情境，引发分类讨论

初中阶段学生的思维意识并没有很成熟，遇到问题时不知道把问题进行怎样的分类。这就需要我们结合教学内容，给他们创设分类的情境来启发诱导，培养自觉应用分类讨论解决问题的意识。例如我们看一道和生活相关的分类讨论题：

甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠，那么顾客选择哪家超市更划算。

根据生活经验，我们知道，如果购买的商品价格没有到300元，甲超市此时没有优惠，那肯定是选择乙超市。倘若购买的商品价钱较多时，甲超市的优惠力度大，选择甲超市更划算一些，这就涉及到了分类讨论。

首先可以假设顾客商品的价格是x元，由题意可以得到：

①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600.∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；

②当0.8x+60＞0.85x+30时，解得x＜600，∴x＜600.即顾客购买商品不满600元时，到乙超市更优惠；

③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠。

四、归纳总结，强化分类讨论思想

数学是一门需要不断总结归纳的学科，在学习数学的过程中，对数学所体现的分类讨论思想要不断反思，领悟分类讨论思想的深层意义。首先，通过解题与反思活动，从具体数学问题与范例中概括、归纳解题方法，充分挖掘出隐含在所要教学内容中的分类讨论思想；其次，在解决问题的过程中，充分发挥数学分类讨论思想方法，对发现解题途径的定向、联想与转化功能，实现举一反三、触类旁通。培养学生养成反思的良好习惯，对于课本中的例题与习题，在教学后进行充分的反思：（1）这种方法是如何想出来的？关键的地方在哪？为什么有时想不出来？（2）还能找到更好的解题方法吗？这个方法有实用性吗？（3）通过解决一个问题，我们得到了什么？这样的反思能较好的体现思维本质，从而形成数学思想。例如：在学习三角形后，就对整章内容进行总结，对三角形按边分类和按角分类进行强化记忆，对一些特殊三角形的性质再次进行推理验证。

总之，初中数学中的分类讨论是一种重要的数学思想，有利于增强学生思维的条理性、缜密性和科学性。教师在教学中结合教材，创设情境，强化需要区分情况进行讨论的问题，启发学生积极思维，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。通过在教学中着重渗透数学思想方法的学习，相信学生在认知层次上会得到极大地提高，从而收到事半功倍的效果。