理解概念本质 探寻方法源头

叶智超

在学习“方差”的过程中，相当一部分同学对“方差”的理解仅仅是这样两个层面：一是把“方差越小，数据越稳定”以记忆的形式储藏于脑海;二是比较两组数据的方差时，就一定要通过方差公式进行计算后再比较，忽视了对“方差”的本质的理解。为了帮助同学们能深刻地认识“方差”的本质，请看下面几个问题。

例1 甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，甲、乙两人的测试成绩如下：

则测试成绩比较稳定的是（）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙两人成绩稳定情况相同

D.无法确定

【解析】作为一道选择题，本题试图通过“点状图”的呈现方式考查同学们对数据“稳定”程度的理解。几乎所有版本的数学教材中，对“方差”的教学引入都使用了“点状图”，因此，本题再现了对“方差”概念的探索和理解过程。解决本题的策略一是通过计算，先算出两组数据的平均数，再通过方差的计算公式——s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]计算出两组数据的方差，从而比较得出甲的成绩比较稳定。策略二是观察。题中数据从小到大排列，就是便于同学们观察，特别是方差本身还蕴含了对“平均数”的理解，本题可从“形”中直接判断平均成绩为8.5环，接着从“形”上判断出甲的成绩中所有数据与平均数的偏离情况要小于乙的成绩中所有数据与平均数的偏离情况，从而得出甲的成绩比较稳定。

【说明】显然，策略一费时、易错。因此本题的价值就在于同学们对统计特征数的本质的理解——根据距离平均水平的波动情况来判断方差的大小，而不仅仅关注计算技能。

再请同学们观察下面两题：

例2 甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击20次，甲、乙两人的测试成绩如下表：

[甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 ][乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 ]

则测试成绩比较稳定的是（）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙两人成绩稳定情况相同

D.无法确定

【解析】相较例1，本题更改了数据的呈现形式，从最能直接反映数据波动情况的點状图改为利用表格呈现。本题的解决策略仍然与例1的相同。一是通过计算，先算出两组数据的平均数，再通过方差的计算公式——s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]计算出两组数据的方差，从而比较得出甲的成绩比较稳定。策略二是观察。本题可从“形”中直接判断平均成绩仍为8.5环，再从“形”上判断出甲的成绩中所有数据与平均数的偏离程度要小于乙的成绩中所有数据与平均数的偏离程度，从而得出甲的成绩比较稳定。

[甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 ][乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 ][平均数]

【说明】本题的价值就在于同学们能利用例1中根据“形”直观地观察距离平均水平的波动情况来判断方差的大小。从这个意义上说，本题具有较高的可推广性和较好的理解基本概念的功能。

例3 为了从小明和小刚两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：

小明：7，8，7，8，10;

小刚：5，9，10，7，9。

（1）填写下表：

[ 平均数 中位数 方差 小明 8 1 小刚 9 3.2 ]

（2）根据以上信息，若教练选择小明参加射击比赛，教练的理由是什么？

（3）若小刚再射击2次，分别命中7环、9环，则小刚这7次射击成绩的方差 。（填“变大”“不变”或“变小”）

【解析】本题通过呈现两组简单数据，基本覆盖了统计中反映数据集中程度和离散程度的统计特征数的考查。第（1）问是技能考查，即直接考查同学们是否会计算平均数和中位数。第（2）问是统计的应用价值的考查，即用学习过的统计特征数来做出决策。第（3）问则是理解层次的考查，即关注的是对方差这个统计特征数的本质的理解，由于该题型是做出一个选择，所以真正理解方差本质的同学会做得既快又准。

本题的答案是：（1）8，8;（2）小明与小刚射击成绩的平均数都是8，而小明射击成绩的方差小，因此成绩更稳定，所以，教练选择小明参加射击比赛;（3）变小。由于小刚射击两次分别为7环、9环，平均成绩仍为8环，新的数据比原来数据稳定，所以方差变小。

为了更深入对集中量数和离散量数的本质理解，同学们在解决本题后还可进行反思，可以追问自己几个问题，如：“小明再射击一次，命中几环，6次射击成绩的中位数不会变？”“若小刚再射击2次，命中6.5环和9.5环，则小刚这7次射击成绩的方差发生变化吗？命中6环和10环呢？你认为他再射击2次（保证平均数不变，还是8环），命中几环，方差不变？”等，从而可帮助同学们对统计特征数的认识从仅仅知道计算公式上升到逐步理解本质。

【说明】为了最大化地引导同学们对统计特征数本质的理解，3道题在数据的呈现时，有意识地以点状图、表格及数据本身三种不同形式呈现，意图让同学们能深刻理解平均数、方差的概念，只要看到图，就可以知道两组数据的平均数情况、数据距离平均水平波动情况，直观地判断方差的大小。

（作者单位：南京航空航天大学附属初级中学）