HPM视角下的课堂优化

史琼怡

摘要： 本文从“椭圆定义”入手剖析教材，发现学生认知“疑点”。借助HPM微课进行教学重构，意在通过数学史渗透发展学生核心素养，使学生学会把握数学本质，达到落实“立德树人”的教育目标。

关键词： 数学本质;HPM微课;核心素养;优化教学

中图分类号： G633.6            文献标识码： A  文章编号： 1992-7711（2019）22-056-1

一、反思教材，發现教学难点

椭圆是学生接触的首个圆锥曲线，因此它的教学起着举足轻重的示范作用。教材由两个探究活动引出定义。

活动一：将长绳的两端固定于同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

活动二：将长绳的两端分别固定于两点，移动笔尖。

学生通过类比发现椭圆与圆的共性，从而得到轨迹定义。但椭圆的几何本源——截线定义被置于章头图中，荷兰数学家旦德林发明的双球模型呈现于课后的“探究与发现”。大多数教师易忽略这两处几何素材。学生从生活经验中已经有了椭圆形状的表象，能自然地理解截线定义，后经学习又获得了椭圆代数形式的表象，即轨迹定义。但传统教学并未将这两者联系起来，导致学生认知割裂。旦德林的双球模型实现了从截线定义到轨迹定义的过渡，是椭圆教学的理想模型。该模型不仅能展现椭圆截线定义又蕴含了轨迹定义，既有几何直观又有严谨证明，帮助学生填平两种表象间的鸿沟，深刻理解椭圆内涵。

二、借力微课，重构教学场景

HPM微课选取三个常见情境作为引入：“半杯水”的设计为截线定义铺垫;“握力器的形变”通过演示圆到椭圆的变换，揭示两者的联系;“球的影子”是为引出探究实验和双球模型。微课设计了以下环节帮助构造双球模型：①用几何画板模拟平行光照射小球，研究球在地面上的影子，并将平行光线看做一个与球相切的圆柱面，影子的椭圆形轮廓可以看成圆柱面与平面的交线。（图1）②寻找椭圆轮廓上的点P，光线与球面的切点Q，球与地面切点F之间的关系。③模型竖置，逐步构造双球模型。（图2）

三、基于素养，评价教学效果

史宁中先生提出数学教育的终极目标：会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。“三会”目标正是数学核心素养的具体表现。HPM微课旨在通过数学史渗透教学发展学生核心素养，使学生学会把握数学本质，扎实“四基”，提升“四能”。

1.发展数学抽象素养

数学抽象主要是指从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从具体中抽象出一般规律和结构，它是形成理性思维的基础，反映数学本质。微课共进行了五次数学抽象。①通过三个椭圆实物，唤起学生脑海中对椭圆形状的直观表象，从而引出截线定义。②抽象实验过程，将平行光线看做一个与球相切的圆柱面，影子的椭圆形轮廓看成圆柱面与平面的交线。③研究“三点”关系，抽象成数学等式。④进一步抽象构造双球模型，将原先的不变关系转化成两球切点与椭圆上点的关系。⑤发现模型中的定长，将点线关系一般化，得到椭圆的轨迹定义。在一次次抽象中，学生逐渐清晰椭圆的几何本质，学会用数学的眼光观察现实世界，培养在生活中用数学思维思考问题的习惯。

2.培育直观想象素养

直观想象不等同于“数形结合”，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立数与形的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路。正如数学家克莱因曾说：“当一个数学主题在直观上变得显然时，才可以认为研究到头了。”微课通过以下环节培育直观想象素养：①展示正对顶圆锥，动画演示当不同角度的平面截对顶圆锥得到的三类曲线，宏观上发现三类曲线的联系，帮助学生构造知识框架。②通过平行光照射小球实验研究椭圆影子上的点与两切点间线段关系，并让点动起来，进一步寻探究不变量，帮助学生顺利进行数学抽象。动画的介入能发展学生几何直观和空间想象能力，让学生在具体情境中感悟数学本质。

在回归概念本质的同时，这两节HPM微课还渗透着育人的理念，用实例教学生数学地观察，数学地思考，渗透着数学美感和精神品质教育。

HPM微课是建立在对课本深入理解基础上，突出科学性、史实性、人文性、趣味性等特点，优化教学。其教学意义在于：利用数学史的教育价值，赋予数学人文意义，让学生理解数学本质，最终将其内化为核心素养。数学教师要革新教育理念，大胆创新，将数学史的“料”与微课的“形”相结合，使数学史焕发新活力，为课堂添砖加瓦，助力学生素养提升。

[参考文献]

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018;3-10.

[2]孙雨琴，娄慧敏，朱哲.HPM视角下高中数学课堂教学的特点初探[J].苏州：中学数学月刊，2018（11）：45-48.

注：本文是全国教育科学“十三五”规划2018年度教育部重点课题“基于HPM视角下的高中数学系列微课开发研究”（课题批准号：DCA180419）的阶段研究成果。

（作者单位：浙江省宁波市五乡中学，浙江 宁波 315000）