基于Matlab的加工钻头螺旋槽用砂轮截形求解

董 良，董黎敏，王泽巍，王 瑞，贠 良

(1．天津理工大学机械工程学院,天津 300384；2．天津市宏维刀具有限公司，天津 300110)

0 前言

无论是在加工钻头螺旋槽用砂轮CAD系统或者加工立铣刀螺旋槽用砂轮CAD系统中，都离不开砂轮截形的计算[1-2]。在反求螺旋槽用砂轮轴向截形时，目前常用的方法是求解出在砂轮加工螺旋面时砂轮回转表面与螺旋面的接触点，根据接触点既在砂轮回转表面上也在螺旋面上的条件，求解得到砂轮的轴向截形。可以根据螺旋面上的接触点处的公法线必须相交于砂轮轴线的原理得到接触点[3-4]。由于本文所求砂轮与被加工螺旋面的接触点处皆存在公法线，所以根据两个曲面接触点处的特性和曲面包络理论，得到两个曲面的接触表达式。由接触表达式得到与端截形上点共螺旋线的接触点，再经过坐标变换，得到砂轮轴向截形上的相应点。

1 砂轮设计原理

1.1 坐标系的建立及坐标变换

根据钻头、砂轮和机床的相对位置关系建立坐标系如图1所示。在机床上建立坐标系O3-x3y3z3，使其z3轴与钻头的轴线重合。在砂轮上建立坐标系O1-x1y1z1使z1轴与砂轮的轴线重合，x1轴与x3轴平行且方向一致。两个坐标系是固定的，不随砂轮和钻头运动，且其位置关系由O1点在机床坐标系O3-x3y3z3上的坐标(a,b,c)和砂轮轴z1与钻头轴线的夹角λ确定。而在钻头上建立的坐标系O2-x2y2z2是运动的，其固连在钻头上，随着钻头的运动而运动。

图1 三个坐标系的相对位置

砂轮坐标系先绕x1轴旋转λ角，然后平移(a,b,c),得到机床坐标系。从砂轮坐标系到机床坐标系的转换式为

(1)

由式(1)转化得到机床坐标系到砂轮坐标系的转换式为

(2)

1.2 螺旋曲面和砂轮回转表面方程式的建立

设钻头坐标系O2-x2y2z2起始位置与机床坐标系O3-x3y3z3重合。此时在O2-x2y2平面上建立的端截形，随着钻头坐标系或钻头做螺旋运动，即绕钻头轴线旋转同时沿其轴向移动，便可得到机床坐标系下的螺旋曲面。端截形的方程式为

(3)

式中，u2为参变数。

由式(3)可以得到螺旋曲面的方程为

(4)

式中，v2为角度参数，表示端截形从开始位置绕z3轴转过的角度。顺着z3轴看，以顺时针方向转动为正；ρ为螺旋参数，ρ=导程T/2π，表示端截形绕着z3轴转过单位角度时，沿z3轴线方向移动的距离。

在砂轮坐标系O1-x1y1z1上，砂轮回转表面可以由平面O1-x1z1上的母线(即待求的砂轮轴向截形)绕z1轴旋转得到。砂轮轴向截形的方程式表示为

(5)

式中，u1为参变数。

由式(5)可以得到砂轮坐标系下的砂轮回转表面方程式为

(6)

式中，v1为角度参数，表示砂轮轴向截形所在的平面绕砂轮轴线旋转的角度。

1.3 接触条件式

在用砂轮加工螺旋曲面时，砂轮回转表面必然与螺旋曲面相切接触。根据表面包络理论，砂轮回转表面与螺旋曲面的接触点处，两个曲面的共法线必须相交于砂轮的轴线。

图2 两个曲面接触点处向量关系图

砂轮回转表面和螺旋曲面接触点处向量关系如图2所示。O1系为砂轮坐标系，O3系为机床坐标系。L为接触迹线，A为其上任意一接触点，则两个曲面的接触点A处的共法线AD与砂轮轴线O1Z1相交于点B。点B处的法线BC垂直于砂轮轴线O1Z1和公法线AD，又因为直线O1A，砂轮轴线O1Z1和公法线AD共面，所以BC也垂直于直线O1A，则得到等式

(7)

式中，“·”和“×”分别为向量的点积和叉积。

(8)

(9)

(10)

由微分几何的知识可知，曲面上任意一点A(x3,y3,z3)的法线矢量可以表示为

(11)

式中，nx,ny,nz分别是曲面法线矢量的各轴分量为

(12)

(13)

将式(8)、(9)、(10)、(13)代入式(7)得到接触表达式

根据式(14)，若给定一组u2，则可以求得相应的一组v2。也就是说对于端截形上任一选定点，就可求解出一个相应的v2，表示端截形上该点转过一个v2角后就成为和该点共螺旋线的接触点了。

2 砂轮轴向截形求解

把式(3)中的端截形方程作为已知条件，通过将参变数u2均分为ui(i=1,2,…,m)得到m个点，用这m个点来代替端截形参与计算。将每个点对应的u2代入到接触方程(14)，使用Matlab软件对接触方程进行求解计算，可得到这些点成为接触点时需要转过的角度v2；然后将各个点对应的参变数u2和通过接触方程得到相应的v2代入螺旋面方程式(4)，可以得到螺旋面上接触点的坐标(x3,y3,z3)，由于螺旋面方程式(4)是在机床坐标系中建立的，所以得到的坐标(x3,y3,z3)也是机床坐标系下的坐标。将(x3,y3,z3)代入到机床坐标系到砂轮坐标系的转换式(2)中，得到接触点在砂轮坐标系内的坐标(x1,y1,z1)；最后由砂轮轴向截形方程式(15)求得砂轮轴向截形上的m个相应点。

(15)

图3 钻头的端截面示意图

3 基于Matlab砂轮截形求解

结合前面的理论知识，阐述基于Matlab反求磨削钻头螺旋槽砂轮截形的过程，该钻头为半径R=5.347 mm，半芯厚r=1.266 mm，α=30°(钻头螺旋角)的硬质合金钻头。

3.1 钻头螺旋槽端截形的建立

采用线切割的方法，用垂直于钻头轴线的平面，在切削刃上距端刃1/3处截掉端齿，得到螺旋槽端截面，如图3所示。保证端截面水平放置于DinoCapture显微镜下，利用其中的三点测圆弧直径命令和三点角度命令得到端截面的测绘图，如图4所示。可以发现图4中端截形的型线由半径大小不同的圆弧段和倒角1,2组成，又因为倒角1对应槽背部分对钻头的工作部分影响较小，所以暂时不考虑倒角1，而倒角2对应主切削刃部分，也用一段圆弧段来代替倒角2，于是端截形型线由三段圆弧段组成。根据测绘图，在钻头坐标系的初始位置(与机床坐标系重合)的O2-x2y2平面上建立如图5所示的端截形。

图4 DinoCapture显微镜下的端截面测绘图

图5 端截形数学模型

由图5可以得到式(3)的具体表达式。在图中R为钻头半径，r为半芯厚。CA段为大圆弧段，半径为R2，圆心为OR2，u2为大圆弧段的圆心角，圆心角的取值范围可以通过三角形OR2CO2中的余弦定理得到。AD段为小圆弧段，半径为R1，圆心为OR1，圆弧段对应的圆心角为σ。BD为倒角2对应的圆弧段，半径为R3，圆心为OR3，圆弧段对应的圆心角为ε。大小圆弧段的圆心皆在x2轴上。大圆弧段与小圆弧段内切，同时与芯厚圆外切，A点为切点且也在x2轴上。C点为大圆弧段与外圆的交点，D点为小圆弧段与倒角2对应的圆弧段的切点，B点为倒角2对应的圆弧段与外圆的交点。

则圆弧CA的方程为

(16)

u2的取值范围为

(17)

得到圆弧AB的方程为

(18)

u2的取值范围为

(270°,270°+δ)

(19)

根据OR2与OR3两个圆心的中心距和角度σ可以得到OR3的坐标为

(20)

从而得到倒角2对应的圆弧段的方程式为

(21)

u2的取值范围为

(90°+σ,90°+σ-ε)

(22)

3.2 钻头参数及钻头与砂轮位置参数的确定

根据测绘图4中的半芯厚数据与实际测量钻头的半芯厚的比例计算得到R2=3.836 mm，R1=3.016 mm，R3=2.023 mm(以上参数数据同样可以采用钻头半径测绘数据与实际测量钻头半径大小的比例来计算，且两个比例之间相差0.002)。同时由测绘图4得到σ=67.534°，ε=32.073°。将得到的钻头参数代入式(16～22)中，同时将式(17)、(19)、(22)中的角度转化为弧度，便于Matlab计算。分别得到大圆弧段方程为

(23)

式中，u2的取值范围为[3.4571,4.7124]，单位为rad。

小圆弧段方程为

(24)

式中，u2的取值范围为[4.7124，5.8911]，单位为rad。

倒角2对应的圆弧段方程为

(25)

式中，u2的取值范围为[2.7495，2.1897]，单位为rad。

钻头与砂轮位置参数的选取：本文将砂轮坐标系原点放置于机床坐标系的x3轴上，则砂轮坐标系原点在机床坐标系中的坐标可以表示为(a,0,0)。a表示机床坐标系原点与砂轮坐标系原点在x3轴方向上的距离，a的取值决定着砂轮直径的大小。虽然对于a的取值没有严格的规定，但是取值过小的话，得到的砂轮直径小，影响砂轮寿命；取值过大的话，得到的砂轮直径大，砂轮产生的干涉便会大。所以根据一般砂轮的直径，取a=80 mm。砂轮轴线与钻头轴线的夹角λ选择范围比较大，一般可以按照式(26)来选取。

λ=90°-α

(26)

式中，α为钻头螺旋角。

3.3 求解程序

建立的钻头端截形型线由三段圆弧组成，那么对应三个不同的数学表达式。代入式(14)和式(4)中得到不同的接触表达式和螺旋面方程式，所以每段圆弧上的点求解与此点共螺旋线的接触点就会不同。基于以上考虑，分别求得每段圆弧上的点共螺旋线的接触点合并得到整个型线上的点共螺旋线的接触点。经过数组运算实现坐标变换，最后得到这些接触点在砂轮轴向截形上的对应点。

在每个圆弧段对应的圆心角u2的取值范围内从头到尾均分得到10个u2，那么整个端截形型线将会用30个u2对应的点来参与计算。依据如图6所示的基于Matlab的砂轮轴向截形求解流程图编制程序。

图6 程序流程图

图7 由数组X求得数组Y的程序流程图

图6中多是数组之间的运算。图7为在求解大圆弧段上的点对应砂轮截形上的点，由数组X1求得数组Y1的程序流程图。

表1 砂轮轴向截形上30个相应点的坐标

3.4 结果分析

运行以上程序，可以求得砂轮轴向截形上相应点的坐标数组M6，也就是得到了砂轮截形上的30个相应点坐标，见表1。从表中可以发现第10个点和第11个点坐标值相同，第20个点和第21个点坐标值也相同。这是因为第10和第11个点对应大圆弧段与小圆弧段的公共点，第20个点和第21个点对应小圆弧段与倒角2对应圆弧段的公共点。同时这也解释了绘制出的散点图及拟合图上仅有28个点的现象，如图8所示。

图8 砂轮轴向截形上的30个相应点的散点图及拟合图

为了直观认识设计砂轮的整体结构，使用UG软件在草图界面通过坐标的形式创建表1中的点集，通过点集的样条拟合成线并且绕砂轮轴向旋转填充得到所求砂轮的实体模型。同时用通过砂轮轴线的平面剪切体，得到实体模型的轴向剖面如图9所示。

图9 所求砂轮实体造型及轴向剖面

4 结论

本文利用钻头端截面剖面和DinoCapture显微镜确定了端截形型线方程式。在已知端截形型线方程式的条件下，得到螺旋面的方程式，再根据砂轮回转表面与螺旋面接触点处的特性，推导出两个曲面接触时应满足的接触表达式。由此接触表达式可以得到与端截形的点共螺旋线的接触点，通过坐标转换，最终得到这些接触点在砂轮轴向截形上的相应点。利用Matlab基于以上理论编制程序，运行计算并绘制出砂轮轴向截形，并使用UG软件绘制出了砂轮的实体模型。本文研究可应用于非标超硬螺旋刃刀具的定制设计与制造中。