幂幺和幂等矩阵的一个性质的推广1

潘庆年，姚文杰

（惠州学院 数学与大数据学院，广东 惠州 516007）

其中，p,q是任意自然数.2010年，文献［3］中给出了幂幺矩阵的一般充要条件

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m个m次单位根.2011年，文献［5］中给出了幂等矩阵的一般充要条件

其中，ε1,…,εm-1是m-1个m-1次单位根.

这2个一般条件是否能像文献［2］一样进行推广呢?文章对该问题进行了探讨，并利用相似对角化和线性方程组的解等一些性质，将这2个一般条件进行了推广，并给出了证明.

1 预备知识

1.1 幂幺矩阵的性质

性质1［1］若A为n阶矩阵，且满足

性质2［2］若A为n阶矩阵，满足A2= E，则A可以相似对角化.

性质3［2］若A为n阶矩阵，且满足A2= E，则，其中，p、q是任意自然数.

性质4［3］若A为复数域上一个n阶的方阵且A3= E，则

其中，ε0、ε1、ε2是3次单位根.

性质5［3］若A为n阶方阵且满足A3= E，则方阵A可以相似对角化.

性质6［3］若A为复数域上一个n阶的方阵且Am= E，则

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m个m次单位根.

性质7［3］若A为n阶方阵且满足Am= E，则A可以相似对角化.

1.2 幂等矩阵的性质

性质8［1］若A为n阶矩阵，且满足A2= A，则

性质8［2］若A为n阶矩阵，且满足A2= A，则，其中，p,q是任意自然数.

性质9［4］若A为复数域上一个n阶的方阵且A3= A，则

性质10［5］若A为复数域上一个n阶的方阵且Am= A，则

其中，ε1,…,εm-1是m-1个m-1次单位根.

性质11［5］若A为n阶方阵且满足Am= A(m ≥2)，则A可以相似对角化.

2 主要结论

定理1 若A为复数域上n阶的方阵且A3= E，则其中，ε0、ε1、ε2是3次单位根，x,y,z是正整数.

证明：由性质5，我们知道A可以相似对角化，则存在一个矩阵P，使得

且对角阵为n阶矩阵.

不妨设A的特征值为a个ε0、b个ε1、c个ε2，则有a + b + c = n.

由

得

得

同理得

综上可得

定理2 （幂幺矩阵秩和定理）若A为复数域上n阶的方阵且Am= E，则

其中，ε0,ε1,…,εm-1是m个m次单位根，k0,k1,…,km-1是正整数.

证明：由性质7，我们知道A可以相似对角化，则存在一个矩阵P，使得

且对角阵为n阶矩阵.

不妨设A的特征值为j0个ε0，j1个ε1，……，jm-1个εm-1，则有j0+ j1+ … + jm-1= n.

由

得

进一步可知

得

同理得

综上可得

类似可得：

定理3 若A为复数域上n阶的方阵且A3= A，则有，其中x,y,z是正整数.

定理4 （幂等矩阵秩和定理）若A为复数域上一个n阶的方阵且Am= A，则有

其中，ε1,…,εm-1是m-1个m-1次单位根，k0,k1,…,km-1是正整数.

3 结语

本文推广了2类特殊矩阵幂幺矩阵与幂等矩阵秩的等式，并得到了这2类矩阵秩的等式的2个重要结论.文章对矩阵秩的等式进行了理论上的创新，但其应用价值还有待进一步深入的研究.同时，目前各类出版物及论文上都几乎找不到相应的例题，有兴趣的读者可以进行这方面的工作.最后，读者还可以探索是否可以证明幂零矩阵有类似的结论，可否用文章方法给予证明是一个值得研究的问题.