抛物线的切点弦方程的求法及性质应用

黄常健

抛物线x2 =2py（p>0）既可从方程的角度研究，又可从函数的角度处理，因此解决其相关问题的方法也是灵活多样。其中抛物线的切点弦问题是备考研究的熱点课题之一。

一，抛物线切点弦所在直线方程的求法

总结：利用经过两点有且只有一条直线，以及曲线与方程的概念，能轻松巧妙地求出切点弦所在直线方程。从这一过程，我们还可以进一步发现，抛物线的切点弦所在直线方程与抛物线方程之间的内在联系：

有意思的是，当点P （x0，y0）在圆锥曲线C上时，将曲线C的方程作上述变换所得的直线方程正是曲线C在点P（x0，y0）处的切线方程（如方程①，②）。

二，抛物线的过焦点的切点弦性质

例2（2019年武汉调研）已知抛物线C：x2=2py （p>0）和定点M（0，1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N。

（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值;

（2）若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程。

圆锥曲线的切线及切点弦所在直线方程的求法，主要是令判别式△一O或导数法。这其中的一些规律和结论值得我们理解和应用。

（责任编辑王福华）