关于数列递推问题的解法探究与思考

楚立军

[摘  要] 数列递推问题是高中数学的重点问题之一，问题一般给出数列的递推公式，解析时需要根据对应的方法来转化. 其中累加累乘法、构造法和归纳猜想法是常用的方法，合理利用可有效降低思维难度，本文将结合实例探究解法的构建思路和使用技巧，并进行方法反思，提出两点建议：总结反思解法，挖掘方法思想.

[关键词] 数列;递推;解法;累加法;构造法;归纳法

■方法综述

求通项公式是数列的常见问题，对于一些综合性强的数列问题，求解数列的通项公式是问题突破的关键，而递推数列求通项问题更是高考的重难点问题，可全面考查学生运用所学知识开展问题探究的能力. 求递推数列的通项公式，一般的思路是运用相应的方法将递推数列变形，将其转化为一种特殊的数列或原数列的某种特殊组合，从而将复杂的数列问题简化为一般的等差或等比数列. 因此需要掌握相应的转化方法，教材对其介绍不多，但结合数学的化归转化思想，在求解数列递推问题时可以采用累加累乘法、构造法和归纳猜想法，下面结合实例深入探究.

■解法探究

累加累乘法、构造法和归纳猜想法是求解数列递推问题的常用方法，适用于高中数列的主流问题，在实际使用时需要深入理解解法，合理利用方法来构建解题思路.

解法一：累加累乘法

累加累乘法是求解数列递推问题的基本方法，其方法的核心是“消项”，即通过累加或累乘的方式简化复杂数列，构建对应通项. 该方法的基本形式如下：

累加法：a■=a■+（a■-a■） +（a■-a■）+…+（a■-a■） （n≥2）;

累乘法：a■=a■·■·■·…·■ （n≥2）.

例1：已知在数列{a■}中，a■=λ，数列的前n项之和S■满足条件（n-1）S■-（n+1）S■=0，求数列{a■}的通项公式.

解析：当n=2时，则（2-1）a■-3（a■+λ）=0，解得a■=-■λ. 由（n-1）S■-（n+1）S■=0可得■=■（n≥2）. 上述为乘积形式，可以采用累乘法，则S■=■■·…·■·S■=■■■·…·■·■·-■λ=-■（n≥2），同时适用于n=1的情形. 当n≥2时，a■=S■-S■=■，不适用于n=1的情形.

综上可知，a■=-■λ，n=1，■，n≥2.

例2：已知{a■}为递增数列，{b■}为等比数列，两数列满足如下关系：a■=b■=1，（b■-b■）2=b■+b■，且对于任意的n∈N*有a■-2anan+1+a■=b■，试求数列{a■}和{b■}的通项公式.

解析：上述求数列{a■}和{b■}的通项公式，题干给出了两数列项之间的关系，已知{b■}为等比数列，显然可以先求{b■}的通项公式，然后利用两者的关系来推导{a■}的通项公式.

设{b■}的公比为q（q≠0），由（b■-b■）2=b■+b■可得（q2-q）2=q2+q3，化简可解得q=3，所以b■=b■qn-1=3n-1. 结合{b■}通项和a■-2anan+1+a■=b■可得（a■-a■）2=（3n-1）2，{a■}为递增数列，则有a■

解法点睛：累加和累乘法是基于基本代数运算的方法，例1所呈现的是累乘法的构建过程，适用于递推公式为■=f（n）的形式;例2所呈现的是累加法的构建过程，适用于递推公式为a■-a■=f（n）的形式.

解法二：构造辅助数列法

求解数列递推问题还可以采用构造法，基本策略为：变形题干递推公式，利用添加常数、配凑系数等方式来构造出辅助数列，如等差数列、等比数列，然后利用特殊数列的性质来推理复杂数列的通项公式.

例3：已知数列{a■}满足如下条件：a■=1，na■=（n+1）a■+n（n+1），并且b■=a■·cos■，若记{b■}的前n项之和为S■，试求S■的值.

解析：上述题目给出了数列的递推公式na■=（n+1）a■+n（n+1），对其变形，可将其整理为■-■=1的形式. 将■和■分别看作是一个整体，令c■=■，c■=■，则可将{c■}视为是以公差为1、首项为1的等差数列，根据等差数列的计算公式可得■=1+（n-1），所以a■=n2. 将上述条件代入b■=a■·cos■中，可得b■=n2·cos■. 令n=3k-2，k∈N*，则b■=-■（3k-2）2，k∈N*，同理可推知b■=-■（3k-1）2，b■=（3k）2，k∈N*，所以b■+b■+b■=-■（3k-2）2-■（3k-1）2+（3k）2=9k-■，k∈N*. 所以S■=9×（1+2+·…·+8）-■×8=304，即S■的值为304.

解法点睛：上述例3采用了构造等差数列的方法进行解题，即通过对递推公式进行变形，使其变形为相邻项之间具有同构特点的形式，进而将其视为是一个整体，构造相应的辅助数列，然后利用数列的性质确定辅助数列通项公式，再进行原数列的推导.

实际上辅助数列与递推公式之间联系密切，总体而言有以下几种形式：

①a■=pa■+q（p≠0，1，q≠0）形式，通常可直接构造为等比数列;

②a■=pa■+qn形式，可先处理qn，变形为b■=■·b■+1，则同样可构造等比数列;

③qa■-pa■=anan-1形式，可等号两边同除anan-1，则可变形为■-■=1，通过整体代换，同样可變为前两种形式;

④pa■-（p+q）a■+qa■=k形式，则可以根据两边项的系数对中间项进行拆解，从而变形为p（a■-a■）-q（a■-a■）=k，将括号内的视为一个整体，则同样可以将其变形为上述常见类型.

解法三：归纳猜想法

猜想归纳同样也是数列递推问题中的常用方法，可通过先归纳、后猜想的方式推导一般数列问题的通项公式. 该方法是基于化归转化思想所形成的，按照知识探究的思路，在解题时需要分三个阶段：第一阶段为归纳阶段，需对递推公式进行变形、观察;第二阶段为猜想阶段，需根据归纳的特征作出猜想;第三阶段则是验证阶段，需结合实际条件对猜想进行验证，从而确定结论.

例4：现已知数列{a■}的各项均为正数，其前n项之和为S■，若a■，S■，a■（n∈N*）构成等比数列，试回答下列问题：

（1）请写出a■，a■和a■的值，并猜想数列{a■}的通项公式;

（2）证明（1）中的猜想.

解析：上述的核心条件有两个：一是{a■}的各项均为正数，二是a■，S■，a■可构成等差数列，所设两问要求先猜想{a■}的通项公式，然后加以证明，解析过程是对归纳猜想法的体现.

（1）由等差数列性质可知S■=■，根据该关系式可分别计算出a■=1，a■=2，a■=3，分析三項关联特点，可猜想数列{a■}的通项公式为a■=n.

（2）证明（1）中的猜想，当n≥2时，已知S■=■， S■=■，所以a■=S■-S■=■-■，整理可得（a■+a■）（a■-a■-1）=0. 因为{a■}的各项均为正数，所以a■-a■=1，可知{a■}为等差数列. 又知a■=1，a■=2，所以a■=n（n∈N*）.

解法点睛：根据归纳猜想法的构建思路可知，解题时需要分归纳、猜想、验证三步. 其中在归纳过程需要对递推公式进行变形，可结合添加项、通分、分割等方法，以转化为常规数列为目标. 在猜想阶段，既需要关注每一项的特点，还需要分析项与n的关系、规律，对于其中与正负号相关的递变规律，则可以借用（-1）n和（-1）n+1来调节平衡. 最后的验证阶段，则需要充分结合题干条件，归纳条件进行验证，必要时可以结合数学归纳法.

■思考总结

上述结合实例深入探究了累加累乘法、构造法和归纳猜想法，分析了利用三种方法解决数列递推问题的基本思路及使用技巧，下面提出几点建议.

1. 重视方法思路，总结使用技巧

数列递推问题具有较高的解析难度，合理利用上述三种方法可以转化递推关系，在不改变关系本质的前提下充分挖掘其中的信息条件，降低思维难度，因此充分理解方法、掌握使用技巧是十分重要的. 例如累加累乘法的适用通式，以及三步法构建解析思路;学习构造辅助数列法时，需要总结不同的递推形式以及变形方法;而归纳猜想法需关注思路构建的三个阶段，总结数列通项之间的常见规律. 在教学中应结合实际问题来讲解方法的使用思路，引导学生利用总结的递推思路进行问题剖析，提升学生的解题能力.

2. 挖掘方法内涵，领悟思想方法

高考对数列递推问题的考查是多方面的，主要集中在数列综合、演绎推理、数学思想等，上述作为该类问题的推荐解法，学习时除了需掌握对应的使用思路，还需透过表象挖掘方法的思想内涵，实际上解法思路也是基于数学思想来构建的. 如构造辅助数列法中融合了构造思想、整体思想，而累加累乘和归纳猜想法融合了化归转化思想、方程思想等. 开展解题方法探究需要以问题结构为出发点，立足思想核心，掌握解法关键. 教学中可联系数学思想指导学生学习解法，领悟方法的思想内涵，发展学生的解题思维，提升学生的核心能力.