高中数学教学中分类讨论思想的应用

新疆生产建设兵团第一师高级中学 任光萍

高中数学教学中，分类讨论教学思想适用于存在多种解题可能性的题型解答过程当中。这种题型不可通过一种思维将解答过程描述完整，因此需要将问题按照特定的条件或者标准划分，形成多个独立的问题，最后将所有的解题过程综合起来，确定出结果。教学环节应用此思想可培养学生的逻辑思维，简化数学问题，为学生解题提供思路，提高解题效率。

一、分类讨论在高中数学教学中的应用要求

高中数学中分类讨论教学思想的应用应按照特定要求进行，才能确保分类过程的正确性。首先，遵循同一性，在同一次分类过程需依照特定标准和依据进行。其次，遵循互斥性，即分类之后，各个分项代表的含义互相排斥，元素只属于一个子项当中。再次，遵循相称性，分类之后子项的并集需要和母项子项相等。最后，遵循层次性，分类过程包括一次、多次分类，其中一次分类之后，对分类对象进行一次讨论；多次分类之后，分别对各个子项展开讨论，并将其作为母项继续分类，直到讨论结果满足要求。

二、高中数学教学分类讨论应用范围

在应用分类讨论时，应明确此教学方法的适用范围，掌握正确讨论的因素。例如，数学概念、性质、定理、公式、图形、参数等问题具有不确定性，因此可应用此解题思想。其中在概念方面，可按照绝对值、不等式、二次函数、直线倾斜角等限制因素展开分类讨论；在性质方面，可对函数单调性以及不等式等展开讨论；在图形方面，可对指数函数、对数函数、二次函数等图像展开讨论；在参数方面，可针对参数取值的差异性，合理选取数学题型的求解方式。

三、高中数学教学分类讨论的具体应用

（一）细分讨论步骤

高中数学的逻辑性较强，在教学环节，分类讨论思想的应用需要对讨论类型加以细化，细化讨论步骤，明确此方法的应用方向，促使学生高效运用其解决实际问题。通常情况下，分步讨论需要三个步骤：首先，对讨论对象的属性加以分析，进一步确定其范畴。在高中数学中，分类讨论的对象主要有五种，其一，当讨论对象概念或者属性具备分段性质，当涉及讨论对象绝对值、值域时，对象为分段函数或者反比例函数的时候，可进行分类讨论；其二，当讨论对象是各种不确定的值共同组成的图像或者函数时，可进行分类讨论；其三，当讨论对象的运算存在多重性，涉及偶数开平方、除数为零、正负解情况以及向量乘积时，可使用分类讨论；其四，当讨论对象为几何图形时，且图形存在相邻、相交或者相切等关系时，可展开分类讨论；其五，当讨论对象为应用题、消耗问题或者排列组合问题时，可进行分类讨论。其次，针对不同的讨论项目展开精细化分析，按照逐级分类的方法，细化各个子项目，保证讨论过程的严谨性。最后，对各个讨论结果展开总结和验证，确保讨论过程言简意赅。

（二）解决不等式问题

讲解不等式相关题型过程中，常常需要将不等式进行变形或者转化，例如求解不等式的解集时，可先对原不等式展开分析，在化简过程如果涉及去根号的问题，在化简时应将不等式两边“同正”情况考虑其中，这样才能在分别“平方”的过程中，保证不等号的方向不发生改变，之后运用分类讨论的思想展开讨论。

（三）解决排列组合问题

高中数学教学中，排列组合问题的求解过程，常常含有各类约束条件，使问题呈现出复杂性特征。使用分类讨论这一解题思想，可有效将问题简化，为学生提供明确的解题思路，提高数学问题的求解速度。

例如，讲解这样一道和排列组合相关的题型当中：在正方体中选取8个顶点、6面中心点、12棱中点以及正方体中心点，总共27个点，其中三点共线的个数有几个？在讲解这道习题时，可使用分类讨论的思想，按照题意，可将三点共线划分成三个种类。

第一种：由棱中点作为两个端点，三点共线个数为12×3÷2=18（个）；

第二种：由两个端点作为顶点，三点共线的个数为8×7÷2=28（个）；

第三种：由面中心为两个端点，三点共线的个数为6×1÷3=2（个）。

综合以上三种情况，三点共线个数为18+28+2=48（个）。

四、结语

总而言之，在高中数学教学过程中，分类讨论这种思想的应用范围较为广泛，此思想的运用可化简复杂的数学问题，促使学生解题思路更加清晰，突破固有解题模式的限制，培养学生数学思维。因此，教师在授课环节，应重点指导学生应用这种解题思想，解决解题过程面临的困难，以高效的方式学习数学知识，提高课堂实效。