核心素养在数学习题讲评课教学中的渗透

上海市奉贤区致远高级中学 顾 军

高中数学试题讲评课是不可缺少的一个重要教学活动，是有效落实数学核心素养的培育途径。教师通过学生的作业或测评，遴选出新颖、实用、典型的问题进行讲评，对于高频出错题应该准确去判断问题的根源，学生已经具备基本解题能力，在讲评中以此为基础，参照层层推进、步步为营的原则，进行有效的分析，使学科的认知要求尽快并详细落实到学生的“最近发展区”内，从而使学生在学科学习中形成学习能力。习题讲评课的宗旨在于对错误问题的剖析及反思，大力拓展学生的解题思路、综合解题方法，对核心素养的逐步培育落地会起到积极的作用。

现阶段，高中数学习题讲评课所反映的较大弊端是教师在课上拼命讲，就题论题，不会取舍，一节课内一张试卷没讲完，总感觉没有完成教学任务。新课程标准的基本理念和目标就是改变满堂灌的现状，倡导学生主动参与积极思考，培养学生逻辑推理、数据分析等能力。为此，如何“以小见大，就题拓展”，如何讲出思路、凸显出关键，如何举一反三、触类旁通，成为值得研究解决的问题。笔者结合自身的教学经历举数例加以说明。

一、厘清思路，夯实通性通法

学生在解题时的首要任务是先确定考虑的方向，也就是找到思路。好比一艘行驶在大海里的船，只有定好方向才能顺利到达。人可以睁开眼走千步万步，但却很难闭上眼走十步，未知和不习惯会导致我们缺乏安全感，内心的顾虑总是引领我们必须按习惯的思维——通性通法来做、来思考。

试题中的题干涉及解题方法，是以课本中推导数列前n项和的基本方法为背景，学生对于知识的迁移、转化能力有所欠缺，根本症结在于学生没有真正领会倒序相加法的实质。

为了让学生更好地掌握本题所考查的求和通法之一 ——倒序相加法，教师可提出拓展性问题：

例2：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。

通过以上3 个例题，可见倒序相加法不仅是数列求和的基本方法，而且可以在三角、函数等各个知识领域内得到应用，其应用的实质是运用“首末两端等距离的两项之和相等”，然后构造相应的等式倒序相加后求得结果。

我们再回头看“倒序相加法”，它来源于课本，又高于课本，近几年高考数学试卷中都有课本的例题影子。因此，要掌握好课本中典型例题的解题思路，要改变学生复习“不读书”的习惯，回归书本并不只是就书上的例题重新演练，而更应是体验其背后的思考问题的思维方式方法。培养学生从理解的角度看待教材，从掌握的角度发散教材，从综合的角度活用教材，深刻领会教材中重要的数学思想方法的实质，体会教材编写者选取这些典型例题的良苦用心。

二、详讲错因、明辨事物本质

学生在解题时的状态、思路等价于从题目中获取相关条件与大脑记忆中等价类型的习题结合，然后进行匹配与生成的过程。习题讲评中，在学生解题错误的“重灾区”给予恰当的引导，以说明产生错误的根源，同时可效仿“兵教兵”讲评模式，这样兴许能起到事半功倍的效果。

学生解题错误的主要原因大致可分为以下3 种：

1.审题粗略致错

分析：其实这道题并不难，但大多数学生看完题目，马上得出答案为-2＜a＜2。其考虑过程如下：

但事实恰恰相反。

我们还可以从图像上清楚观察：

根据函数我们可以清楚地看到它是一个复合函数，所以我们画了4 张图，进行比较分析。

图（1）代表函数y=lgu。图（2）（3）（4）代表函数u（x）=x2-ax+1 的三类情况。

从这三张图我们就可以判定同学之所以解错，只是反映出图（3）这类情况，而并没有完全读懂题目的条件“值域为R”，也就意味着u＞0 也必须要求图（2）（4）这两种情况缺一不可。

这一题的出错原因主要是没有正确理解对数函数的定义域与值域的要义。

有学生受了这一道习题的干扰：

认为这一习题曾经练习过，没有认真阅读就解题，其实条件发生改变了，将“定义域为R”变式为“值域为R”，从而产生了错解。

教学反思：解题不完整、条件考虑不周全是常犯错的原因之一，是以某一局部条件的个别现象做出对全局的判断，不懂得从多方位、多角度去寻找突破口。题组学习可以让学生由“厌学”变为“要学”，在学习中积极开展对话与交流，学会接受、理解和恰当反馈同伴的信息，调整和转化自己的表现行为。

2.思考不严谨致错

∵直线与抛物线y2=x只有一个公共点，

看似很完美的解答，老师没有急于下结论，而是稍微停留了片刻，提出另外一个问题：“解析几何的本质是什么？”

马上有同学谈到“函数与图像”，没过几分钟，讲台下发出了质疑声：“解答不对，还有几条直线。”

学生提出了两种方案：

方案1：借助图像发现错误。符合题意的直线应该共有3 条。前面的解法中只提到了一条，遗漏了y=1，x=0 这两条直线。

方案2：在方程中寻找破绽，重新考虑思维的严密性。

学生设定直线方程后，其实是已默认直线斜率k的存在，从而也就忽略了直线斜率k不存在的时候，即直线为x=0，也就是y轴。

对于以上这样精彩的教学片段，教师不能只停留在表面上为学生纠正错误，应该及时对于学生生成的案例将错“纠”错，因势利导，来一个“顺水推舟”，让学生通过反复推敲，不断探究，找出错误之处，在此基础上对于解析几何中的直线与圆锥曲线的位置关系可以等价于交点问题来处理。今天见识了错误的成因，明天才知正确的模样。

教学反思：大部分学生基本掌握通过已知条件联立直线与圆锥曲线方程的通法，利用Δ=0 这一条件求直线斜率，而学生往往忽略了已知点与曲线的位置关系，在解答过程中，学生为了求出直线方程，设定了点斜式直线方程，点斜式直线方程的设定应该先考虑直线斜率不存在时的分类情况。在反思讲解中可运用直线的点法向式方程的设定，类比两者的优劣势，突显方程各自的形式在实际解决问题时给予学生的直观想象，从而顺利将知识建构联网，掌握、应用。

3.忽视隐含条件致错

学生解法：由题意可得

教学反思：习题按“以错养错”这样的方式去讲评，可以让学生找到错误的源头，从而追根“纠”源，激发出纠错的欲望，引导学生更注重直观想象、数学运算等深层次的潜在能力，建立相应解决这类问题的新途径。

三、凝成综合，梳理知识网络

高考数学作为选拔性考试，注重考查学生能力。数学讲评课中，不能忽视基础知识点，应回归教材，运用教材，细心体会课本上的定理、公式，其演绎的过程我们可以引导学生从各个角度综合思考，仔细研究例题与习题间的内在联系，从而积累并总结出一类问题的解决通法，实现“点——线——面”的横向联系网络。若我们深入浅出地认识事物的本质，简单浅显的知识点、解题步骤便自然显现，当我将题目进行剖析时，学生就能欣然接受，同时达到举一反三、触类旁通的效果，许多本来要复习的知识就可以连接成网络状。

分析：仅通过平面向量知识无法直接解决，综合平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离、不等式求解等知识点。

平面向量这一知识点在高考中的背景简单，但它涉及的板块广泛，包括三角函数、解析几何、数列、线性规划等。通过数学习题讲评课这个重要载体，除了让学生建立基本数学模型、掌握解决一类问题的通性通法，还可尝试模块复习、微专题形式来进行，调动学生积极性，让学生初步具有成就感，在此基础上逐步拓展。

数学习题讲评课教学的目的并不是给学生演练试卷上一道又一道题的解法，也不囿于教给学生多种不同解法，而是要通过对不同习题的分析或者对同一道习题不同方法的探究，帮助学生形成各种观念或意识。通过习题的讲解去逐步有效落实数学核心素养，教会学生用数学的眼光看待问题、用数学的思想去思考问题，让学生具备能够适应终身发展和社会发展所必需的品格和关键能力，这个使命是当下教育工作者不断前进的根本动力。