基于小波变换的负荷谐波概率密度函数分析

杨宏伟，郭立杰

(1.国网北京通州供电公司，北京101101；2.国网北京昌平供电公司，北京102200)

0 引 言

谐波阻抗作为电能质量分析的重要技术指标，在电能质量限制值计算中起着重要的作用，而谐波限制值的计算又直接影响到用户的谐波运行水平。因此，如何方便快捷而又准确地计算谐波阻抗，对于电能质量行业的发展有着重要影响。现有的谐波阻抗多是使用仪器记录电压和电流瞬时值波形，然后根据信号处理方法得到谐波阻抗。这种方法具有原理准确的特点，但对电力系统的监测水平提出很高要求，需要最大的经济投入，且这种方法无法满足较长监测周期内的谐波阻抗变化趋势，无法完全满足电能质量监测和治理的需要。

为弥补上述方法的缺陷，国内专家提出一系列方法对上述方法进行改进。文献[1]提出正交多项式和统计量来应用于矢量求和的概率密度函数，为应用统计方法解决电能质量问题提供了理论基础。文献[2-3]针对实际电铁电能质量谐波进行概率分析研究，为后续非线性负荷研究提供了可供借鉴的模型。文献[4-6]应用一类正交多项式对谐波求解问题进行分析，为研究实际中多谐波源之间的关系提供了有力工具和方法。上述方法多是基于瞬时值已知的前提计算谐波阻抗，但实际电能质量监测过程中，都是以有效值形式储存于数据库中，瞬时值虽然信息量完整，但需要存储空间巨大，只有在极少数场合才得到应用。而电力系统模型都是基于瞬时值建立的，以上文献并未考虑有效值和瞬时值之间的概率关系。已知有效值的概率密度函数，反求瞬时值的概率密度关系属于谐波求和的逆问题。

笔者在前人研究成果的基础上，首先选取实际测量中的3 s有效值，并拟合出3 s有效值的概率密度分布，并根据3 s有效值和200 ms值关系，得出200 ms的概率分布。在仿真中验证了小波变换在概率密度函数计算过程中的有效性。

1 小波变换

电能质量测试中电流和电压值是以有效值的形式展现的，下面阐述各种有效值的定义。

1.1 小波变换

小波变换作为一种具有良好的局部化刻画信号处理方法，通过构造与信号相似的小波基函数，以及对基函数的伸缩和平移来实现灵活刻画信号的目的，小波变换从原理来讲也是一种信号的正交分解。一种常见的小波变换表达式如下：

(1)

式中：cA1(x)为近似系数向量，cDi(x)为细节系数向量。

1.2 Gram-Schmidt正交化

式(1)得到的近似系数向量和细节系数向量如果没有正交的话，可以通过Gram-Schmidt正交化过程实现正交，对应的步骤如下：

p0(x)=cDn

(2)

(3)

(4)

(5)

当多项式和区间[a,b]确定之后，正交化多项式也是唯一的。f(x)对应可以写为区间[a,b]上的正交多项式的线性组合。

2 3 s有效值和200 ms有效值定义

2.1 200 ms值

对瞬时信号做傅里叶变换，即可得到n次谐波的幅值和相角。电能质量计算中约定每200 ms得到一组有效值，即200 ms值。文献[7-8]定义50 Hz系统谐波的计算值计算周期为10个周期，即200 ms得到一组谐波值。对应的表达式如下：

(6)

式中：w为频率，abs为求解幅值函数，urms_1s(w)为w频率对应幅值。

2.2 3 s有效值

对3 s内上述15个“连续200 ms有效值”作均方根计算。

(7)

式中：urms_1s为3s有效值，N=15。

式(7)定义式是在式(6)基础上得出的。为了处理方便，对式(7)做出如下变形：

(8)

3 3 s有效值和200 ms值概率密度函数统计量的关系

根据式(8)的关系和概率统计中均值和方差性质，可以得出200 ms值平方的均值和方差为

u200ms=u2s

(9)

σ200ms=15σ3s

(10)

式中：u200ms为200 ms值平方的均值，σ200ms为200 ms值平方的方差。

4 概率密度函数计算

4.1 3 s有效值平方概率密度函数计算

3 s有效值平方的概率密度函数可以通过实测的3 s电能质量数据拟合得到，3 s有效值平方的均值和方差也可以通过3 s有效值平方统计得到。假设3 s有效值平方均值为μ3s，方差为σ3s。

4.2 200 ms值概率密度函数计算

假设200 ms值平方的概率密度函数为f200ms-2(x)，在定义区间上进行小波正交展开：

(11)

式中：ai为正交多项式的系数，对应的表达式为

ai=〈pi(x),f200ms-2(x)〉

(12)

其中：〈pi(x),f200ms-2(x)〉为pi(x)和f200ms-2(x)的内积，也为变量x函数pi(x)的期望。对式(12)进行泰勒级数展开，保留前三项，可得

(13)

对于没有表达式的pi(x)，用微分跟踪器求取其二阶微分。

5 微分跟踪器

微分跟踪器是为了求取含有噪声数值信号的微分信号而设计的,具体的表达式详见文献[9]。

6 仿真分析

为了验证理论的有效性，提取FLUKE1760仪器对现场谐波测试数据。选取电力系统电力机车、整流站2种典型负荷进行计算分析。小波分解采用bior3.5基函数，分解层数为4层，小波基和层数是根据电能质量数据而定的，没有量化的判断标准。

6.1 牵引站电流数据分析

牵引站电流3 s有效值平方的拟合曲线和小波分解如图1、图2所示。根据图2得到牵引站3 s电流有效值平方分解系数之后，根据式(2)～(5)得到正交向量，再根据式(12)得到200 ms电流有效值概率密度函数的系数。具体的图形如图3所示。

图1 牵引站电流3 s有效值平方的拟合曲线Fig.1 Fitting curve for 3 s RMS square of current in traction station

图2 电流3 s有效值平方的小波分解Fig.2 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current

图3 电流200 ms有效值平方的概率密度Fig.3 Probability density for 200 ms RMS square of current

从图3可以看出，200 ms电流有效值继承了图2小波分解中近似系数cA1的主要部分，细节系数分量cD1也有所体现，但相比较图1的3 s有效值曲线，已经有所减小。

6.2 换流站电能质量数据分析

图4为换流站电流有效值平方的拟合曲线，对其进行小波分解，分解层数为9层，小波基函数为dmey，分解之后的高频和低频分量如图5所示。截取cA1、cD8、CD9为有效分量。

图4 换流站电流3 s有效值平方的拟合曲线Fig.4 Fitting curve for 3 s RMS square of current in convertor station

图5 换流站电流3 s有效值平方的小波分解Fig.5 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in convertor station

200 ms换流站电流有效值平方的概率密度函数如图6所示。从图6可以看出，与牵引站的规律相似，200 ms换流站电流有效值平方继承了小波分解的低频部分，即近似系数cA1的部分，滤除了部分高频分量。

图6 换流站电流200 ms有效值平方的概率密度Fig.6 Probability density for 200 ms RMS square of current in convertor station

6.3 风电场电能质量数据分析

图7为风电场3 s谐波电流幅值平方的概率密度函数，分布为较为平整，近似于高斯分布。

对图7做小波分解，可以将其分解为如图8所示的分量概率密度，与换流站分解结果相差较大。主要原因是换流站电流分布较为陡峭，分解变量含有较多的高频分量。而风电电流幅值平方分布较为平滑，分解分量比较少，且含有的低频分量较多。说明小波分解对不同非线性负荷分布具有一定的适应性，可以根据不同的负荷特性分解出不同的分量，进而反映出不同负荷的特征。

图7 风电场电流3 s有效值平方的拟合曲线Fig.7 Fitting curve for 3 s RMS square of current in wind farm

图8 风电场电流3 s有效值平方的小波分解Fig.8 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in wind farm

图9为经过变换之后200 ms风电电流有效值平方的概率密度函数，与图7所示的波形具有较好的相似性，说明200 ms有效值概率分布与3 s有效值概率分布具有较好的相似性。

图9 风电电流200 ms有效值平方的概率密度Fig.9 Probability density for 200 ms RMS square of current in wind farm

从图1、图4、图7可以看出，对应不同的概率密度函数曲线，小波分解都可以有效地将对应的细节系数和近似系数分离处理，有效地估计200 ms值的概率密度函数，表明该方法具有较好的适应性，能够针对不同的非线性负荷进行概率密度函数的估计。

7 结 语

依据3 s有效值数据计算200 ms值概率密度函数。小波分解的引入简化了电能质量有效值概率密度函数估算。但仍有以下问题需要解决：

1)200 ms值的区间估计只是粗略假设，需要更为精确的理论评估来确定200 ms值区间。

2)小波基的选取缺乏最优的选择方法，有待于更加规范的反复选取。