基于矩信息的不确定投资组合优化问题

王 炜，包 攀，李三硕

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

(1)

其中，X⊂n.

s.t.P{α-xTξ≤0}≥1-ε.

(2)

假设已知的关于随机变量ξ的矩信息为其均值向量μ∈n与协方差矩阵Σ∈Sn,其中,Sn表示n维对称矩阵空间.不失一般性，假设Σ≻0.

于是，分布集合为

γ={P:P[ξ∈n]=1,EP[ξ]=μ,EP[ξξT]=Σ+μμT}.

1 约束条件的等价形式

对于问题(2)的机会约束条件，对其进行鲁棒性处理得到

(3)

为了将A转化为易处理的形式，首先给出CVaR[3]的定义.

定义给定可测损失函数L:n→，n上的概率分布P和限度ε∈(0,1)，在ε水平下的关于P的CVaR值被定义为

(4)

由Ben-Tal等[4]可知，对任意的可测损失函数L，有

P(L(ξ)≤P-CVaRε(L(ξ)))≥1-ε.

因此，由P-CVaRε(L(ξ))≤0可得P(L(ξ)≤0)≥1-ε.

(5)

这表明式(5)中左端最坏情况下的CVaR近似是右端分布鲁棒机会约束的保守近似.根据上述保守近似，得到以下可行集

(6)

注可行集B是可行集A的一个保守近似，即B⊂A.

下面说明可行集B能够转化为一个易处理的形式.

由式(4)可知，式(6)中最坏情况下的CVaR近似可写成如下形式:

(7)

其中,极小极大的换序可由Shapiro和Kleywegt[5]的鞍点理论得到.

现在考虑问题(7)中的最坏情况下的期望问题

(8)

其中，f为P的概率密度函数.

对问题(8)引入对偶变量y0∈，y∈n，Y∈Sn，得到其拉格朗日函数为

则问题(8)等价于

其拉格朗日对偶为

于是对偶问题为

y0∈，y∈n，Y∈Sn.

即

(9)

y0∈，y∈n，Y∈Sn.

则问题(9)可以写成以下形式:

(10)

又问题(10)中的约束条件可以等价地写为如下两个约束:

(11a)

(11b)

其中,(11a)等价于M0.

于是，问题(10)等价于

(12)

下面，处理(12)中的不等式约束条件，它可以等价地写成以下形式的线性矩阵不等式:

因此，最坏情况下的期望问题为

(13)

将(13)带入(7)中，得

(14)

M∈Sn+1，β∈.

根据上述讨论，得到以下定理.

定理1可行集B可以表示为以下形式:

B={x∈n:∃(β,M)∈

2 最坏情况下的CVaR近似的精确性

由Zymler S,Kuhn D和Rustem B[6]可知以下定理.

定理2设L:n→是一个连续的损失函数，若它满足下列两个条件之一：

(i)关于ξ是凹的；

(ii)关于ξ是二次的(可能非凹).

前面讨论中，L(ξ)=α-xTξ，故L(ξ)关于ξ是线性的，从而满足定理2中的条件(i)，于是有以下关系成立:

这表明，B=A.

综上，将原始问题(1)转化为以下形式

(15)

M∈Sn+1，β∈.

利用最坏情况下的CVaR近似将已知部分矩信息的机会约束问题转化为易处理的半定规划形式，从而能更方便地处理此种类型的投资组合优化问题.