人教A版与湘教版数学教科书中平面向量例题难度的比较

摘 要：本文运用习题难度测量模型，对人教A版和湘教版高中数学教科书中平面向量一章的例题难度从背景因素、运算因素、认知因素、习题类型和知识综合因素等方面进行了比较.

关键词：数学教科书;向量;例题难度;比较

1 引言

根据IEA（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement）的课程模型，可以将课程分为三个层面[1]：预期课程（Intended curriculum）、实施课程（Implemented curriculum）、获得课程（Attained curriculum）.其中，預期课程反映的是国家或教育部门的意愿，通常以课程标准的形式得到体现;实施课程反映的是教师的实际教学活动.教科书是按照课程标准的要求编写的教学用书，是教师和学生共同构成教学活动的媒介.

数学教科书一般是由正文、例题、习题三部分有机组成的，例题的设置在一定程度上反映了数学教科书的特征.并且，不同版本的教科书例题的编排是不尽相同的，这体现了教科书编写者对课程标准的不同理解.因此，对教科书例题的研究是很有必要的.

这里我们选取人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书（A版）》和湖南教育出版社《普通高中课程标准实验教科书（必修）》中平面向量一章的例题作为比较对象.之所以选择平面向量作为比较对象，是因为向量作为一种数学工具具有重要性，向量是近代数学中重要的数学概念之一，是沟通代数、几何和三角函数等数学领域的桥梁.这里以文献[2]中给出的习题难度测量模型，对两套高中数学教科书中平面向量一章例题的难度进行比较研究，希望能为平面向量一章例题的编排提供一些建议.

2 研究方法

人教A版教科书中平面向量的内容安排在必修 4 第二章[3]，湘教版教科书中平面向量安排在必修 2 第 4 章[4].利用习题难度测量模型，我们选择采用定量与定性相结合的研究方法.

21 难度测量模型的选择

以文献[2]中的模型为量化工具.该模型由 5 个难度影响因素构成，分别是背景、运算、认知要求、习题类型和知识综合.每个因素又划分为不同的水平.这里主要考察两套教科书中平面向量一章的例题在 5 个难度影响因素的水平如何，有什么共同之处和不同之处？

22 题目数量的统计

例题是教科书编写者精心选择的，在题目的背景、运算、类型、难度、作用等方面都能很好地体现教科书编写者的设计意图.本研究中例题数量的统计方法：一个题目如果有多个小题，按题目中小题个数计算;一个题目有连续几个问题，但如果这些问题没有分成（1）（2）（3） ……这样的层次，仍作一个题目计算.

人教A版教科书和湘教版教科书平面向量一章各种不同类型题目的数量统计见表1、表2.

从表1、表2可以初步发现，两套教科书在习题的设置上有较大的差异，湘教版教科书在例题数量上多于人教A版，但在总量上、练习题以及习题数量上都远低于人教A版.这就需要我们对两套教科书中的例题进行深层次的分析.

3 统计结果及分析

依照文献[2]中给出的习题难度测量模型，我们得到表3的结果.

下面先对每个习题难度影响因素分别进行比较分析，再从综合难度上进行整体比较.

31 两套教科书在习题背景因素上的比较

从表3可以看到，在人教A版和湘教版教科书中，不涉及实际背景的例题分别占8437%，9024%，属于“公共生活”的题目分别占1563%，976%.两套教科书在“个人生活”和“科学情境”方面都没有编排例题.

在习题背景因素上的统计结果如图1 所示.

从图1可以发现，两套教科书的例题大都属于“无背景”水平，湘教版教科书在无背景水平的例题稍多于人教A版.两套教科书有背景的习题都非常少.这可能是由处于高中学习阶段的学生的数学认知结构和心理特征所决定的.处于高中阶段的学生，他们基本上可以通过抽象思维来进行数学学习，而不需要依靠直观化、形象化的事物来辅助数学学习.

两套教科书在“个人生活”和“科学情境”水平上，都没有安排例题.在“公共生活”水平上，人教A版教科书的例题数多于湘教版，但二者相差不大.

32 两套教科书在习题运算因素上的比较

人教A版教科书32道例题中有2188%是无运算例题，4375%是简单运算的例题，复杂运算的例题占3437%.湘教版教科书41个例题中有488%是无运算例题，属于“简单运算”的题目占5610%，属于“复杂运算”的例题占3902%.

在运算因素上的统计结果如图2所示.

从图2可以发现，两套教科书平面向量一章的例题表现的趋势是一致的，都是处于简单运算水平的习题最多，其中湘教版教科书超过一半的例题都属于简单运算.处于复杂运算水平的例题占比两套教科书相差不大，但无运算水平的例题方面，二者相差较大，人教A版教科书远远高于湘教版.

两套高中数学教科书平面向量一章的例题主要都集中在简单运算水平，这是由平面向量知识的特殊性决定的.平面向量中，向量的加、减、数乘、数量积运算以及平面向量的坐标运算，这些运算都比较简单，基本上只要记住公式，代入公式就可以解决，不需要进行较复杂的运算.

33 两套教科书在习题认知要求上的比较

人教A版教科书32道例题中有1875%是概念性记忆水平的例题，3750%为概念性理解水平的例题，属于迁移性理解水平的例题占4375%;湘教版教科书41个例题中有732%是概念性记忆水平的例题，属于概念性理解水平的例题占3171%，属于迁移性理解水平的例题占6097%.两套教科书都没有属于综合性探究水平的例题.

在习题认知要求因素上的统计结果如图3所示.

从整体上看，两套教科书在这一例题难度影响因素方面表现的趋势是一致的，都是先上升，再下降.两套教科书平面向量一章的例题主要都集中在“迁移性理解”水平，其次是“概念性理解”水平的例题.最少的是“探究”和“记忆”水平的例题，这说明两套高中数学教科书都强调让学习者理解和运用知识，而不是简单的计算和概念的记忆.这体现了向量是一种工具，也很好地体现了“课程标准”所要求的，强调数学的应用性，让学生通过运用所学的数学知识去解决一些简单的实际问题.

对处于低认知水平（记忆水平）的例题，两套教科书中都不是很多.这样的例题对学生的认知水平没有太高的要求[5]，只需要机械地实施例题中给出的解题程序.人教A版教科书中概念性记忆水平的例题有1875%，比湘教版多一些.

34 两套教科书在习题类型上的比较

人教A版教科书32道例题中有4375%是标准性题，2188%为训练性题，属于探索性水平的例题占3437%;湘教版教科书41个例题中有2683%是标准性题，属于训练性水平的例题占3171%，属于探索性水平的例题占4146%.两套教科书都没有属于问题性水平的例题.

在习题类型因素上的统计结果如图4所示.

从图4可以看出，两套教科书在这一方面相差较大.人教A版教科书中最多的例题是标准性题.湘教版教科书中大约有三分之一的例题为训练性题目，这类题目中的习题条件、解题依据、解题方法和习题结论中有三个要素是已知的，只有一个不知道.一般来说，都是结论未知，计算题一般都属于此类题目.训练性题目一般是强调学生对基础知识和基本技能的掌握，是一些常规的数学题目.这类题目对学生而言，只要能记住教科书中的公式、定理或法则，基本上就可以解决.

这说明两套教科书都比较强调学生对“双基”的掌握，也在某种程度上解释了为什么亚洲学生总能在一些大型国际性测试（TIMSS，PISA）中拿高分.

湘教版教科书例题主要集中在探索性题目，人教A版也有大约三分之一的例题是探索性题目.这类题目有一定的难度，可以较好地培养学生运用数学知识去解决实际问题的能力.

35 两套教科书在知识综合上的比较

人教A版高中数学教科书的32道例题中有4375%含有一个知识点，含有两个知识点的例题占50%，含有三个及以上知识点的例题占625%;湘教版高中数学教科书41个例题中有3415%含有一个知识点，含有两个知识点的例题占4878%，含有三个及以上知识点的例题占1707%.

在知识综合因素上的统计结果如图5所示.

从图5可以清楚地知道，两套教科书中的例题大多涉及1-2个知识点，两套教科书中含有2个知识点的例题都接近一半.单个知识点的例题，人教A版比湘教版教科书大约多10个百分点.湘教版教科书含有3个及以上知识点的例题要比人教A版多大约10个百分点，这说明湘教版教科书比人教A版教科书更加注重数学知识之间的联系.

36 两套教科书例题难度的综合比较

在前面，根据5个例题难度影响因素对人教A版和湘教版两套高中数学教科书中平面向量一章的例题的难度进行了比较，为进一步考察教科书平面向量一章例题的综合难度，我们对两套教科书中各难度影响因素的不同水平的题目进行了统计，并利用前面提到的公式，对各因素的加权平均进行计算，得到表4：

为了更形象直观，我们作出了下面的雷达图.这样，两套教科书平面向量一章的例题的各个难度影响因素的异同点就非常明显了.

首先，从综合难度上看，湘教版教科书的综合难度高于人教A版教科书，但两套教科书例题难度相差不大.从5个例题难度影响因素各自的加权平均值来看，人教A版教科书仅在“习题背景”上高于湘教版教科书，在“运算水平”“认知要求”“习题类型”“知识综合”上均低于湘教版教科书.此外，还可以发现，两套高中数学教科书在5个难度因素上都不是很平衡，其中湘教版教科书中“认知要求”和“习题背景”两个难度影响因素的加权平均值相差达到了1439，人教A版教科书“认知要求”和“习题背景”两个难度影响因素的加权平均值相差也达到了0937.

其次，从图6我们可以很清楚地看到，两套教科书在“认知要求”和“习题类型”因素上相差较大，在“习题背景”“习题运算”和“知识综合”这三个例题难度影响因素上相差不大.

4 结论与建议

41 结論

（1） 湘教版教科书在例题综合难度上大于人教A版教科书;

（2）在习题背景因素上，人教A版教科书例题的难度要高于湘教版教科书，而在运算、认知、题目类型和知识综合4个难度因素上要低于湘教版教科书;

（3）两套教科书的例题都没有保持5个难度因素的平衡，尤其是湘教版，“认知要求”和“习题背景”的加权平均值相差达到了1439;

（4）在习题背景因素上，两套教科书都以无背景习题为主，在“公共生活”方面的例题都比较少，都没有“个人生活”和“科学情境”的例题;

（5） 在习题运算因素上，两套教科书都以简单计算为主，不涉及运算的例题都比较少.这可能和平面向量本身有关，向量作为近代数学的重要工具，它沟通了代数、几何与三角函数，向量的代数运算是处理几何、物理以及其它领域问题的一个有力工具.向量的这些特性也就意味着，在平面向量内容中会有较多的计算;

（6） 在习题认知要求上，相对于其它难度因素，两套教科书的加权平均值都是最大的.两套教科书表现的趋势一致，都呈上升趋势，难度越高，例题的数量也越多.人教A版教科书处于记忆水平的例题的数量为湘教版教科书处于记忆水平的例题的两倍;处于概念理解水平的例题，二者相差不大;湘教版处于迁移性理解水平的例题的数量远远高于人教A版;

（7） 在习题类型因素上，人教A版以标准性题目最多，湘教版以探索性题目最多.在这一难度因素上，两套教科书的区别明显，人教A版大致呈下降趋势，湘教版大致呈上升趋势;

（8） 在知识综合因素上，两套教科书都以含有2个知识点的例题最多，表现的趋势一致，都是先上升后下降，含有3个及以上知识点的例题都比较少.

42 建议

（1）注重数学知识的应用性.

一般认为，数学具有三个显著的特点[6]：高度的抽象性、逻辑的严格性和广泛的应用性.“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”

现实数学教育认为，“数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实.”向量作为近代数学重要的数学概念之一，工具性是其重要的特征，在几何学、物理学以及其它领域有着广泛的应用.而应用数学知识来解决问题也是新课程标准的理念所倡导的[7].

但前述分析表明，在背景因素上，两套教科书都以无背景例题为主，有背景的例题都比较少，都没有属于“公共生活”和“科学情境”水平的例题.因此，可以考虑在教科书中适当增加具有现实背景的例题和习题.

（2）习题的安排应注重各个难度因素的平衡.

研究表明，两套高中数学教科书都没有保持5个难度因素之间的平衡，其中，背景因素的加权均值相比其它4个因素要小很多，两套教科书在认知要求因素上的加权平均值都是最高的.湘教版教科书的例题在背景和认知要求两个难度因素上的加权平均值相差1439;人教A版中，背景和認知要求两个难度因素之间的加权均值相差达到了0937.两套教科书中其它难度影响因素也不是很平衡.因此，在进行向量一章中教科书例题的选择和编排时，应该考虑该数学内容的特殊性，同时注重各难度因素之间的平衡.

（3）注重数学知识之间的联系性.

从前面的统计分析可知，两套教科书中的例题大约有一半都是含有2个知识点，含有3个及以上知识点的例题都很少.其中人教A版教科书含有1-2个知识点的例题占9375%，湘教版教科书占8293%，人教A版含有3个及以上的知识点的例题仅有625%.数学的学习不应该也不能够仅仅是单个知识点的学习，而且学生在现实中所遇到的问题常常都是综合性的，它们通常包含了许多个知识点.数学的各个分支“是一个不可分割的整体，它的生命力也正是在于各个部分之间的联系.尽管不同领域的数学知识千差万别，但是在作为整体的数学中，数学家们都使用着相同的工具，存在着概念间的亲缘关系.”

当然考虑到向量作为工具的特性，在例题编排时，不仅要考虑各个数学领域之间的联系，还要考虑数学与其他学科知识之间的联系，同时还要体现数学与现实世界各种不同领域的联系.这样才有可能使学生对数学产生一个整体的认识，帮助学生形成“数学是一个不可分割的有机整体”的正确观念.

参考文献：

[1]覃淋.“中国大陆” “日本” 和“中国台湾”高中数学教材统计习题难度比较研究[J].数学教育学报，2019，28（01）：55-60.

[2]课程教材研究所，中学数学课程教材研发中心.普通高中数学课程标准实验教科书（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[3]张景中.普通高中课程标准实验教科书 数学 第二册（必修）[M].长沙：湖南教育出版社，2016.

[4]覃淋.高中数学人教A版、B版教材习题的认知水平比较[J].数学教学通讯，2018（27）：3-5.

[5] AD亚历山大洛夫.数学——它的内容、方法和意义[M].北京：科学出版社，2019.

[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-10-28）