数学证明题的典型错误及纠错方式探究——以“全等三角形的判定定理”为例

折翠霞

(陕西省神木第九中学 719000)

一、数学证明题的典型错误

1.实际应用问题

数学证明题本质上是抽象公理概念的演绎推理过程.初中阶段是学生抽象思维的发展期，但此时学生仍然未能摆脱“具象思维”的影响，往往更习惯于依靠过往经验、已知事实进行实际应用题的证明.因而，主观性解答仍然是实际应用问题中的最典型的错误之一.

例1如图1所示，某单位的职工要对A、B两点之间的距离进行测量，他们首先作出AB的垂线BF，并在BF上选取两点C和D，令CD=BC，连接AC并延长与BF的垂线DE相交于E点，此时，测量出DE的长度就等于A、B两点之间的距离.写出已知和求证，并进行证明.

图1

而典型的错误证明如下：

解已知CD=BC，求证AB=DE.∵BC=CD，∴∠D=∠B=90°，又∵DE∥AB,∠ACB=∠ECD，∴△ABC≅△EDC，∴AB=DE.

根据剖析可知，该学生在解答过程中，一方面在最初进行条件罗列时仅罗列了“BC=CD”这一已知条件，另一方面在求证AB=DE时，用BC=CD、DE∥AB、∠ACB=∠ECD三个已知条件，主观性进行推断出△ABC≅△EDC这一结论.这种错误解答在实际应用证明题中可谓常态.

2.逻辑推理方面

学生的逻辑推理能力的培养是新课标的重要要求，也是数学证明题的主要考查点.在实际的证明题的解题过程中，学生常常出现逻辑推理过程不严密、思路不清晰等问题.其中，常见错误主要是循环论证和偷换命题.循环论证主要是指学生将需要论证的命题或者与其类似的等价命题作为论据对命题进行推理，而事实上，这种论据没有适当的条件来予以支撑.而偷换命题主要是学生对所学的命题理解错误，从而对命题进行错误的应用.

图2

例2如图2所示，D点是△ABC的一条边AB上的一点，DF与△ABC的另一条边AC相交于E点，已知DE=FE,AE=CE,判断AB与CF的位置关系并说明理由.

而典型的错误证明过程如下：

解1∵DE=FE,AE=CE，∴AD=CF.∵AD=CF,DE=FE,AE=CE，∴△ADE≅△CEF.∵∠AED和∠CEF互为对顶角，∴AD∥CF.又∵A、B、D三点共线，∴AB∥CF.

根据解1剖析可知，该学生在证明过程中出现了“循环论证”的错误.一方面，学生并未对题干中所隐含的条件进行深度挖掘，另一方面，学生也缺乏对全等三角形认定定理等知识的梳理.因此，学生在证明过程中将AD=CF变成了证明△ADE≅△CEF的“论据”，而事实上，AD=CF这一结论在证明△ADE≅△CEF之后方可推出.

解2∵DE=FE,AE=CE且∠AED和∠CEF互为对顶角，∴△ADE≅△CEF，∵△ADE≅△CEF，∴AD∥CF.又∵A、B、D三点共线,∴AB∥CF.

根据解2剖析可知，该学生的解题错误主要体现在“∵△ADE≅△CEF，∴AB∥CF”这一步骤.其中，“△ADE≅△CEF”无法直接证明“AD∥CF”，而需要通过△ADE≅△CEF推导出“∠DAE=∠ECF”，随后通过“两直线平行，内错角相等”定理推导出“AD∥CF”，继而得出“AB∥CF”的结论.而该学生对“全等三角形性质”、“平行线判定定理”理解不够透彻，从而出现“偷换命题”的错误.

二、数学证明题的纠错方式

1.题目解答要具有针对性

实现纠错，首先要让学生能更加准确的理解证明题中所运用到的定理和概念等.因此，有针对性地进行题目解答是纠正学生典型错误的最主要的方法，它让学生意识到自身的“缺陷”，并对其进行“修补”.

如例1中，学生对全等三角形判定定理中的ASA(边角边)理解不够透彻，此时，一方面，教师应尊重学生的“主人翁”地位，引导学生主动探究“角边角”中的两“角”是对顶角和直角，“边”是这两个角的夹边，让学生意识到自身在定理理解方面的“漏洞”，从而有针对性地进行“修复”；另一方面教师可以将SAS(边角边)定理与ASA(角边角)定理进行类比，让学生充分分析两者的异同，随后提供适量的、与学生能力相符的证明练习题，帮助学生夯实知识基础，提高学生的定理应用能力.

2.注重培养逻辑推理能力

初中学生正处于“具体思维”向“抽象思维”转变的关键时期，此时，教师应注重对学生的逻辑推理能力的培养.而其中，证明题的解答是提升学生的逻辑推理能力的有效方法.证明题中往往包含有“条件”和“结论”两个部分.其中，“条件”是已知的、需要被肯定的对象，“结论”是未知的、被肯定或者被否定的某种性质.因此，教师在教学过程中要引导学生梳理证明题的题干，发掘证明题中或明显、或隐含的“条件”，引导学生主动分析、认真思考、逐步探索，通过严谨的推导得出“结论”，继而开发学生的逻辑思维，提升学生的逻辑推理能力.

例3如图3所示，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB.求证：BD=CE.

图3

通过对题目的梳理分析可知，题中的“显性”条件有两个，分别是∠BDC=∠CEB和AD=AE，而“隐性”条件是∠BAE=∠CAD，而题中的结论是BD=CE.此时，通过罗列出∠BAE=∠CAD、AD=AE、∠BAE=∠CAD三个已知条件，可以发现，如果通过∠BDC=∠CEB推出∠ADC=∠AEB，就可以用ASA(角边角)定理判定△ADC≅△AEB.此时再来证明BD=CE已经轻而易举.