鲁棒模糊聚类图像分割理论进展

吴成茂

(西安邮电大学 电子工程学院，陕西 西安 710121)

图像分割[1]是指遵循一定的相似度准则，利用图像中的某些特征信息如亮度、梯度、颜色和纹理等，将图像划分为若干内部一致而彼此特征各异的同质连通区域，以便满足后续目标提取、识别与跟踪等需要。图像分割不仅是图像理解和前期视觉的基础，而且也是成功进行图像分析、理解与描述图像的关键步骤，长期以来备受相关研究者高度重视问题，是机器视觉领域中最具挑战的前沿课题之一。迄今为止，已提出许多图像分割方法，如阈值分割法、边缘检测法、区域生长法、水平集法、聚类分析法以及其他特定方法等。但是，大多数方法主要适用于特定的场景和应用，仍缺乏通用有效的图像分割理论及方法。从理论上看，图像分割的本质是像素聚类问题，利用聚类技术[2]进行图像分割已成为图像分割理论研究中重要课题之一。

物体成像是三维空间向二维平面的投影过程，必然存在信息损失，另外，由于人眼视觉对图像信息感知存在模糊性，从而使得图像信息本身具有一定的不确定性，将模糊集理论和聚类技术相结合的模糊聚类方法[3-4]已成为当前医学和遥感等复杂影像解译的重要工具并取得重大进展[5-6]。然而，图像成像机理和环境的多样性和复杂性，导致不同场合获取的图像信息千差万别，探索具有一定鲁棒性的模糊聚类分割理论和算法仍然是该领域非常活跃的研究课题之一。

在众多模糊聚类技术中，由Bezdek提出的非监督模糊C-均值聚类[7](fuzzy C-means clustering,FCM)因其采用迭代实现，具有存储开销小且执行效率高等优点而得到广泛应用，特别是将其用于解决图像分割问题已得到众多研究者高度关注[8]。传统FCM是利用欧氏距离度量样本与聚类中心之间差异性的软聚类方法，主要适合呈团状且不同类样本数相差不悬殊数据集的结构分析，将其直接用于图像分割难以取得满意分割结果，于是，出现了许多改进的属性加权、样本加权和属性与样本联合加权等模糊聚类[7-15]，不同正则化模糊聚类等分割算法增强模糊聚类分割算法的适应性[16-22]，以及基于信息几何距离的模糊聚类算法引起了相关研究者重视和关注[23-27]。虽然这些改进模糊聚类分割算法对无噪声图像能获得满意的分割结果，但是，这些改进算法未考虑到像素与其邻域像素之间的内在相关性，导致直接利用改进算法对噪声干扰图像的分割缺乏抑制噪声能力，难以满足医学和遥感等影像解译的需要。

为了解决灰度不均匀MRI影像的分割问题，Pham等[28-29]提出二阶差分正则约束的FCM分割法,保持乘性项变化缓慢且光滑，解决了核磁共振成像(nuclear magnetic resonanceimaging，MRI)的合理分割，但是，这种方法非常耗时，不适合实时性要求较高场合的应用需要。考虑到像素与其邻域像素紧密相关，Tolias和Panas[30]率先提出基于邻域像素隶属度定义模糊规则并调整当前像素聚类隶属度，依此修正聚类中心的模糊聚类分割法。但是，这种方法仍然不能解决光照不均匀图像的分割问题。后来Tolias和Panas[31]又提出基于塔型结构的空间邻域隶属度约束的FCM分割法，该方法增强了光照不均匀图像的自适应分割能力，但是，采用塔型结构导致算法非常耗时，仍不适合大幅面图像分割需要。直到2000年，Liew和 Leung等[32]利用邻域灰度信息对当前像素与聚类中心之间的距离测度进行加权修正，从而提出了一种抑制高斯噪声干扰的鲁棒模糊聚类分割算法，同时，也给出当前像素与邻域像素的灰度偏差构造加权因子的方法，该方法对不同强弱噪声具有较好的适应性。Ahmed 和Yamany等[33]也提出了邻域像素与聚类中心之间的距离测度平均值修正当前像素与聚类中心之间的距离测度，增强了FCM对高斯噪声和灰度不均匀MRI图像分割的有效性，相比Pham提出的二阶差分正则约束FCM具有更高的执行效率。另外，Pham[34]也给出了邻域像素隶属度约束的鲁棒FCM算法，改善了高斯噪声干扰图像的分割问题。这些算法对噪声干扰图像的有效分割引起众多研究者广泛关注，于是许多鲁棒模糊聚类分割算法[35]相继被提出，推动鲁棒图像分割理论[36]的快速发展，为复杂的医学和遥感等影像的合理解译提供新的手段。

为系统了解鲁棒模糊聚类分割理论的发展，对近20年来其相关方面的研究工作及进展进行梳理和总结，分类介绍鲁棒模糊聚类不同方向的研究进展、存在问题和发展趋势。

1 模糊聚类理论基础

FCM是一种重要的非监督聚类方法，其最优化数学模型可描述为

(1)

s.t.uij∈[0,1],1≤i≤n,1≤j≤c，

其中：m是模糊权因子且为常数，其取值为[1.5,2.5]；uij表示第i样本xi属于第j类的隶属度；vj表示数据集第j类的聚类中心;，d2(xi,vj)表示第i样本xi与第j个聚类中心vj之间的平方欧氏距离。

针对最优化模型式(1)，采用拉格朗日乘子法获得迭代求解该最优化问题所对应的隶属度和聚类中心的表达式分别为

(2)

(3)

利用上述表达式构造FCM算法，其算法步骤描述如下。

步骤3计算聚类中心的表达式为

上述FCM算法因计算简单、存储开销小和性能稳定等优点在模式识别、图像处理和数据挖掘等众多领域得到广泛应用，已成为现代智能信息处理的重要工具之一。另外，考虑FCM的目标函数具有良好的可扩散性，因此，对其目标函数进行适度改进，可以满足不同应用场合的需要。

2 基于模糊聚类的图像分割法

假设图像G是大小为M×N的灰度图像，任意位置(x,y)处像素值为g(x,y)且0≤g(x,y)≤255。采用FCM将灰度图像G分割为c个不同区域，则相应的最优化模型可描述为

(4)

s.t.u(x,y),j∈[0,1],(x,y)∈G,1≤j≤c，

该图像进行模糊聚类分割所对应的像素值g(x,y)属于第j区域的隶属度和第j区域类中心的表达式分别为

(5)

(6)

利用式(5)和式(6)，对不同位置像素值进行聚类，可实现对图像中不同属性区域的有效分割。这种像素聚类分割仅是通过对当前像素直接聚类实现图像分割，考虑到图像相同灰度值的像素众多，于是丁震等[37-38]提出了一维直方图的快速模糊聚类分割算法，该方法与不同位置像素直接模糊聚类分割法等价，其相应的一维直方图模糊聚类模型可以描述为

(7)

s.t.ul,j∈[0,1],0≤l

利用式(7)，可获得灰度图像快速分割所对应的迭代表达式为

(8)

(9)

利用式(8)和式(9)可实现大幅面遥感等影像的快速分割，将FCM分割灰度图像的时间复杂度从O(cMN)降为O(cL)，对于利用遥感资源进行环境监测等应用具有一定价值。但是，这种模糊聚类分割法存在的不足是缺乏对噪声的有效抑制能力，不能有效处理诸如高分遥感影像因存在椒盐噪声干扰的难以有效分割问题。

3 基于多维直方图的模糊聚类法

传统FCM分割图像时仅利用当前像素，而未考虑到像素与其邻域内不同像素之间存在的内在关联系，从而导致直接对不同位置像素进行FCM无法抑制噪声对图像分割的影响，取得的分割结果令人难以满意。于是刘健庄[39]用当前像素与其邻域像素均值或中值相结合的二维直方图FCM提高噪声干扰图像分割的有效性，该种聚类分割法的本质是将原图像与其均值或中值滤波图像进行联合模糊聚类实现图像分割。该聚类所对应的目标函数为

(10)

对应的隶属度和聚类中心的迭代表达式为

(11)

(12)

d2[(l,k),vj]=(l-vj,1)2+(k-vj,2)2。

这种二维直方图模糊聚类虽然对噪声干扰图像能获得相对满意的分割效果，但是，该二维直方图模糊聚类未考虑邻域像素均值或中值对当前聚类像素的影响程度，导致该算法缺乏一定的普适性。为此，侯晓凡和吴成茂[40]提出了当前像素与邻域像素均值或中值之间自适应加权的二维直方图FCM分割方法，增强了二维直方图FCM分割法的适应性。

另外，陈子阳和王保平[41]给出将当前像素、邻域像素均值和邻域像素中值三者相结合并构造了三维直方图模糊聚类分割灰度图像的方法，充分利用像素与邻域信息之间的竞争性、冗余性和互补性增加聚类分割的精确度。吴成茂和李亚文[42]将三维直方图引入彩色图像中，对其红(red，R)、绿(green，G)、蓝(blue，B)3个颜色分量构造三维直方图并获得彩色图像快速鲁棒模糊C-均值聚类分割算法,增强了模糊C-均值聚类解决彩色图像分割问题的实时性和鲁棒性。

总之，无论是二维直方图模糊聚类法，还是三维直方图模糊聚类法，其共同特点是将不同像素所对应的邻域均值或中值信息对当前像素聚类的影响视为相同。将这种利用均值或中值信息的模糊聚类分割法归类于各像素点邻域信息相同影响的加权模糊聚类分割法，仍然难以满足复杂的医学和高分遥感等影像的鲁棒分割需要，因此，没有引起国内外更多研究者关注。接下来，拟对近20年来有关空间邻域信息约束的鲁棒FCM分割方法的进展进行梳理、分类和讨论，并指出存在的问题，供相关研究者研究参考。

4 基于空间邻域信息约束的鲁棒模糊聚类

灰度图像采用FCM分割时将图像中任何像素看成独立的数据点，忽视了像素与其邻域像素之间的内在联系，于是利用空间像素邻域的灰度信息、距离信息和隶属度信息对FCM目标函数进行扩展是增强FCM有效分割噪声干扰图像的重要途径。一般而言，图像中的噪声包括两个大类。第一类是离散点噪声，如高斯噪声、椒盐噪声、斑点噪声和莱斯噪声等，这些噪声均是离散点而称为离散噪声；第二类是几何噪声，如对地观测所得遥感影像中存在的不是用户感兴趣的几何形状体，这些几何形状体影响到遥感目标的正常提取而称为几何噪声，是困扰遥感影像解译的一大难题。鲁棒模糊聚类算法主要是针对离散噪声点而言的，有关几何噪声抑制的鲁棒模糊聚类算法，将另外进行阐述。

4.1 邻域隶属度修正约束的鲁棒模糊聚类

传统FCM直接对像素聚类，无法抑制图像噪声对分割结果的影响，导致分割所得图像仍存在噪声，无法满足后续目标识别、跟踪和理解等需要。Chuang等[43]将利用邻域像素隶属度对当前像素聚类所得隶属度修正，以便再调整聚类中心，可提高FCM分割算法的鲁棒性，即

(13)

(14)

另外，Adhikari等[45]提出了条件空间约束的模糊聚类并用于MRI图像分割，该方法的本质仍是利用邻域像素隶属度信息对当前聚类像素的隶属度进行修正，二者本质是相同的。近年来，Huang和Srivastava[46-47]将利用邻域像素隶属度修正当前聚类像素隶属度的方法推广至直觉FCM，有利于改善复杂医学影像的分割问题。

总之，这种空间邻域隶属度约束的鲁棒模糊聚类构造思想非常质朴且物理意义明确，但是，缺乏严格的数学理论支撑，以及幂参数p和q选取缺乏理论依据。

4.2 邻域隶属度加性约束的鲁棒模糊聚类

为了增强FCM分割的鲁棒性，Pham[48]提出了邻域像素隶属度加性正则约束的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(15)

该种聚类目标函数可等价于

(16)

同样，狄岚等[49]也展开类似的研究，所面临的问题是如何选取正则参数α。

Caldairou等[50]提出了非局部信息加权的邻域隶属度加性正则约束的鲁棒模糊聚类算法，其目标函数为

(17)

该鲁棒模糊聚类分割非常适合MRI图像分割，另外，不需要选取正则参数，适应性强。但是，这种鲁棒分割法因计算局部加权因子而非常耗时，不适合大幅面且实时性要求较高场合应用的需要。

后来，杨勇等[51-52]提出了邻域像素隶属度补信息约束的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(18)

通过对比式(16)、式(17)和式(18)，发现其构造的正则化约束项正好相反。不难看出式(18)比式(16)和式(17)更加合理且度量存在明显的一致性。同时，张道强等[53]也提出核空间邻域像素隶属度补信息约束的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(19)

最近，常晓茹等[54]提出将式(18)修正为邻域像素隶属度和补信息约束的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(20)

上述这些鲁棒分割法虽然增强了FCM分割法的抗噪性能，但是，其面临的共同缺点是正则参数α难以有效选取，大多采用测试法确定其值。如何合理选取该正则参数仍存在一定的挑战。

总之，针对目标函数式(15)-式(17)，虽然其正则化数学解释是可行的，但是，无法从聚类有效性角度给出其合理解释，甚至也无法从像素聚类邻域局部自相似性角度给出其合理解释，从而使其难以引起众多研究者高度重视。针对式(18)-式(20)，其不仅可从数学度量一致性角度给出合理解释，而且也从聚类有效性和聚类像素邻域局部自相似性等众多角度给出合理解释，也给后续模糊局部信息C-均值聚类的目标函数正则项的合理解释提供一定的理论支撑。

4.3 基于KL散度加性约束的鲁棒模糊聚类

传统FCM易陷入局部极小值，因此将KL-散度[55](Kullback-Lelber divergence)引入FCM改善聚类性能，已引起国内外广泛研究者关注。该聚类对应的目标函数为

(21)

Chatzis等[56]利用马尔科夫随机场估计当前聚类像素的先验分类信息为

(22)

有效适用于噪声干扰复杂图像的分割问题。其中，β为调节参数。但是，这种估计麻烦且非常耗时，于是张华、公茂果、Gharieb和赵泉华等[57-60]提出了直接利用邻域像素隶属度进行加权滤波处理估计πij，不同估计方法主要差别在于权系数wri选取方式不同，其中赵泉华等[60]提出简单有效的πij估计为

(23)

但是，这类KL散度正则化模糊聚类分割法也面临着α的如何选取问题。主要依靠经验选取α值，缺乏一定的普适性。

另外，赵泉华和赵雪梅等[61-63]将像素邻域的灰度和隶属度等信息相结合并提出区域型鲁棒FCM分割法，其目标函数为

(24)

该方法特别适合遥感影像解译的需要。另外，从像素聚类邻域局部自相似性角度出发，对式(24)的正则项约束项可给出合理解释。

4.4 邻域灰度信息加性约束的鲁棒模糊聚类

为了有效改善医学MRI图像分割问题，Ahmed等[33]提出了邻域灰度信息约束的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(25)

虽然该种分割法能取得较好的分割效果，但是，计算非常耗时，不适合大幅面图像实时分割需要。为此，陈松灿和张道强[64]提出利用邻域像素所对应的均值或中值进行约束的简化鲁棒FCM，其目标函数为

(26)

(27)

其中，正则参数α1和α2依靠人为经验选取。

针对局部均匀(或非局部均值)滤波与中值滤波相结合嵌入FCM目标函数所获得鲁棒模糊聚类难以获得满意分割结果的问题，Mújica-Vargas等[69]提出一致分布Ui、指数分布Ei和拉普拉斯分布Li对应噪声的RML估计滤波结果嵌入模糊聚类目标函数，得到

(28)

用以进行噪声干扰图像的鲁棒分割。这些工作不仅解决FCM对噪声干扰图像分割的鲁棒性问题，而且运行效率能满足智能交通、工业自动化和医学影像理解等众多场合的应用需要。但是，这类空间信息约束模糊聚类面临的共同问题是受空间信息约束下的正则因子难以合理选取。

为此，王建忠等[70]提出了邻域像素与当前像素的灰度偏差高斯加权自适应正则模糊聚类分割法，其目标函数为

(29)

Belhassen等[71]利用邻域像素均值所对应方差信息构建了自适应正则鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(30)

αi=[1+σ(i)]-1，

Barrah等[72]提出了邻域像素灰度偏差均值作为正则化因子的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(31)

针对核空间鲁棒模糊聚类，王文慧等[75]提出当前像素与邻域像素均值偏差作为正则化因子的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(32)

式(30)-式(32)中存在的正则化约束参数选取，具有较强的可解释性，而式(29)中的约束参数选取难以给出合理解释。

赵凤等[76]提出了非局部信息构造正则化因子的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(33)

但是，这种非局部邻域信息正则因子构造缺乏明确的物理意义。

后来，王志明等[77]利用邻域像素灰度信息和灰度偏差信息所对应的方差构造一种物理意义非常明确的自适应正则化因子，从而使得空间信息约束鲁棒模糊聚类更加自然合理，则相应的目标函数为

(34)

通过对比式(29)和式(34)，可以发现式(29)的参数选取存在明显的不合理性。

针对核空间鲁棒FCM，杨敏生等[78]提出了类间距离构造自适应正则因子的鲁棒聚类算法，其目标函数为

(35)

但是，这种正则因子构造法没有明确物理意义，其正则因子选取与当前像素和邻域信息无关，无法给出合理解释。

另外，钟燕飞等[79]提出了归一化样本划分熵的自适应正则化鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(36)

这种自适应正则因子虽然与像素紧密相关，有一定的物理意义，但未考虑到像素邻域局部信息，可解释性较差。

综上所述，在众多邻域像素灰度信息约束的自适应加权鲁棒模糊聚类中，利用邻域像素灰度信息的方差或偏差构造正则因子具有明确物理意义，同时，其合理性和可解释性均强。

4.5 邻域灰度和隶属度相加结合的鲁棒模糊聚类

考虑到仅利用邻域像素的灰度或隶属度进行正则约束的鲁棒模糊聚类存在的不足，邱存勇等[80]提出了邻域像素灰度和隶属度相结合的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(37)

但未有效解决正则参数α1和α2的合理选取问题。

Gharieb等[81]将邻域像素均值和隶属度均值补信息相结合实现模糊聚类正则化约束，则相应的目标函数为

(38)

胡嘉良等[82]将邻域像素灰度和隶属度加权和补信息相结合实现模糊聚类正则化约束，则相应的目标函数为

(39)

通过对比式(37)-式(39)，发现式(38)所对应的鲁棒模糊聚类执行效率较高，特别适合于实时性要求较高的应用场合。虽然式(39)所对应的鲁棒模糊聚类效率最低，但是，其自适应能力最强且参数选取对聚类性能影响最小。

总之，从聚类有效性和数学度量一致性等角度来看，式(37)-式(39)的构造具有较强的可解释性，将会引起更多研究者关注。

4.6 邻域隶属度乘性约束的鲁棒模糊聚类

为了增强传统FCM分割图像的鲁棒性，Despotovi等[83]提出了利用邻域隶属度加权均值对当前像素与聚类中心之间的平方欧氏距离进行修改，从而获得一种鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(40)

Shen等[84]利用邻域隶属度的1阶和2阶加权平均值修正当前像素与聚类中心之间的距离测度，则相应的目标函数为

(41)

sij=λHij+ξFij，

wri=‖xr-xi‖，

但这种方法不仅涉及参数λ和ξ的合理选取问题，而且又要满足约束条件0≤sij<1，从而导致适应性差。

田小玲等[85]提出了适合纹理图像鲁棒分割的小波分解和局部隶属度约束相结合的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(42)

这种方法适合众多参数难以合理选取，导致适应性和实时性均较差，不适合遥感变化检测和机器视觉等场合。

邱存勇等[80]也提出了邻域像素隶属度加权和倒数修正距离测度的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(43)

这种将隶属度加权均值倒数与距离测度的融合具有度量的一致性且解释性强，与加权隶属度均值的补信息与距离测度的融合也是相吻合的，能够体现隶属度信息与距离测度融合的多样性和合理性。

Luong和Kim[86]合作并提出了广义邻域隶属度加权融合修正距离测度的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(44)

式中，g(·)是单调递增函数。

这种鲁棒模糊聚类分割与式(43)本质是相同的，所对应的聚类中心表达式与式(14)是等价的，主要适合MRI医学影像分割。

Kumar和Harish[87]提出了利用核函数距离对邻域隶属度加权求和修正核距离测度的鲁棒核空间模糊聚类，其目标函数为

(45)

这种核空间鲁棒模糊聚类分割法相比非核空间鲁棒模糊聚类具有更强的噪声抑制能力，特别有利于抑制医学影像分割中的斑点和莱斯噪声。

Gharieb等[88]利用邻域隶属度均值修改当前像素与聚类中心之间的距离测度，从而增强了模糊聚类算法对噪声的有效抑制能力，这种方法相应的目标函数为

(46)

另外，Gharieb等[89]也利用邻域隶属度均值修改邻域均值与聚类中心之间的距离测度，以达到更好的抑制噪声能力，其相应的目标函数为

(47)

这种新的鲁棒模糊聚类相比式(46)具有更强的噪声抑制能力，但需要合理选取参数α1和α2。

针对核空间FCM，Thakur等[90]提出了邻域像素隶属度约束的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(48)

这种核空间鲁棒模糊聚类也面临调节参数β的选取问题；同时，邻域像素隶属度均值未考虑当前像素与邻域像素的差异性，导致鲁棒性能有限。

最近，吴成茂和杨小强[91]提出了像素邻域隶属度加权均值与邻域灰度方差相结合的自适应距离测度修正方法，相应的目标函数为

(49)

该算法隶属度乘性约束项与像素距离测度之间存在度量一致性融合，不仅可解释性强，而且还增强了不同强弱噪声干扰图像分割的适应性和有效性，是邻域隶属度信息积性约束的鲁棒模糊聚类中的一种非常重要的方法，值得研究者关注。

4.7 基于加权滤波图像的快速鲁棒分割法

针对空间邻域灰度和隶属度等信息约束的鲁棒模糊聚类难以满足大幅面图像快速分割的需要。为此，Szilágyi等[92]提出了利用邻域像素均值和当前像素进行加权获得滤波图像，再采用FCM对其分割，降低噪声对分割结果影响的方法，其相应的目标函数为

(50)

但是，这种快速鲁棒模糊聚类本质是对噪声干扰图像进行滤波处理再聚类，从而导致图像细节信息丢失，不完全适合纹理丰富的噪声干扰医学影像的分割。

蔡文玲等[93]提出了邻域灰度信息和空间信息相结合的双边加权滤波图像，对其进行模糊聚类提高算法的抗噪性能，又能获得满意的分割结果。这里加权滤波图像表示为

(51)

马晶晶等[94]提出了双边滤波图像和非局部滤波图像进行加权组合再进行模糊聚类的鲁棒分割算法，对噪声抑制能力比原图像和均值滤波进行加权组合更强，使分割结果能更多地保留图像细节信息。该聚类对应的目标函数为

(52)

但是，这种算法因需要计算噪声干扰图像的非局部滤波均值信息而导致非常耗时，其实时性难以满足大幅面遥感等影像分割的需要。

郭芳芳等[95]将噪声干扰图像所对应的双边滤波图像和均值滤波图像进行自适应加权组合，再进行模糊聚类分割方法。其不仅能保证良好的抗干扰性能，而且其快速性又能满足实时目标检测与跟踪等应用的需要。该聚类对应的目标函数为

(53)

近年来，吴其平和吴成茂[96]将这种加权和滤波图像和现有的鲁棒核空间模糊聚类相结合并推广至二维直方图，得到适合大幅面图像快速分割的新鲁棒算法。其是现有的二维直方图模糊聚类与鲁棒模糊聚类相结合的结果，对于探索新的快速鲁棒模糊聚类算法有积极的促进作用。

4.8 模糊局部信息约束的鲁棒模糊聚类

针对空间信息约束鲁棒模糊聚类难以有效选取正则因子，同时仅适合弱噪声干扰图像分割的需要的问题。为此，Krinidis 等[97]提出了模糊局部信息C-均值聚类分割算法，其目标函数为

(54)

其中，Gij是局部模糊信息约束项，即

其充分利用了邻域像素的隶属度信息，邻域像素与当前聚类像素的空间距离，以及邻域像素值与聚类中心之间的距离测度信息。这种鲁棒模糊聚类因其模糊信息约束项没有正则因子而适应性强，受到众多研究者广泛关注，已成为鲁棒模糊聚类中的重要方法之一。该正则项因子(1-ukj)与距离项d2(xk,vj)存在明显的数学度量一致性，从而使其可解释性强，以致大量改进算法不断涌现，增强了模糊局部信息C-均值聚类对噪声的抑制能力。

为了增强模糊局部信息C-均值聚类分割图像的保边缘能力，李兰等[98]提出了基于边缘特征的模糊加权局部信息C-均值聚类分割法，有利于遥感影像解译需要，即

(55)

其中：若邻域像素xr与当前像素xi被边隔开时，则wri取值为0.33；否则，wri取值为1.0。

为了增强模糊局部信息C-均值聚类对强噪声干扰的抑制能力和分割精度，公茂果等[99]提出了核空间模糊加权局部信息C-均值聚类分割法，对椒盐噪声和高斯噪声均能表现出良好的抗噪鲁棒性，引起国内外学者高度重视。该聚类对应的目标函数为

(56)

加权因子wri的选取对鲁棒模糊聚类性能的影响非常关键。公茂果等人提出了当前像素邻域方差与均值比来构造加权因子的方法，即

(57)

这种加权因子构造法不仅物理意义明确，而且与像素邻域灰度信息局部一致性度量紧密相关，从而使得加权因子可解释性强。

相德良等[100]提出了邻域像素所对应局部块间像素值比值对数化构造加权因子的方法，改善了噪声干扰SAR图像的有效分割问题，即

(58)

其中：IN(i)(k)表示像素xi所对应邻域块中第k像素值；NR为块大小。

Bhagyalakshmi等[101]提出了邻域像素所对应局部块间像素值乘积均值对数化构造加权因子的新方法，即

(59)

这种构权法相比公茂果等人方法有更强的抑制噪声干扰能力。

鲁东大学张晓峰等[102]提出邻域像素非局部信息构造加权因子的方法，即

(60)

后来，张晓峰等[102]又考虑到指数运算非常耗时的问题，提出了类似的邻域像素非局部信息构造方法，即

(61)

其中，NR是像素xi所对应的邻域块xN(i)所包含像素个数。

中国矿业大学闵豪等[103]提出了基于万有引力定律的模糊加权局部信息C-均值聚类权因子构造法，即

(62)

虽然这种加权因子构造法具有明确的物理意义，但是，它将导致模糊加权局部信息C-均值聚类的隶属度表达式无法正确推导，仅能采用现有的隶属度表达式，从而使其缺乏严谨的数学理论支撑。

近年来，为了将模糊加权局部信息C-均值聚类应用于复杂的医学和遥感等影像分割，研究者们提出了将模糊局部信息C-均值聚类融入更多空间信息提高聚类算法对噪声的抑制能力，以便获得更高的分割精度。李木青等[104]提出了嵌入像素邻域非局部滤波信息的模糊加权局部信息C-均值聚类，其目标函数为

(63)

张华等[105]出了一种自适应模糊局部信息C-均值聚类，其目标函数为

(64)

这种构造法的明显缺陷是隶属度表达式无法经过严格数学推导获得，从而失去一定理论价值，难以引起更多研究者关注。

后来，徐金东等[106]将其局部信息约束项修正为

(65)

但是，这种构造仍无法获得严格数学意义的隶属度迭代表达式，其与式(64)存在类似的问题，难以引起众多研究者关注。最近，张华等[107-108]又提出了邻域像素隶属度加权和补修正像素与聚类中心距离测度的模糊加权局部信息C-均值聚类，其目标函数为

(66)

ωri(j)=ωsd×ωsu×ωsc，

ωsu=uijurj，

这种新的多种空间邻域灰度信息和隶属度信息相结合的鲁棒模糊聚类为遥感图像分割的有效分割提供了新的途径；但是，Pij和wri(j)的构造中均利用了当前像素xi的隶属度uij，导致所得uij的迭代表达式并不合理。

另外，针对模糊局部信息C-均值聚类，严宇等[109]提出新的修正模糊局部信息项，即

(67)

在该局部信息约束项中，嵌入了邻域像素灰度与邻域像素均值的偏差，从而使得该算法具有更强的抑制噪声能力，有利于对遥感影像变化的检测。同理，唐一明等[110]也提出了相似的局部信息约束项修正式为

(68)

Verma等[111]考虑到模糊局部信息C-均值聚类中模糊权因子m选取缺乏明确的物理意义，提出将信息熵嵌入模糊局部信息C-均值聚类，得到了极大熵约束的鲁棒模糊局部信息C-均值聚类，其目标函数为

(69)

但是，这种局部划分熵修正的模糊局部信息约束项难以合理解释，不易引起众多研究者关注。

为了增强模糊局部信息C-均值聚类的鲁棒性和有效性，将空间局部信息与模糊局部信息相结合构造新的鲁棒模糊聚类是新的发展趋势。苏志远等[112]提出像素灰度空间约束和模糊局部信息约束相结合的改进鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(70)

但是，没有有效地解决参数bi的合理选取问题。

最近，Abu等[113]提出了邻域滤波均值信息与模糊局部信息相结合的增强型模糊局部C-均值聚类方法，能够有效地解决噪声干扰的声呐图像分割问题。该聚类对应的目标函数为

(71)

鲁振宇等[114]提出了双重局部信息约束的鲁棒中智C-均值聚类，其目标函数为

(72)

该鲁棒中智局部信息C-均值聚类相比现有的模糊局部信息C-均值聚类有更大的潜在优势。

为了改善模糊局部信息C-均值聚类不足问题，Zare等[115]提出了嵌入可能聚类的模糊局部信息C-均值聚类分割法，用于水下声呐图像的有效分割。该聚类对应的目标函数为

(73)

但是，这种加性结构的模糊可能局部信息C-均值聚类面临参数a和b的合理选取问题。Memon等[116]提出将模糊聚类与可能聚类相结合并嵌入像素邻域模糊局部信息，获得可能模糊局部信息C-均值聚类方法，相比模糊局部信息C-均值聚类具有更强的噪声抑制能力。该聚类对应的目标函数为

(74)

但是，该种算法迭代收敛速度非常慢，不适合实时性要求较高场合的应用需要。

针对现有的模糊局部信息C-均值聚类，特别是核空间模糊加权局部信息C-均值聚类，其运算非常耗时，并不适合大幅面图像进行目标跟踪与识别和理解等需要。为此，侯晓凡和吴成茂[117-118]对模糊局部信息C-均值聚类进行改进，提出了利用一维直方图和二维共生直方图相结合的快速模糊局部信息C-均值聚类，增强该聚类算法的实时性，对智能交通，目标跟踪和遥感监测等方面的应用具有较大价值。

4.9 半监督鲁棒模糊聚类

Ngo等[119]提出了利用邻域像素隶属度信息对当前像素与聚类中心之间的距离测度进行修正的方法，将距离修正为

(75)

利用其修正距离测度并构建半监督区间值2型模糊聚类改善噪声干扰遥感影像的变化检测问题。

Tuan等[120]将现有的半监督FCM中隶属度约束项目利用邻域像素隶属度均值替代并获得一种适合噪声干扰图像分割的鲁棒聚类算法，其目标函数为

(76)

随后，Son和Tuan[121]又提出了半监督熵正则的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(77)

Son和Tuan[122]将在半监督模糊聚类中引入距离度量修正，得到加强型的鲁棒半监督模糊聚类，其目标函数为

(78)

另外，Hayat[123]也提出了一种非常简单的半监督鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(79)

为了增强中智聚类分割噪声干扰图像的鲁棒性，吴成茂和上官若愚[124]提出了利用马尔科夫随机场估计像素分类先念信息，并提出鲁棒半监督中智聚类分割方法，其目标函数为

(80)

另外，吴成茂和上官若愚[125]也提出另一种鲁棒半监督中智聚类分割方法，其目标函数为

(81)

这类方法的中智聚类能够应用于解决医学和遥感等影像的鲁棒分割问题。但是，其参数λ选取缺乏一定的理论依据。

4.10 其他类型鲁棒模糊聚类方法

为了增强基于高斯混合模型的模糊聚类分割方法的鲁棒性，刘金尧和纪则轩等[126-127]提出了像素邻域的先念概率和后念概率相结合的空间邻域信息约束的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(82)

这种分割方法非常适合自然图像和MRI图像等分割的需要。但是，该鲁棒聚类分割法中Fij的可解释性较差，不易引起更多学者重视。

Hamasuna和Miyamoto[128]提出了冗余模糊聚类方法，其目标函数为

(83)

后来，Kannan等[129]将冗余模糊聚类推广至核空间，提出了极大熵约束和邻域隶属度约束相结合的鲁棒冗余核空间模糊聚类，用于进行医学影像的分割。其目标函数为

(84)

但是，该聚类模型存在一个问题是因邻域隶属度约束项存在参数m，导致无法获得严格数学意义的隶属度迭代表达式。

为了改善现有的模糊聚类性能，Forero等[130]提出了冗余系数稀疏正则化的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(85)

其中，ei为偏置场。在此模型基础上，张宇轩和白相志等[131]提出了邻域像素偏差稀疏约束的鲁棒模糊聚类分割法，其目标函数为

(86)

但是，该空间邻域信息约束鲁棒模糊聚类目标函数存在的不足，是未完全借鉴Forero等提出的冗余系数稀疏软正则化方法，导致er的迭代计算并非完全合理。

针对遥感影像本身具有模糊性、随机性和未知性，余先川等[132]提出了区间值数模糊聚类进行遥感影像分类，后来贺辉等[133]又给出自适应区间二型模糊聚类分类遥感影像方法，徐金东等[134]提出了自适应区间值数模糊局部信息C-均值聚类遥感影像分类方法。张阿龙等[135]提出了邻域非局部信息距离的最大值和最小值与当前像素聚类距离项相结合，构造了一种鲁棒区间值2型模糊聚类实现遥感影像变化检测。即

(87)

这种邻域非局部加权距离极大地推动了鲁棒区间2型模糊聚类的发展，对高光谱遥感影像解译具有深远意义。

针对现有的模糊C-均值聚类构造机理存在的不足，郑钰辉等[136]首次提出分层结构模糊C-均值聚类模型，则可描述为

(88)

1≤i≤n,

1≤j≤c。

为了增强这种分层模糊聚类对噪声干扰图像的有效分割，将邻域灰度信息嵌入该模型并得到广义分层结构模糊聚类算法，其目标函数为

(89)

后来，陈允杰和郑钰辉等[137]提出了嵌入像素邻域非局部信息、先验概率信息和后验概率信息相结合的鲁棒分层模糊聚类算法，有效改善了MRI图像的分割问题。陈允杰等[138]又将分层模糊聚类与学生t-分布模型相结合，提出了各向异性多变量分层模糊聚类算法，用于MRI影像解译。孔令成和郑钰辉等[139-140]又将学生t-分布模型与分层模糊聚类相结合获得t-分布距离函数的分层模糊算法，增强了分层FCM解决自然图像分割的能力。这种鲁棒分层模糊聚类不仅推动了模糊聚类理论的发展，而且对分层模型[141-143]解决图像分割问题提供了崭新的思路。

5 基于鲁棒统计量的鲁棒模糊聚类

为了降低FCM对噪声的敏感性，将鲁棒统计引入FCM并得到一类对离散噪声或奇异值具有抑制能力的鲁棒模糊聚类[144-146]，其目标函数为

(90)

其中， 鲁棒统计量ρ(x)函数为

ρ(x)=|x|，ρc(x)=0.5c2ln(1+(x/c)2)，

后来，Mújica-Vargas等[147]提出了基于鲁棒统计量的模糊聚类分割方法，在应用于彩色图像分割时取得一定效果。蒋小良等[148]给出局部鲁棒统计量和空间邻域信息约束相结合的鲁棒模糊聚类，其目标函数为

(91)

该方法应用于医学影像分割，取得了良好的效果。Abadpour[149]提出了鲁棒损失函数和空间邻域信息相结合的鲁棒模糊可能聚类分割方法。

随着鲁棒模糊聚类理论的发展，诸如半Huber损失函数[150]、Vapnik损失函数[151]、0.5范数损失函数[152]、Lorentzian损失函数[153]和自适应损失函数[154]等将会在鲁棒模糊聚类分割理论中发挥重要作用。特别是利用鲁棒损失函数进行空间邻域信息鲁棒估计[155]，将其嵌入现有的鲁棒模糊聚类目标函数，进行彩色图像的有效分割将是未来研究的热点课题之一。

6 面向几何噪声的鲁棒模糊聚类

近年来，我国已成功发射了不同用途的高分遥感卫星，如高分一号高分宽幅、高分二号亚米全色、高分三号1米雷达、高分四号同步凝视、高分五号高光谱观测、高分六号陆地应急监测和高分七号亚米立体测绘等7颗民用高分卫星，获得大量的对地观测数据，建立了高分专项数据中心，满足不同应用需求。高分遥感随着遥感图像分辨率的提高，几何噪声也会随之增加。几何噪声，即较大的主同质区域内存在的较小的次同质区域，如道路与道路中心线，此类较小的次同质区域往往归属于主同质区域或不足以被单独视为一类，一般的处理方法就是将其忽略。传统的图像分割算法，如基于阈值选取、区域和边缘检测方法等，均不能描述噪声引起的不确定性问题，导致分割效果差。为了改善该类问题，赵泉华和张冬等[156]提出了包含度和模糊度相结合的鲁棒模糊聚类方法，其目标函数为

(92)

s.t. 0≤uij,tij≤1,1≤i≤n,1≤j≤c，

其中：uij表示第i个样本xi属于第j类的隶属度;tij表示第j类对第i个样本xi的包含度。然而，由于聚类数c和样本数n的数量差距很大，导致约束条件中uij和tij的数量差距也很大。为了与uij的数量级相一致，对其包含度tij进行约束,即

通过拉格朗日乘子法获得该模型的迭代求解算法，可减少遥感影像中几何噪声对分割结果的影响。

另外，高分遥感影像因成像机理导致影像中不仅有几何噪声，也存在诸如椒盐噪声等离散噪声。为了在这种情形下对高分遥感影像进行有效分割，刘丛等[157]将在式(92)基础上提出了融合多种信息的混合噪声图像分割法，其相应的聚类目标函数为

(93)

虽然这种正则化参数选取十分有效，但是无法从像素邻域信息角度给出合理解释，难以让人接受，也就无法引起更多研究者重视。总之，几何噪声仍是困扰高分遥感影像合理解译的一大难题，取得的进展仍较少，于是将代数拓扑学中的纤维丛理论、代数几何(如广义主成分分析等)、共形几何代数(即Clifford代数)[158-162]和黎曼流形测度理论等引入这种模糊聚类，可能对几何噪声干扰的遥感影像解译带来新的研究思路。

7 鲁棒模糊聚类分割方法解释

迄今为止，鲁棒模糊聚类分割理论已经历了20余年的蓬勃发展，提出了众多有效分割方法，并广泛应用于生物医学工程、遥感影像解译、工业自动化、智能导航与自动无人驾驶等众多领域。但是，这些鲁棒模糊聚类分割算法的本质都是对模糊聚类目标函数中的距离度量测度或隶属度进行空间邻域信息约束修改，相应的典型鲁棒模糊聚类最优化模型描述为

(94)

或者

(95)

(96)

(97)

上述这些最优化问题求解采用交替迭代法实现，其相应的模糊划分隶属度差分迭代模型描述为

u(t+1)=θ(u(t))。

(98)

其中，θ(u(t))=H[G(u(t))]，映射G:u→v,G(u)=v且H:v→u,H(v)=u。

令u*是差分方程u(t+1)=θ(u(t))的不动点。如果离散映射θ的雅克比矩阵范数‖θ′(u(t))‖<1，那么映射θ在u*点是收缩的，u*是渐进稳定点。

综上所述，这些最优化模型改变现有的模糊聚类进行差分演化的扩散动力学特性[163-166]，从而达到对分割图像中存在的点噪声或几何噪声进行有效抑制，以便获得满意的分割结果，能更好地满足后续的目标识别、理解和跟踪等需要。

8 鲁棒模糊聚类分割理论展望

近年来，随着深度学习、强化学习、迁移学习、自步学习[167]和稀疏学习等理论的快速发展，将其与现有的模糊聚类相结合，以便改善现有的模糊聚类的准确性、有效性、适应性和鲁棒性。当前，已涌现出下列新的研究方向。

1)深度学习网络与模糊聚类相结合形成各种深度模糊学习网络[168-174]，改善了现有的模糊聚类对不同类型数据的适应性。但是，如何提高其快速性和实时性是急需解决的关键问题。

2)迁移学习[175-176]、稀疏学习[177-181]、引导学习[182]与模糊聚类相结合取得巨大进展，增强了现有的模糊聚类对噪声污染或数据缺失情形的鲁棒性。特别是，异源迁移学习模糊聚类如何有效解决负迁移问题是急需研究的重要问题之一。

3)自步学习[183-184]、强化学习[185-187]与模糊聚类相结合取得较大进展，改善了现有的模糊聚类的聚类准确度。特别是以数据驱动的自动化机器学习方法[188]与模糊聚类相结合，将给复杂场景图像的有效分割带来新的机遇。

4)超像素理论与模糊聚类相结合[189-193]，提升现有的模糊聚类对复杂图像的有效分割能力。但是，超像素模糊聚类法分割噪声干扰图像存在精度低和速度慢等问题有待解决。

5)信息几何与模糊聚类相结合[194-201]，增强了现有的模糊聚类对不同类型图像分割的适应能力。

总之，随着新的机器学习理论不断诞生，将其与模糊聚类理论相结合，对鲁棒图像分割理论的发展起到积极促进作用。

目前，虽然鲁棒模糊聚类图像分割取得较大进展，但是，该聚类分割法应用时仍面临如何优选正则化约束参数，以及对于大幅面影像分割的时间复杂度过大等诸多问题。近年来，忆阻器神经网络在大规模数据聚类[202-206]、模式分类与机器学习[207-208]和稀疏编码表示[209-210]等应用方面取得丰富成果，另外，在实时图像分割邻域[211-212]也取得较大进展。因此，探索模糊聚类、图形模糊聚类[213-218]与深度忆阻神经形态计算相结合可能给大规模大幅面遥感等影像的有效实时解译带来新的思路。