由简单生成复杂
——哲学视角下的微积分

2020-04-13 09:13谢朝东
黑龙江科学 2020年5期
关键词:幂函数小曲微积分

焦 华,谢朝东

(1.贵州商学院,贵阳 550014; 2.贵州民族大学,贵阳 550025)

1 引言

中国古代哲学的五行理论认为:金木水火土是构成物质世界的五种基本元素。计算机中五笔字型汉字录入法共有130个字根,由这些字根可生成所有汉字。其中金木水火土是键盘上五个键的首字根,其汉字编码依次为:金——qqqq、木——ssss、水——iiii、火——oooo、土——ffff。26个英文字母的排列组合可生成所有英文单词,这种特征使得英文录入简单易行。从文字差异可推测文化及思维差异:国人善于将简单问题复杂化?英美人善于将复杂问题简单化?世界丰富多彩的颜色是由红色、绿色、蓝色(RGB)这三种基本色生成,称之为色彩学中的“三色理论”。顺序结构、分支结构、循环结构、函数调用回返结构是计算机程序设计中的四种基本结构,由它们有限次的排列组合、有限次的相互嵌套可生成任何复杂的程序代码[1]。

总之,自然与社会的发展都是从低级到高级、从简单到复杂的运动过程。由此哲学观点出发,考察微积分中由简单生成复杂的相关内容[2]。

2 “点生成图”——函数图形由点构成

函数图形建立在坐标系的基础上,或者说函数图形依赖于具体的坐标系[3]。比如隐函数x2+y2=1在直角坐标系下的图形是一个圆,在斜坐标系下的图形就不是一个圆,在坐标轴度量单位不相等的直角坐标系下的图形也不是一个圆。

为什么一些公众人物充满争议?其实很多时候是“坐标系”不同引起的[4]。坐标系其实是一种建立了“数”与“点”联系的数学结构,自然具有多样性。“点生成图”的含义是指平面或空间的图形是由点构成的,比如平面上的曲线、空间中的曲面等均由点生成,“点”是图形最基本的元素。Matlab中的 Plot函数就是据此原理由足够多的“点”采用“描点法”绘制图形[5]。电脑或手机的分辨率是清晰度的一个指标,反映的是“像素点”的多或少,而点阵图(位图)是由“像素点”生成的。

3 由基本初等函数生成初等函数

微积分中有六类基本初等函数:常数函数y=c、幂函数y=xα、指数函数y=ax、对数函数y=logax、三角函数系列、反三角函数系列[6]。

初等函数是指将六类基本初等函数作有限次的加减乘除四则运算以及有限次的函数复合运算所得到的函数。可以说是“无聊”或“无奈”,也可以说是“有趣”,微积分大部分内容是对丰富多彩的、各种各样的初等函数求导、求微分、求不定积分、求定积分。计算一阶导数不够,还要计算2阶导数……n阶导数;计算一重积分(定积分)不够,还要计算2重积分……n重积分;对显函数求导不够,还要对隐函数求导[4]。

4 有任意阶导数的函数f(x)可由简单幂函数x0,x1,x2…xn…生成

微积分也称为数学分析,分析方法就是把整体的研究对象剖分为各个局部部分,然后加以考察和认识。因此很多时候即使函数f(x)有广阔的定义域,也是以考察x0的一个小邻域U(x0)作为出发点。泰勒中值定理(也称为泰勒公式)就是这样做的,要求函数f(x)在小邻域U(x0)内具有直到n+1阶导数,结论是对任一x∈U(x0),有[6]:

也可以写成f(x)=Pn(x)+Rn(x).其中:

探寻泰勒公式过程的思想亮点是针对x0的邻域构造多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n,而后用待定系数法求出多项式所有系数[5]。

泰勒公式的本质是在x0的一个小邻域U(x0)内用n阶(次)泰勒多项式Pn(x)逼近原有函数f(x),这种近似有误差,误差为Rn(x)。容易看出Pn(x)是由f(x)生成的,这是因为Pn(x)可用f(x)在x0点的函数值及各阶导数值构造,即由f(x)可构造(或生产)Pn(x),Pn(x)因f(x)改变而改变,它们是有“血缘关系”的。形象地说:f(x)生个儿子Pn(x)很像自己,不太像的有误差的地方为Rn(x)。Rn(x)可表示为:Rn(x)=o[(x-x0)n].这是皮亚诺型余项形式。

将代数表示与几何直观建立关联:函数f(x)在小邻域U(x0)内的曲线足够光滑,当n=0时,泰勒中值定理变成了拉格朗日中值定理f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0),因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广,几何意义是“以点代线”。

取x0=0,得到的泰勒公式称为麦克劳林公式,带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式为:

常见的初等函数的麦克劳林公式如下:

写出这些常见的麦克劳林公式是为了观察比较:左边函数千差万别,右边主体部分却是由幂函数x0,x1,x2…xn…生成的多项式。

归纳总结:泰勒公式的内容简言之即函数的多项式逼近,而多项式是由最简单的幂函数生成。

(余项或误差项趋于0)。

取x0=0,得到的泰勒级数称为麦克劳林级数,这时f(x)展开成了关于x的幂级数:

微积分中已证明f(x)若能展开成关于x的幂级数,那么展开式一定是唯一的,一定是麦克劳林级数。观察上式:左边一项可分解成右边无穷多项;右边无穷多项可合并成左边一项。左边函数f(x)的任意性可千差万别,右边却是由非负整数次方幂函数x0,x1,x2…xn…的线性组合生成。不同的函数只是线性组合的方式(系数)不同而已。比如:

结论:非负整数次方幂函数x0,x1,x2…xn…是构成任何有任意阶导数的函数的基本元素,由于初等函数在其定义区间上有任意阶导数,因此任何初等函数均可由x0,x1,x2…xn…的线性组合生成。如同可利用一堆积木块搭建城堡、大桥、火车等,x0,x1,x2…xn…类似于积木块,可根据实际需要利用它们搭建生成各种各样的初等函数。

5 从“线积累生成面”到“面积累生成体”

其实曲边梯形面积只是定积分概念导入的一个引例,其过程具体化为:将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,每个小曲边梯形用一个小矩形来近似,注意这里若用小直边梯形近似小曲边梯形,直观上误差将更小、效果更好,为什么没有这样做?这是为了保证定积分的广泛应用性,因为定积分从现实原型抽象出来,除了曲边梯形面积外,还有变速直线运动的路程、变力沿直线做功等。再有就是为了保证计算的简便性。每个小曲边梯形用一个小矩形近似有误差,n个小曲边梯形之和用n个对应小矩形之和近似是误差的n次积累,但是微积分的鲜明特色之一是“取极限可消除一切误差(偏差)”,因此当最大区间长度趋于0时,不再有误差,一切迎刃而解!最大区间长度λ(Δ)→0将导致所有的Δxi→0(i=1,2…n),这表明所有的小矩形的底边趋于0,小矩形变成了“线”,因此定积分(一重积分)的几何解释就是“线积累生成面”。因为“线”的面积为0,因此定积分(一重积分)的思想是先化整为零,再积零为整。

二重积分的定义与定积分(一重积分)类似,当被积函数f(x,y)≥0时,几何意义是曲顶柱体的体积。其过程具体化为:将曲顶柱体任意分割成n个小曲顶柱体,每个小曲顶柱体用一个小平顶柱体来近似。二重积分的计算是将二重积分化为二次积分,比如在直角坐标系下积分区域D为X—型时可得[7]:

6 结语

“由简单生成复杂”是宇宙的基本法则,在微积分中得到了充分的体现。微积分几乎是所有本科大学生必学的重要基础课,通常开设两个学期,同时也是高职高专必学的数学课,通常开设一个学期(只讲授一元函数微积分学)。因此,对微积分教育教学的研究是非常必要的[8]。用工具论的观点定位微积分教育教学过于狭隘,将微积分视为可部分解读世界的哲学更为合理。恩格斯赞誉微积分是人类精神最伟大的成果,足以可见微积分在那个时代对哲学的深刻影响[9]。

在实际教学中,微积分的抽象性与复杂性会让很多大学生感觉在读“天书”,枯燥无味、难以理解、没有兴趣。张景中院士多次强调:“优秀教师应向同学展示数学思维的美”,因此对于教师来说,高屋建瓴、深入浅出,引领学生深刻理解微积分的思想方法,体验微积分与哲学结合产生的震撼的美是必要且必须的[10]。

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