高中生数学核心素养发展水平分析与教学建议——2019 年高考（天津卷）数学（理工类）考试评价

刘 勇 沈 婕 傅 剑

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）试卷（以下简称“2019 年高考数学（理）天津卷”）以《普通高中数学课程标准（实验）》为依据，以《普通高中数学课程标准（2017 版）》（以下简称“《新课标》”）为参考，坚持能力立意的指导思想，将数学必备知识、关键能力和数学核心素养的考查融为一体，试题设计注重基础性、综合性、应用性和创新性相互融合，充分考查了学生的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，充分考查了学生的数学核心素养水平，也考查了学生发现提出问题和分析解决问题的能力。2019 年高考数学（理）天津卷保持了以往的框架结构，突出主干知识与通性通法的考查，突出关联情境的创设，突出源于教材的命题特点。考后数据显示，试卷难度为0.71，区分度为0.51，ALF 系数为0.86，试卷总体难度适当且保持稳定，具有较高的区分度和信度。采用安戈夫法，将考生分为精通水平（G4 组）、熟练水平（G3 组），基本水平（G2 组）以及基本水平以下（G1 组）四组，其分数段分别为128-150 分、106-127 分、84-105 分、84 分以下；全体考生记为G5 组。

一、试卷特点分析

（一）突出数学基础知识、基本技能的考查

2019 年高考数学（理）天津卷以高中数学内容为主线，对高中数学主干知识进行了考查，函数与导数、数列、不等式、三角函数、概率、立体几何、解析几何等主干知识保持了较高的比例，既突出了基础性，又达到了必要的深度。从试题的解题方法上看，全面考查了基础知识与基本技能，引导教学要夯实基础知识、提高基本技能、提炼通性通法。

（二）突出数学思想方法的考查

试卷体现了基础知识与思想方法相融合解决问题的特点。例如，第2 题关于线性规划、第5 题关于双曲线与抛物线、第8 题关于分段函数、第14 题关于平面向量、第18 题关于直线与椭圆，考查了数形结合思想；第10 题关于二项式展开式、第12 题关于参数方程、第17 题第（III）问关于求空间线段长、第19 题关于数列的通项，考查了方程思想；第8 题考查了分类讨论思想；第20 题考查了函数思想及转化与化归思想。这一特点引导了教学要注重数学思想方法的提炼、总结与应用，提高学生从数学思想方法的维度认识数学本质的能力。

（三）突出基本活动经验的考查

试卷立足于学生较为熟悉的题型和方法，突出了对于学生基本活动经验的考查。试卷题目情境学生较为熟悉，有些题目是将教材中的例题、练习、习题、复习参考题融合、嫁接而成的，例如第1、2、3、6、7、9、10、11、12、15 题；有些题目是学生常用的解题方法的整合，例如第13、14、18、19 题；另外有些题目涉及的知识点与以往试卷具有较高的相似度。这说明学生的基本活动经验与答题效果有着密切的关系。这一特点引导了教学中要注重帮助学生总结、积累、应用和反思基本活动经验，同时要重视研究教材的学习功能，挖掘教材资源的多用价值。

（四）突出数学核心素养的考查

试卷以设计关联情境为载体，全面考查了学生数学学科核心素养的水平。试卷通过设计一些新情境，考查学生选择和应用数学方法解决问题的能力，从而考查出学生的数学抽象素养水平。 例如第20题，需要考生从数量与数量关系中抽象出概念之间的关系，发现规律做出新的判断，并用数学语言予以表征。试卷通过所设置的问题，考查了考生在探索与表达过程中重论据、有条理、合乎逻辑的理性思维能力，体现了对逻辑推理素养的考查。再如第17 题证明线面平行、第20 题证明不等关系，均需要考生通过对条件与结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法和准确的数学语言予以证明。数学建模和数据分析的考查主要以第16 题为载体，考查了二项分布在解决实际问题中的应用，考查了考生在实际问题情境中从数学视角发现问题和分析问题的能力，以及从数据中提取信息，运用概率模型解决问题的能力。数学运算素养的考查贯穿试卷始终，既考查了学生对运算对象的理解、运算思路的探究、运算方法的选择能力，也考查了学生思维能力与运算技能相结合的能力。例如第18 题，需要考生结合椭圆与直线的几何特征，寻找和设计合理、简捷的运算途径。试卷以立体几何、平面向量、解析几何、函数的图象等内容为载体，考查了学生的直观想象素养。考生在解题中要利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系。这一特点引导了教学要将数学核心素养的培养贯穿始终，不仅要重视如何教，更要重视如何学。

二、学生数学核心素养发展的过程及表现

（一）义务教育阶段学生数学核心素养的整体水平分析

学生数学核心素养的发展不是一蹴而就的，它是从小学到高中逐步积累和连续发展的过程。义务教育阶段通过设置“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四部分课程的学习，使学生的数学核心素养发展到一定程度。例如：①在数学运算素养方面，初中毕业生能从问题中抽象出数量关系，能根据法则和运算律进行加减乘除、乘方、开方的运算，能解较为简单的方程（组）和不等式，初步理解了运算算理，能进行简单的估算，能尝试寻求合理简洁的运算途径。但他们缺乏对含有字母的代数运算程序的设计能力，不能驾驭较复杂的含有字母的运算。②在直观想象素养方面，初中毕业生能借助几何直观把较为复杂的数学问题变得简明、形象，特别是能够运用数形结合的方法解决一次函数、反比例函数及二次函数的相关问题。此外，他们也具备了根据物体抽象出几何图形的能力，具有识别、画出和想象简单的平面及立体图形的能力，能够解决一些图形变化问题，能够分析平面图形中元素的相关关系。但通过图形探索解决问题的思路较为狭隘，对数形结合思想的理解并不透彻，用运动的观点分析图形的能力欠缺，还不能建立图形与数量之间的关系。③在逻辑推理素养方面，初中毕业生能进行简单的归纳推理，能根据已知、定理、公理、运算法则等进行证明和计算的演绎推理；特别是平面几何的证明问题培养了学生的逻辑推理能力，但驾驭较复杂问题的推理能力较弱，推理中的转化能力不强，不具备通过构造中间量完成推理的能力。

（二）数学核心素养的实测数据分析

2019 年高考数学（理）天津卷突出考查了数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析及数学建模等数学核心素养，试题所体现的核心素养既相对独立又相互融合。其中，考查数学运算素养的题目有 第 1、6、9、10、13、15_I、15_II、17_II、17_III、19_I、19_II（i）、20_I 题，共59 分，得分率为0.81，主要体现了“思维先导把控数学运算”的特点，突显运算思路的探究与运算程序的设计能力；考查直观想象素养的题目有第2、5、7、8、11、12、14、18_I、18_II 题，共48分，得分率为0.68，主要体现了“直观分析发现数形关系”的特点，突显数形结合思想的应用能力；考查逻 辑 推 理 素 养 的 题 目 有 第3、4、17_1、19_II（ii）、20_II、20_III 题，共30 分，得分率为0.46，主要体现了“建立关系探究思路”的特点，突显发现提出问题、分析解决问题能力；考查数据分析及数学建模素养的题目是第16 题，共13 分，得分率为0.92，主要体现了“应用模型与数据分析相结合”的特点，突显数学在生活中的应用。

以试题特点及试题得分数据作为评价高中毕业生数学核心素养水平的依据，以考生高中入学时的数学核心素养水平为参考，可分析学生在高中阶段数学核心素养的发展情况。据此可评价高中数学教学的得失，从中吸取经验，对今后教学产生指导意义。

三、数学运算素养发展水平分析

学生进入高中后，在不同的知识领域中提高了数学运算素养，主要涉及集合运算、解不等式、指数对数运算、三角函数运算、解三角形、数列、运用空间向量解决立体几何问题、解析几何中的运算、概率统计中的运算等内容，不同的知识点其运算特点各有千秋。例如，解三角形的运算特点有直接运算、消去运算、整体运算等，函数运算的特点有变量整理、解析式的整理与变形等，三角函数有三角公式、三角值运算等，数列的运算特点有构造模型、基本量（方程思想）运算等，解析几何的运算特点有消变量、解方程等。这些运算均以加减乘除四则运算为基础。学生在高中学习过程中，不断提高形成运算思路和设计运算程序的能力，同时运算的准确性也在提高。

例1：2019 年高考数学（理）天津卷第6 题

已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a、b、c 的大小关系为

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【内涵分析】本题考查指数和对数的运算，及运用指数函数和对数函数的单调性进行估值。当一次估算不能解决问题时，要提高估算的精确度，于是与二分法的相关思想关联，进行进一步估值。此题需要考生会设计运用估算比较大小的运算程序，考查了考生的数学运算素养。

【考生表现】本题得分率为0.77，属于简单题。

表1 2019 年高考数学（理）天津卷第6 题各水平组得分

从考生答题情况看，G1 组考生对指数、对数运算及函数单调性的基础知识理解不到位，部分G2 组和少数G3 考生不能正确比较出与的大小关系，即不能找到以为中间量，进行比较大小。

【素养发展】学生在义务教育阶段具备利用估值法比较实数的大小的数学运算素养，也能运用“中间量法”比较两个实数的大小关系，例如比较两个无理数（式）的大小。学生对比较大小的过程是从代数运算的角度进行的，并不能以函数的图象与性质作为工具。在高中的学习中，学生对估值运算发展到以熟悉的函数为工具，进行适当的估值，并能以“二分法的相关思想”探索估值的思路并设计估值程序。

【教学启示】教学中要注重指数、对数运算，并能结合指数、对数函数的图象与单调性进行估值，用“二分法的相关思想”提高估值的精确度，要使学生理解估值运算的基本程序。

例2：2019 年高考数学（理）天津卷第13 题

【内涵分析】本题主要考查运用基本不等式求最值。其中，基本数学运算是解题的关键，考生需要熟悉基本不等式求最小值的“模型”，即通过数学运算构造“倒数关系”，这样能产生积为“定值”，从而求最小值。

【考生表现】 本题得分率为0.51，属于中等难度题。

表2 2019 年高考数学（理）天津卷第13 题各水平组得分

【素养发展】学生在义务教育阶段能够运用基本数学运算对代数式变形从而构造“基本模型”是较为熟悉的，例如构造平方关系、倒数关系等。在高中的学习过程中，G3 和G4 组大部分考生运用运算变形代数式的能力日益增强，但G1 和G2 组考生对运算的观察能力仍然较弱，即事先预判运算过程的能力没能得到较好发展。

【教学启示】教学中要强调基本运算在解题中的作用，特别是在构造“基本模型”时的作用。教学中要通过设计数学运算与基本不等式、函数、数列等相关联的问题情境，让学生体会到数学运算是解题的重要工具，增强学生的运算意识，提高学生对数学运算的观察能力。

例3：2019 年高考数学（理）天津卷第15 题

在△ABC 中，内A，B，C 角所对的边分别a，b，c为．已知b+c=2a，3csin B=4asin C．

（Ⅰ）求cos B 的值；

【内涵分析】本题设计了正余定理、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、二倍角公式的关联情境，考查了学生的数学运算素养水平，特别是在运用余弦定理求时，需要带有变量进行消去运算，这是评价考生数学运算素养水平的重要依据。

【考生表现】本题得分率为0.91，属于简单题。

表3 2019 年高考数学（理）天津卷第15 题各水平组得分

从解题情况看，学生能够结合定理及公式进行求值运算，基本达到了《新课标》中数学运算素养水平二的要求。只有少部分G1 组的考生，缺乏对含有a，b，c 三个变量的运算的规划能力，也有个别考生在基本运算上出现失误。

【素养发展】学生在义务教育阶段数学运算发展到具体数值运算、代数式整理的运算水平，并不能对含有多个变量的代数式设计出消去运算程序。通过高中的学习，学生能够对含有多个变量的代数式设计合理的运算途径，数学运算素养得到了提高。

【教学启示】教学中，要帮助学生分析运算的特点，从为何算、如何算、由何算的角度对数学运算进行分析。

可见，学生在高中阶段的数学运算素养明显提高，主要表现在运用数学运算解决问题的意识、数学运算技能、数学运算方法以及设计运算程序、调节运算思路等方面的能力得到了提高。不过，学生对基本运算有时会出现错误，影响了数学运算素养的表现水平，同时G1 组考生运算程序的设计水平较低。

四、直观想象素养的发展水平分析

学生进入高中后，直观想象素养的发展机会最多，也是最先发展起来的。特别是在高一学习函数概念与性质及应用和指数函数、对数函数、三角函数的图象、性质及其应用时，对直观想象在解决问题中的作用有了较为系统的理解，同时对数形结合的思想方法的认识也得到了提升。高二学习立体几何，发展了学生的空间想象力；学习解析几何，提高了学生几何与代数之间的转化能力，发展了分析图形的能力；学习导数时，学生再次体会函数图象在解题中的作用，又一次提升了直观想象素养。

例4：2019 年高考数学（理）天津卷第11 题

【内涵分析】本题主要考查棱锥的性质和圆柱的体积等基础知识，考查考生“识图”、“画图”和“想图”的空间想象能力。解题的关键在于正确理解并想象出题目中四个中点的外接圆，并求此圆的半径和圆柱的高。

【考生表现】本题得分率为0.47，属于中等难度题。

表4 2019 年高考数学（理）天津卷第11 题各水平组得分

【内涵分析】本题考查平面向量基本定理和平面向量的数量积运算。运用平面向量基本定理将所求向量用已知向量表示是解题的出发点，运用平面几何知识挖掘图形中的几何条件是解题的关键，上述

考生总体表现水平低于预期， 其中G1 和G2组考生不能想象出图形的形状，想象和构建几何图形的能力较弱。 部分G3 组考生将棱锥看成实物，所以将题目想象成从棱锥中截取圆柱，即将四个中点的外接圆想象成了内切圆，这部分考生对图形的抽象能力有待提高。另外，有些考生在求圆柱的高时出现错误，主要原因是没能发现圆柱高与圆锥高的关系。

【素养发展】学生在义务教育阶段建立了基本的空间观念，认识了简单的几何体。在平面几何的学习中，能够分析平面几何中图形与图形的关系、图形与数量的关系。在高中阶段，G3、G4 组考生已经发展到具备想象并构建立体几何图形的能力，并能发现空间图形之间的关系，能分析立体图形与平面图形之间的关系。G1 和G2 组考生在关联情境中想象和建构空间的能力仍然较弱，未能达到《新课标》中直观想象素养水平二的要求。

【教学启示】立体几何的教学要进一步培养学生的空间观念，教学要在提高学生“识图、画图、想图”的能力上下功夫，在提高探索图形与图形之间关系上下功夫，在运用平面几何知识挖掘截面图形的性质上下功夫。

例5：2019 年高考数学（理）天津卷第14 题两点均需要学生达到《新课标》中直观想象素养水平二的要求。若本题运用平面坐标的坐标运算，通过挖掘几何条件写出坐标仍然是解题的关键。

【考生表现】本题得分率为0.43，属于中等难度题。

表5 2019 年高考数学（理）天津卷第14 题各水平组得分

G1、G2 组考生对平面向量的理解不够清晰，运用平面向量基本定理解决问题的能力较差，解题也就无从入手。G3 组考生主要由于缺乏运用平面几何知识探索图形中条件的经验，没能意识到可以求三角形中的边和角，所以确定基底出现了困难。另外，在利用坐标运算解此题时，考生解题难点也在于运用平面几何知识探索出图形的边和角，进而写出点的坐标。

【素养发展】学生在义务教育阶段解决平面几何问题时，能借助全等、等量代换等方法将线段和角进行转化，即能够发现较为明显的图形与图形间的关系，这反映出学生已达到了在熟悉的或关联的几何情境中发现三角形的边的关系、角的关系的水平。高中阶段通过平面向量基本定理与运算的学习，G4 及部分G3 组考生能在向量与平面几何的关联情境中，探索出向量与向量的关系，能正确选择基底，将向量进行合理的转化，其直观想象素养达到了在关联情境中发现图形与图形、图形与数量关系的水平。但G1 和G2 组考生在向量与平面几何的关联情境中，没有达到正确选择基底转化向量的水平。

【教学启示】向量的教学要以理解向量的概念为出发点，以平面向量的基本定理为抓手，以向量运算为工具，提升学生的直观想象素养。 教学中要将选择基底并运用基底表示向量作为重点和难点，要让学生理解 “为何运用基底”“如何选择基底”“由何确定基底”等问题。同时，还要训练学生在平面几何与平面向量的关联情境中，注重平面几何条件的挖掘和平面向量基本定理的应用。对于G1 和G2 组考生还要落实向量的概念、 向量线性运算和数量积运算等基础知识， 循序渐进地对平面向量进行学习。

例6：2019 年高考数学（理）天津卷第18 题：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若（O 为原点），且OP⊥MN，求直线PB 的斜率．

【内涵分析】本题主要考查由椭圆性质求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交时，通过交点坐标所满足的条件和直线与直线的垂直关系，列方程并求参数的方法。解答此题需要考生具备将几何图形及图形之间的关系用代数形式表达的能力，还要具备用方程思想解决几何图形相关问题的能力。由于此题仅涉及一个参数，所以只需列一个方程即可解决，难度并不大。

【考生表现】本题得分率为0.69，属于中等偏易题。其中第（Ⅰ）问占4 分，得分为率为0.93；第（Ⅱ）问占9 分，得分率为0.58。

表6 2019 年高考数学（理）天津卷第18_Ⅱ问各水平组得分

从答题情况上看，考生基本掌握了椭圆的方程与性质，以及用代数法表达直线与椭圆相交问题。在熟悉的情境中，大部分考生能通过列等式、解方程的方法求得参数。但部分考生未能求出交点坐标，也有部分考生不能将图形中的几何条件用代数式正确表达，还有部分考生在运算中出现错误。

【素养发展】在义务教育阶段，学生能从函数角度解决直线与直线、直线与抛物线相交时的相关问题，也能运用待定系数法求函数中的参数，学生初步了解图形与数量的关系，对数形结合思想也有了初步的认识。高中阶段通过解析几何的学习，学生从数学原理的角度认识了曲线与方程的关系，大部分学生能够掌握将图形关系转化为数量关系的基本方法，理解并会运用解方程来研究图形问题的基本方法，形成了系统的数形结合思想，直观想象的素养得到更为全面、细致、深入的发展。

【教学启示】解析几何的教学要使学生形成用代数法解决几何问题的意识，强化学生将图形转化为代数式的技能。要让学生掌握“建参”与“消参”的技巧，理解图形的特征与建立等式（或不等式）的关系，理解参数个数与方程个数间的关系。还要让学生能够从运动变化的观点分析图形，进而分析图形中变量与变量之间的代数关系。

总之，学生在高中阶段直观想象素养有较大提升，无论是运用数形结合解决函数问题，还是运用代数方法解决几何问题，学生均形成了一定的解题模式。不但数形结合的应用意识增强了，还能分析数与形为何能结合、如何进行数形结合等问题。但部分考生的空间想象力还存在一定的差距，建立空间图形间联系的能力以及在较复杂的关联情境中挖掘平面图形几何性质的能力有待进一步加强。

五、逻辑推理素养的发展水平分析

逻辑推理是数学的“灵魂”，也是衡量学生数学能力的最重要的标志。学生在义务教育阶段，通过参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动，发展了合情推理和演绎推理能力，并能较为清晰地用数学语言表达自己的思考过程与结果。例如，在解决简单的探索规律问题、几何证明问题和函数综合问题时，学生能运用合情推理和演绎推理的方法，也能运用“分析法”寻找解决问题的思路；但不同水平组学生逻辑推理素养水平的差异较大。

在高中阶段，逻辑推理贯穿学习的始终，特别是含参的代数问题、几何证明问题、转化与化归的问题等，均能提升学生的逻辑推理素养。高中数学强调在关联的情境中通过分析问题的条件与结论的关系，以相关概念、命题、定理为工具，探索论证思路，并用准确的数学语言进行表达。

例7：2019 年高考数学（理）天津卷第19 题

设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4，．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

【内涵分析】本题主要考查等差等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识。在第（Ⅱ）问的第（ii）小问中，需要考生将所研究的数列转化为能求和的数列，这是一个具有创造性思维的推理过程，考查了数列求和的基本方法和化归与转化等数学思想方法，以及逻辑推理素养。

【考生表现】本题得分率为0.53，属于中等难度题。其中第（Ⅰ）问占6 分，得分为率为0.93。第（Ⅱ）问的第（i）小问占3 分，得分率为0.46；第（ii）小问占5 分，得分率为0.08。

表7 2019 年高考数学（理）天津卷第19_Ⅱ_i小问各水平组得分

考生的主要问题表现为没有转化的意识，即不能通过构造的方法将所求数列与结论中的特殊数列建立联系。

【素养发展】在义务教育阶段，学生具有将所求转化为熟悉“模型”从而解决问题的能力。通过高中阶段的学习，大部分学生能在关联情境下将所求与熟悉的概念、定理、结论和方法相联系，通过逻辑推理的思考过程将问题进行合理的化归与转化。但学生对于将所求问题转化为一些不常见的“模型”缺乏经验，特别是像本题中要综合运用数学运算与逻辑推理解决问题的情况，只有G4 组中三分之一的考生能够达到该水平。

【教学启示】教学中要提高学生的转化与化归意识，提高学生用“分析法”探索解题方法的能力，让学生分析或反思解题思路的形成过程，将思维的推理过程呈现出来。帮助学生积累转化的“模型”和“经验”，还要帮助学生理解并运用数学符号语言求解或证明。

例8：2019 年高考数学（理）天津卷第20 题

设函数f（x）=excosx，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

【内涵分析】本题综合考查了函数与导数等基础知识，围绕函数的单调性、最值和零点设计问题，三个设问间具有很强的层次性和关联性。第（Ⅱ）问要建立不等关系与最值的联系，转化为运用导数求最值的问题。第（Ⅲ）问要通过换元与第（Ⅰ）（Ⅱ）问建立联系，从而构造出不等关系，再运用不等式的性质进行放缩。考查了函数思想和化归思想以及考生的逻辑推理素养水平。

【考生表现】本题得分率为0.13，属于难题。其中第（Ⅰ）问占3 分，得分为率为0.47，第（Ⅱ）问占4分，得分率为0.10，第（Ⅲ）问7 分，得分率为0.00，本问G4 组得分率为0.01。第（Ⅰ）问，考生知道用求导数的方法判断函数的单调性，但部分考生未掌握求导公式，还有部分考生不会解三角不等式。第（Ⅱ）问，考生知道用求最小值的方法进行证明，但考生不具备运用抽象函数形式表达导数的能力，在用具体函数求导后分析导函数的符号有些复杂。第（Ⅲ）问，由于问题形式较复杂， 考生没能将所证问题与第（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论建立联系，对本问无从入手。

【素养发展】义务教育阶段学生对不等式关系的证明，只能运用“作差法”和解不等式的方法，推理的思路是将比较转化为数学运算。高中阶段学生对不等式证明的逻辑推理有了新的发展，其中有两个实数大小关系的基本事实、不等式的性质、函数的单调性、求最值、放缩法等。在探究推理思路时，大部分学生能联想到将所证转化为函数最值和函数单调性解决问题，但在较复杂的情境中，学生的论证思路就有些紊乱，不能将所证问题与已知的结论或方法等建立联系，用数学符号表达的能力也存在问题。

【教学启示】教学中要增强学生的“论据”意识，强调推理方法的形成过程，强调转化思想在证明中的作用，帮助学生总结和体会证明方法的特点。G4组考生要厘清复杂情境中条件之间、结论之间的关系，要重视运用“构造法”建立条件与结论间的联系，增强数学符号语言的表达能力。

高中阶段，学生的逻辑推理素养得到了一定程度的提高，学生具有将所证与已知、定理、公理或数学思想方法建立联系的意识，能将问题进行适当的化归与转化。但在较为复杂的情境中，学生建立联系的能力不能发挥出来，数学语言表达推理过程的能力较弱。对比各水平组发展空间，G4 组考生远远高于其他水平组。

六、教学建议

（一）研读“课程标准”，根据学生实际确定教学目标

“课程标准”既是教学的依据，也是衡量教学质量的工具。高中学习目标的确定要以课程内容相关要求为标准，突出重点问题与核心问题。为此，教师要能够衡量“了解”“理解”“掌握”“运用”等描述结果的行为动词所表示的程度，要反思“经历”“体验”“探索”等表述过程的目标是否达成。教学目标的制定既要关注基础知识、基本技能力，又要强调数学思想方法及基本活动经验。同时还要通过研读课程内容，提炼其中蕴含的数学核心素养，并融入到学生知识与技能的发展之中，逐步落实和渗透。教师还要认真研究数学核心素养的水平划分，以其中的“水平二”作为高考要求，用水平划分的标准来衡量教学内容和练习题目所达到的水平，分析每位学生的实际水平与高考要求的差距和问题所在。

教学目标的制定还要依据学生的实际水平，根据学生的学习水平及数学核心素养水平，制定适合学生学习又接近课程要求的目标。达到高考要求的教学目标不是一步到位的，要以学生实际水平为起点，着眼于发展学生的数学素养，关注主干知识的学习效果，关注数学思想方法的落实。教学目标的制定，要注重分析情境与问题的水平，即学生可以解决什么水平的情境与问题；要注重分析知识与技能的达成程度，即学生可以运用什么知识与技能解决问题；要注重分析思维与表达所要达到的水平，即学生思考问题的能力与表述过程的水平；要注重分析交流与反思的水平，即对学生运用数学语言解释、交流、反思问题的水平进行评价。根据上述四个方面学生的表现水平，评价学生数学核心素养的水平。

（二）以落实“四基”为抓手，发展数学核心素养

高中学习以高中数学主干知识为载体，全面落实基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，即以建立主干知识结构为核心，梳理基础知识，培养基本解题技能，反思知识中所蕴含的数学思想方法，并从数学核心素养的角度审视知识的特点及学生学习水平。教学中既要从知识层面对主干知识进行细致学习，又要从数学思想方法的角度分析知识与练习题目的特点。

1.梳理框架，创设适宜的问题情境

教师要梳理主干知识框架，形成思维导图，并在学习过程中不断充实思维导图。帮助学生在教师的引领下，最终形成个人的思维导图。教师要经常思考知识间的关联，将单元内部和单元之间的知识关联起来创设问题情境，帮助学生理解并找到解决关联问题情境的要点，使学生达到数学核心素养的水平划分中“水平二”的要求。教学中，教师把握好试题的难度及容量，适当引入一些具有应用性、开放性、探究性的问题，不可走入“题海战术”的误区。

2.夯实基础，提高技能

基础知识一直是高考主要的考查内容。2019 年高考数学（理）天津卷考后数据显示，容易题共99分，占试卷总分值的三分之二。这些题目涵盖高中数学的每个主题，因此，掌握基础知识、提高解题基本技能是高中学习的重中之重，也是发展学生数学素养的保障与途径。

基础知识的学习要全面、有效。以课标要求为依据，对相关概念、定理、公式的学习要厘清其脉络，让学生能够理解知识的来龙去脉，形成探究知识的基本活动经验和典型题目的解题经验。基础知识的学习要全面，不能存在盲区，对教材中例题、习题、学习参考题等提到的问题，均要重视起来，以免造成学生遇到问题感到陌生，对解题无从入手。基础知识的学习还要追求高效，教学中要直击主题，题目设计以课标要求为依据，不偏不怪，帮助学生融会贯通地理解知识，特别是对基本水平及以下的学生，要做好面向全体教学与个别辅导相结合，对最重要的知识点要逐个落实，逐人帮扶。

高三学习是形成解题基本技能的关键时期。教学中要让学生理解并体会基本技能在解题中的作用。学生基本技能的形成不是一蹴而就的，要在各个单元的学习中螺旋式地提高。教师也要根据单元特点提前做好规划，循序渐进地提升学生的基本技能。例如运算求解能力，首先要让学生要理解并体会数学运算在解题中作用，体会运算过程的表现形式，再结合单元知识特征分析本单元运算的特点，逐步积累运算的经验，让学生经历并体验运算程序的设计、运算思路的探究以及运算过程执行过程。在各单元的教学中都要训练学生运算的准确率，让学生积累运算技巧的经验。这样就能系统地培养学生的运算求解能力。提高解题基本技能要根据学生特点尝试运用适当的教学方法，例如“点播总结”“练习体验”“误试”“反思”等方法，让学生亲身经历解题过程，形成基本技能，积累解题技巧和经验。

3.提炼数学思想方法，知识与思想方法相互融合

数学思想方法是解决数学问题的精髓，是发展学生数学核心素养的抓手。学生要达到数学核心素养的水平划分中“水平二”的要求，就必须能够从数学思想方法的维度分析和解决问题。渗透数学思想方法，首先，教师要帮助学生进行提炼，使学生理解思想方法表现的形态，并体会其在解题中的作用。其次，要让学生将知识与思想方法相结合，体会思想方法在每个单元内容中的特点。例如，数形结合思想在函数与解析几何单元中的表现特点不同，教学中要让学生理解其在解决函数问题中“以形助数”的功能，在解决解析几何问题中“由形到数”的转化功能，最后还要帮助学生整体地理解数形结合，提高学生的直观想象能力，这样就能让学生逐步深入、层层递进地理解和运用数形结合思想。再有，教学中要经常开展解题反思活动，让学生从数学思想方法的维度分析题目，从“为何用”“如何用”“由何用”等方面分析数学思想方法在解题中的作用。

4.积累基本活动经验，形成“模型”思想

积累基本活动经验是提高数学素养的重要标志，也是学生学会用数学思维思考世界的基础。高三学习中，学生养成积累活动经验的良好习惯是提高学习效率的有效途径。帮助学生积累活动经验要做好以下三个方面。第一，积累活动经验靠教师 “点拨”。即教师要对基本图形、基本题型、常见条件、常见问题的处理方法轻车熟路，教学中要强调其重要性，并指导学生把这些活动经验纳入到认知结构中，形成基本的解题“模型”。第二，运用活动经验要靠学生“嫁接”。即在关联情境中将不同的活动经验嫁接在一起，找到情境之间的关联，发挥每种经验的作用。第三，丰富活动经验要靠学生“转化”。即增强学生将陌生问题转化为熟悉经验的意识，教师可通过提问引导的方式，帮助学生将新问题转化为熟悉的“模型”。另外，活动经验的积累要呈螺旋式上升的结构。即由积累解决单一知识的经验，逐步发展到积累解决知识点交汇问题的经验，由积累解决简单问题方法的经验，逐步发展到积累复杂问题方法的经验，这样知识与方法层面的活动经验逐步提升、相互整合，最终形成高中数学整体的活动经验。

（三）以单元教学思想为指导，形成高中数学整体知识结构

数学的学习是逐渐建构起来的一个整体，高中学习要着眼于此整体结构的建构过程。该结构可分为函数、几何与代数、概率与统计、数学建模与数学探究活动四大主题，每个主题又可分成若干个单元。高考所考查的内容以创设单元内或单元之间的关联情境为载体，考查学生抽象概念、推理论证、数形结合、空间想象、运算求解、数据分析等解题能力，以及发现提出问题和分析解决问题的能力，从而考查学生的数学核心素养水平。由此可见，高中学习要以单元教学思想为指导，即将高中数学知识中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合，有目标、有计划、有控制地组织整体性教学。这种学习具有知识的整体性、问题的关联性、目标的规划性、难点的分散性、结构的弥漫性等特点，体现出高中学习要在学生原有的认知基础上进行递进式、螺旋式、交织式的建构。

1.注重单元内整体性的教学

高三学习要以主题为单位，整体布局内容，突出知识间的联系性和主题的整体性。教学中要将以往教学设计的“线性结构”转变为“网状结构”，将关注课时的局部化设计转变为关注全局的整体式设计。教学中要找到单元的核心内容和核心数学思想方法，找出一条串联整个单元的“逻辑线”。通常以知识结构图为工具，根据结构图分解单元内容，合理布局、布点，将知识目标及数学思想方法目标合理地分布在各课时中，时刻关注分解后的知识间的关联。另外，教学中例题和练习题的选取要体现单元内容交汇的关联情境，围绕“交汇点”设计问题，以点带面，强化训练，培养学生综合解决问题的能力。

2.注重单元内关键数学素养的提升

高三学习中，各单元内容所要培养的数学素养往往具有共性和一致性。教学中首先要提炼教学内容所要培养的关键数学素养，然后依据学生已有的数学素养水平，设计递进式的培养计划，即从纵向联系的角度规划课时之间的关系，关注学生数学素养的起点和目标间的关系，通过适当问题的探究、反思等活动，有计划有目的地提高学生在单元学习中的关键数学素养。例如，解析几何单元所培养的关键素养是数学运算和直观想象素养。教师要从整体设置好直线、圆和圆锥曲线三个小单元的“职能”。在直线学习中，学生要体会数学运算解决几何问题的作用，体会解析几何中运算的特点，培养学生简单的“由形到数”的转化能力；在圆的学习中，学生要再次体会图形与方程的关系，提高学生数形结合分析问题的能力，进一步理解运算中“消参”的方法及意义。在圆锥曲线的学习中，再次提高学生运用代数法解决几何问题的意识，提高学生运算程序的设计及运算思路的探究能力，理解运用“建参”和“消参”解决解析几何问题的方法，培养学生对较复杂问题的“由形到数”的转化能力。这样在此单元的学习中，就有计划地提升了学生的数学运算与直观想象素养。

总之，高三学习要以学生已具备的认知水平和数学素养水平为出发点，以达到课标中数学核心素养水平划分的“水平二”的要求为目标，以巩固“四基”、提高“四能”为抓手，以单元教学思想为指导，通过创设适当的情境，巩固基础知识，提高解题技能，让学生体会数学思想方法，积累基本活动经验，从而有计划有目的地提高学生的数学核心素养水平。