基于区间数多指标决策的效能评估方法

陈 星，李战武，2，高春庆，胡晓东，任 帆

（1.空军工程大学航空工程学院，西安 710038；2.西北工业大学电子信息学院，西安 710072；3.解放军93558 部队，石家庄 051330）

0 引言

武器装备效能的分析、评估与研究，对决策部门制定武器装备的研制方案、促进武器系统配套协调发展、充分发挥武器装备作战能力具有无可替代的参考价值，对评价武器系统优劣具有重要的参考意义。随着军事科技的迅猛发展，武器装备系统呈现出愈来愈复杂的特点，影响其作战效能的技术战术指标也越来越多，并呈不确定性、模糊性的特点。目前，关于运用多指标决策进行效能评估的理论与方法，国内外进行了许多深入研究，取得了不错的成就。

由于武器指标值的复杂性和不确定性，往往利用传统方法很难建立有效的决策模型，而只能进行简单的分析和决策。对此，Atanassov［1］等提出了关于区间直觉模糊集的相关概念和基本运算法则，探讨了与其他模糊集的关系。Bustince［2］等研究了关于区间直觉模糊集的两个分解定理，并给出了关于区间直觉模糊集关联度的基本概念。Rzemyslaw Grzegorzewski［3］提出了一系列区间直觉模糊集的距离公式，在此基础之上，胡辉［4］等提出了一种基于区间直觉模糊集的TOPSIS 决策方法。Wang［5］等通过TOPSIS 方法分式规划求得指标的权重，研究了方案的属性值以及属性的权重均为区间直觉模糊的决策方法，以及如何运用记分函数进行决策，而Tan［6］等提出了一种基于区间直觉模糊数的整体Choquet 距离和广义区间直觉模糊几何算子，在此基础上提出了一种基于广义TOPSIS 的决策方法。Liu［7］等基于直觉模糊集算子得到一系列记分函数，进而对方案进行决策，李鹏［8］等根据记分函数和直觉模糊熵得到了一种属性权重的确定方法，提出了新的方案决策方法，卫贵武［9］等通过最大偏差方法确定属性的权重，基于一系列记分函数和精确函数提出了一种权重的多属性决策方法。随后，Wei［10］等运用灰色关联方法和非线性规划模型得到最优权重新的决策方法，王坚强［11］等基于灰色关联分析理论提出了一种“奖优罚劣”的多指标动态决策方法，还将证据理论拓展到区间直觉模糊集，提出了信息不完全确定的多准则区间直觉模糊决策方法。传统的方法在对指标权重的选取和证据的获取很大程度上来源于专家的知识、经验和对问题的推理判断，都不可避免地存在一定的主观性和迷茫性，必然导致在决策时产生偏差和倾向性。如何将含有不确定决策问题转化为确定性问题、如何科学合理地确定指标权重，以及如何构建Mass 函数等关键问题仍然需要深入研究。

为了避免由于专家知识和经验的局限性和主观性，本文将灰色关联法与D-S 证据理论相结合，运用灰色关联法合理地分析武器装备指标值之间的关联程度，并基于灰色关联系数提取指标信息不确定度以及信息结构映像序列矩阵，构建基本信度分配函数，由于在建模过程中只通过对各指标值之间的相互内在联系以及关联程度进行分析，避免了传统人为选取指标权重或分配概率的主观性，通过这样的方法可以有效地避免人为因素对决策结果产生的偏差。最后通过Dempster 合成法则进行信息融合，从而构建区间数多指标决策的效能评估模型。

1 D-S 证据理论框架

D-S 证据理论［12］是1967 年由Dempster 教授提出后由Shafer 完善加以推广形成的证据理论框架。D-S 证据理论是处理不确定、不完备、不精确信息的主要手段。由于大多数武器装备指标都存在模糊、不精确等特点，对于某些因素不可能进行大量的实验，往往在进行效能评估时造成了很大的难度，而D-S 证据理论具有处理和描述不确定性的先天条件，又能较好地处理随机性，并且将对单个指标的研究转化为对集合的研究，降低了效能评估的复杂度。

该理论建立了基本概率分配函数（BPA）、信任函数（Bel）、似真函数（pl）等满足比概率论弱的定理，放宽了在贝叶斯推理中所必须统一的识别框架、完整先验概率等要求，通过使用信任函数和似然函数把相加性转化为单调性和连续性，可以很好地处理指标值不精确问题，尤其是关于评价武器装备效能认识性的推理、信息不全和情况不明的统计分析等不确定性的问题，准确表达了不确定性信息，能较好地解决偶然性和主观性的不确定性问题。

基本概率分配函数BPA、信任函数Bel 以及似然函数pl 都可以看作是对同一证据不确定性的不同的描述方式。［Bel（A），pl（A）］称为焦元的信任度区间，［1，1］表示为真，［0，0］表示为伪，［0，1］表示对A 一无所知。BPA、Bel、pl 三者之间的关系可以用下页图1 表示。

合成法则［13］反应证据的联合作用。在同一识别框架下的几个不同证据的信度函数，只要证据之间不是完全冲突的，那么就可以通过Dempster 合成法则计算出一个信度函数。

图1 三者函数之间的关系

设Bel1和Bel2是同一识别框架Θ 上的两个信任函数，m1和m2是对应的基本概率值，焦元分别为A1，…，Ak和B1，…，Bk，则：

式中，K 为证据冲突因子，在0＜K＜1 情况下，可以根据合成规则对证据进行组合，产生融合后的BPA 函数，完成证据推理过程。

2 灰色关联算法

灰色关联法［14］可以根据各个武器装备指标值的样本数据，利用灰色关联度来描述指标之间关系的大小、强弱和顺序，若样本数据反映出的指标之间变化的态势基本不一致，则它们之间的关联度较小，反之，则相反。灰色关联法可以在很大程度上减少信息不对称带来的损失，并且避免了人为的主观干预，对数据要求较低，工作量较少，不仅降低了对武器装备效能评估的难度，而且提高了评估的可信度。

因为关联系数使比较数列与参考数列在各个时刻的关联程度值分布较广，不便于进行整体的比较，因此，将每个时刻的关联系数集中为一个值，称为关联度ri，通过关联度的大小进行排序进行比较。关联度ri公式为［15］：

3 灰色关联与D-S 证据理论融合

3.1 武器效能评估模型构建

3.2 武器指标值的处理

在武器效能评估或决策的过程中，指标的量纲往往不同，这势必会影响最终结果的准确性，为了便于统一评价，在运用灰色关联法前必须对指标进行类型一致化和无量纲化处理，使各个指标之间具有公度性。常采用极值变化法［16］将定量指标值转化为度量值，消除量纲对评价结果的影响。

3.3 基于灰色关联法的证据融合

在利用证据理论进行方案决策的过程中，需要对不同来源的证据进行融合，而通过确定基本概率分配值是进行信息融合的基础，基于灰色关联法计算得到的信息结构映像序列矩阵，可以得到BPA 函数［17］，即：

这样得到了不同作战方案下在不同指标下的BPA 函数，由于D-S 证据理论的Dempster 合成与次序无关［18］，即多个证据的合成计算可以等效为两个证据合成的递推计算，具体的等效结构如图2 所示：

图2 证据合成等效结构图

综上所述，本文使用基于区间数的灰色关联法来处理作战方案中指标的不确定性，并采用D-S 证据理论处理数据信息，进而建立基于区间数多指标决策的效能评估模型。基于区间数的灰色关联和D-S 证据理论融合的效能评估模型如图3 所示：

图3 基于灰色D-S 证据理论融合的效能评估模型

4 案例分析

为了说明基于灰色D-S 证据理论融合的效能评估模型的有效性，下面以文献［16］中的数据为例进行分析。某国国防部拟研发一种战术导弹武器装备，需要对研制部门提供的4 种导弹武器装备进行效能评估，从而决策出性能最优的一种导弹型号。战术技术指标如表1 所示，其中，弹头载荷、机动性能、可靠性、可维修性指标为效益型指标，价格指标、命中精度为成本型指标，导弹命中精度指标（CEP）用圆公算偏差表示。

表1 4 种不同型号导弹武器的性能指标

根据区间指数值的定义建立区间矩阵：

根据理想属性区间数定义得到理想区间矩阵：

由理想属性偏离度定义可得到理想属性偏离度矩阵：

通过理想属性偏离度矩阵定义可以得到信息结构映像序列矩阵Y=（yij）m×n：

由信息结构映像序列矩阵，可得到灰色关联系数矩阵r=（rij）m×n：

由定义2 得到指标Ij下的信息不确定度DOI（Ij）分别为：

根据信息结构映像序列矩阵Y=（yij）m×n和指标的不确定度DOI（Ij）构建BPA 函数mi（j）以及整体不确定性的BPA 函数mi（j+1）：

其中，在上述的基本概率分配矩阵中，整体不确定基本概率分配值分别为：

由D-S 合成法则性质可知多个证据的合成计算可以等效为两个证据合成的递推计算，则各证据的信度函数值随合成次数的变化如图4 所示：

图4 不同型号导弹的信度函数值随合成次数的变化

图5 融合算法与传统灰色算法结果比较

即合成后辨识框架内的各子集的信度函数分别为：

当运用传统的灰色关联算法进行计算，将计算结果与本文算法结果进行比较，结果如图5 所示。从图中可以看出，融合后算法的准确性明显高于传统算法。相对于传统算法，型号1 的导弹信任程度提高了7%，型号4 提高了4%，不确定度也降低了4%。同时，在融合算法中，整体方案的不确定性的程度也在不断地减弱，由最初的平均值54.01%降低到融合后的7.87%，可见，融合后的算法明显提高了武器效能评估的准确性，同时降低了不确定性，能够很好地改善决策质量、提高科学决策水平，为指挥员提供良好的决策意见。

5 结论

本文将区间数的灰色关联法与D-S 证据理论相融合，运用到武器装备效能评估中，首先对理想属性区间数、理想属性偏度进行了定义，构建了指标之间的欧氏距离，再根据构建的指标下的信息不确定函数、基本概率分配函数和整体不确定度函数，得到了指标整体的函数，随后进一步讨论与信度函数的转化关系，最后利用Dempster 合成法则进行信息融合和方案决策。仿真结果证明此方法可以降低决策的不确定性，充分利用了武器效能指标之间的内在联系，使武器效能评估更加科学、合理，便于实现。