水中悬臂圆柱附连水质量的简化计算方法1)

于 越 欧亿鹏 刘 哲 李遇春

(同济大学土木工程学院水利工程系，上海200092)

工程中存在大量浸入水中的圆柱结构，例如：码头、海洋工程中钻井平台等等，这些圆柱结构在地震、风载荷以及波浪等动力载荷作用下会发生振动，结构的振动与流体会发生相互作用。从结构动力学与流体动力学的基本方程出发，对流体结构系统进行耦联振动分析将是一个极为复杂的计算过程，从工程结构设计考虑，一般只需考虑水体对结构的动力影响即可，通常并不关注水体如何运动。现行《水运工程抗震设计规范》[1]给出了地震作用下水下结构物动水压力的计算方法，但当其他动力载荷(如风载荷)作用时，无法采用动水压力的方法来计算水体对结构的影响，动水压力的方法也不便于计算结构浸入水中的频率(湿频率)。因而在结构与流体的相互作用分析中，还有一种方法是将流体对结构的动力影响归结为附加在结构上的质量，这个质量称为“附连水质量”(added water mass)。如果一个固体结构部分或完全浸入水中，它的动力响应将不同于它在空气(或真空)中的响应，这种现象是由包裹在加速运动结构周边上的水体惯性导致的，相当于结构表面附加了一层水质量，由此而产生的效应称为附连水质量效应。这种附连水质量效应在许多水中结构动力学研究中得到了广泛的研究[2-4]。附连水质量方法就是将附连水质量效应等效为附加在结构表面上的质量，研究附加质量的大小与分布，这种方法可以方便地计算结构浸入水中的湿频率，且适用于任何动力载荷作用下的响应计算，简单实用，特别适合于工程计算。

对于工程中常见的水中圆柱结构而言，Liaw等[5]和Chopra 等[6]分析了水中悬臂圆柱在地震激励下的动力响应，提出了水平地震作用下计算圆柱结构动水附加质量的方法；徐汉忠[7]采用附连水质量方法得到了水中悬臂梁的自振频率的简便计算公式；王和慧等[8]采用附连水质量方法研究了水中圆锥形柱腿的湿模态特性。以上的研究均是针对柱体全部浸入水中的情形。当柱体部分浸入水中时，张邵文等[9]研究了水中悬臂结构振动与水动力特性，给出了附连水的质量分布，但附连水质量分布的计算比较复杂，不便应用于工程计算。

本文将主要研究水中圆柱附连水质量的简化计算方法，采用解析方法研究圆形悬臂柱结构在部分浸入水中的附连水质量分布，给出无量纲的质量分布系数，通过对质量分布系数的数值拟合计算，将附连水质量效应等效为浸入水中结构的质量密度，采用试验方法研究部分浸入水中的悬臂柱的湿频率，将理论结果与试验结果进行对比分析，理论和实验验证附连水质量方法。

1 圆形悬臂柱受液体作用的运动方程

如图1 所示，固支在地面上的等圆截面弹性悬臂柱，柱长为L，截面半径为R，柱材料弹性模量为E，质量密度为ρs，该悬臂柱部分浸入水中，假定水区域在xoy平面内无限大，水深为H，水的质量密度为ρL，设柱水系统承受地面运动作用，设地面加速度与速度分别为¨Gx(t)及˙Gx(t) (假设向右为正)。

图1 悬臂柱周边受无穷水域作用

如图1，将坐标oxz固定在柱底部固支端，发生地面运动时，oxz坐标系相当于牵连坐标系，而固定坐标o′x′z′(未在图中显示)在无穷远的非地震区。设柱振动的横向位移为u=u(z,t)，其振动方程可以写为[10]

式中，A=πR2为柱的截面面积；−Fd|r=R表示作用在柱外表面上的分布动水压力，方向向左(为负)；−ρsA¨Gx(t)表示分布地震惯性力作用，方向与地动加速度方向相反。悬臂柱的边界条件为

式(2)表明悬臂柱在固支端(z= 0)的位移与转角为零，在自由端(z=H)的剪力与弯矩为零。柱的自由振动方程为

设水体在柱坐标(r,θ,z)下的速度势函数为Φ=Φ(r,θ,z,t)，因此v=∇Φ表示水体的绝对速度，水体的运动满足下列的Laplace方程及边界条件[11]

式(5)表示液体在刚性地面上的法向速度为零；式(6)忽略了自由表面波的影响，由于这里主要研究柱的振动问题，柱的振动频率远高于液体自由表面的晃动频率，所以液体自由表面的晃动对柱振动影响可忽略不计；式(7)表明液体的局部扰动对无穷远的影响为零；式(8)表明在柱液交接面上，水体在柱外表面上的法向速度应与柱在该方向的速度相同。水中的液动压力为

水体与柱结构通过式(3)，式(8)与式(9)发生耦合，于是作用在柱上的单位长度上的液动力Fd|r=R可以表达为

2 柱的湿模态方程

自由振动分析时，设柱液体系统的自由振动解为

式中，ω为柱的耦联振动频率；w(z)及φ(r,θ,z)分别为柱结构位移及液体速度势的幅值函数(或振型函数)。将式(11)分别代入式(1)∼式(8)，通过一系列推导，得柱结构满足的方程为

式(12)为悬臂柱湿频率ω与湿振型w(z)所满足的带有积分的微分方程，求解式(12)就可得到悬臂柱结构的湿模态。

3 悬臂柱的附连水质量分布

由式(12)可以发现，方程第二项方括号中的ρsA表示悬臂柱自身的线质量分布，后面一项代表了水体对柱的线质量贡献，于是悬臂柱在水深区间[0,H]内的附连水质量分布可以表示为

由式(13)可知，附连水质量分布与柱的湿振型函数w(z)有关。悬臂柱的一阶振型函数在一般结构动力响应分析中起到最重要的作用，作为近似计算，一般仅取一阶振型就可获得比较满意的结果。以下仅考虑一阶湿振型函数w1(z)所对应的附连水质量分布。Mciver 等[4]的计算表明：悬臂柱在水中的一阶湿振型函数与其在空气中的干振型函数相同，因此可采用悬臂柱一阶干振型函数来近似替代w1(z)，根据文献[4]，w1(z) 可以近似表达为其中(0ξH/L)，r1=H/L，r2=R/H，则式(13)可以重写为

式中

显然I(ξ)为一个无量纲的质量分布函数。以下根据式(16)计算悬臂圆柱在水中的附连水质量分布I(ξ)。

算例 柱长度L=0.26 m，直径R=0.003 m，柱材料密度ρs= 2897 kg/m3，水深变化范围H= 0.02∼0.26 m，现将H= 0.06 m，0.16 m，0.24 m 三个水深的I(ξ)分布结果绘成图2 所示，从图2 中可以发现，在几乎整个水深H的范围内I(ξ)≈0.009 0，在水面附近(ξ=z/L ≈H/L)的很小的范围内迅速减小，图2(a)，(b)，(c)中I(ξ)分别减小到2.760×10−7，5.289×10−7及6.657×10−7，在悬臂柱根部附近(ξ=z/L ≈0)的很小范围内I(ξ)的值迅速增大，图2(a)，(b)，(c)中I(ξ)分别增大到21.115，3.822及1.386。对于悬臂柱而言，在其根部及顶部很小范围内附连水质量的增加及减小对悬臂柱结构的动力特性以及动力响应的影响很小，所以在水深范围内均可近似取I(ξ)≈0.009 0。其他更多的算例显示了与本算例相同的情形。

图2 柱水中的附连水质量分布I(ξ)

从以上算例可以发现，对于一般常见柱而言，其无量纲的质量分布函数在水深范围内可近似取为一个常数数值计算发现与半径R成正比，与柱长L成反比，与水深度H无关，根据更多数值拟合分析，可以近似表达为根据式(17)，在水深H范围内，附连水质量分布可以表达为

设柱在水深范围内的等效质量密度为ρeq，将式(17)代入式(18)，柱的线密度λ可以写为

于是柱的等效质量密度可以表达为

在水深范围内，可以通过将柱的等效质量密度代替原始密度来考虑液体的附连水质量影响，这样附连水质量的计算问题就得到大大简化。

海洋工程中通常还会采用空心钢柱结构，其附连水质量效应将会更大。当悬臂柱为空心管时，设管外半径为R，内半径为RI，根据以上的推导，钢管的线密度λ可表示为

因此钢管的等效质量密度可以按下式估算

4 附连水质量分布(等效密度)的试验验证

以下采用三根不同的圆形悬臂柱模型，模型材料的尺寸与质量密度见表1，通过测量模型柱的干频率可分别得到三个模型柱的弹性模量(列于表1)。如图3 所示，将悬臂柱浸入不同深度的水中，采用人工激振的方法，激发出悬臂柱的自由振动，通过激光位移传感器测量悬臂柱顶端的自由振动位移响应，并通过数据采集仪将试验数据采集到计算机中，采用FFT变换的方法处理位移响应数据，可容易得到悬臂柱的一阶自振湿频率。

表1 圆截面悬臂柱参数表

采用以上附连水质量理论所得到的简化方法，将浸入水中的柱段密度按等效密度公式(20) 计算ρeq≈ρs+ρL，空气中的柱段密度取为ρs，采用Midas Civil软件可容易计算其一阶自振频率，将附连水简化计算结果与试验得到的测量值表示于图4 中，由图4可以看出，理论结果与试验值吻合得非常好，表明本文计算方法可很好地描述悬臂柱的附连水质量效应。

图3 水中悬臂柱湿频率的测量原理图

图4 L1，L2，L3 实测频率与简化附连水理论频率

5 结论

本文采用解析方法研究了工程中常见的圆形悬臂柱部分浸入水中的附连水质量分布，研究结果表明，在水深范围内，可以通过将柱的等效质量密度代替原始密度来考虑液体的附连水质量效应，本文采用试验方法研究了部分浸入水中的悬臂柱的湿频率，附连水简化计算得到的湿频率与试验得到的测量值吻合很好，表明本文计算公式能很好地描述附连水的质量效应，本文的计算方法可简化附连水质量的计算问题。