高架桥式重型龙门加工中心横梁优化设计

李志杰，蔡力钢，刘志峰，郭铁能

(1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京 100124； 2.先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124；3.北华航天工业学院机电工程学院，河北 廊坊 065000)

重型制造装备具有大尺度、大惯量、大复杂的特点，这给该类设备的设计与制造带来严峻挑战，提升重型制造装备关键零部件的自主创新设计和制造能力势在必行[1]. 横梁作为高架桥式重型龙门机床的重要承载和移动部件，其自身静动态特性对机床整体加工性能有着至关重要的影响，因此优化横梁结构，减轻横梁质量，提高横梁静动态性能意义重大. 清华大学张伯鹏等[2]利用重力自演进补偿技术减小横梁重力变形，改善横梁系统几何精度. Han等[3]通过优化横梁结构提高其静刚度，减小了横梁的重力变形. Zatarain等[4]基于有限元方法对横梁等部件进行了模态分析，进而得到较合理的结构设计方案. 赵岭等[5]利用结构仿生方法对加工中心横梁筋板结构进行了优化设计. 文献[6-7]通过分析溜板在不同位置时横梁的变形情况，得到横梁导轨的变形曲线，进而设计出起拱曲线，来抵消变形的影响，从而保证机床几何精度.

本文研究对象是面向航天器高强度复杂零件加工特殊需求而开发的高架桥式大跨度动梁数控龙门复合加工中心，在加工过程中，横梁作为运动部件(动梁)移动的同时，其上的溜板组件相对横梁位置也发生变化，相对于横梁构成移动载荷(动载)，针对于此种工况的横梁优化设计在现有文献中少有提及. 以往工程实践中对于大跨度重型龙门机床横梁设计，初始形态都是通过经验类比法先大致绘制出三维模型，在此基础上再进行相应的优化分析与设计，虽然此种方法可以使结构形态满足基本的性能要求，但结构形态不会发生太大的本质变化，这必然使结构设计存在一定的偶然性和盲目性.

本文针对高架桥式重型龙门加工中心横梁承受随动载荷的工况，以及焊接工艺及操作空间的制造限制条件，建立基于固体各向同性微结构材料惩罚模型法(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)插值的拓扑优化数学模型，采用启发式调整法对变量进行迭代更新的优化准则法(optimality criteria,OC)算法，利用灵敏度过滤技术增强网格独立性，抑制棋盘格等现象，借助MATLAB编程对横梁纵向和横向截面进行结构拓扑优化，从而得到横梁初始构型；继而再以横梁主要板件厚度为设计变量，建立响应面模型计算柔顺度和固有频率对板件厚度的灵敏度；最后采用带有精英策略的第二代非劣排序遗传算法NSGA-Ⅱ对响应面模型进行多目标优化，在Pareto解集中选出1组最优解. 通过与原始设计进行对比，证明了方法的可靠性和可行性.

1 基于拓扑优化的横梁初始构型设计

结构拓扑优化作为一种结构优化方法，不需给定结构的初始形态，只需限定设计空间范围以及载荷与约束等边界条件，通过优化算法就能在设计域内寻找出合理的结构形态，是一种计算机辅助造型技术[8]. Bendsoe等[9]首先提出了基于孔洞微结构的均匀化方法，通过控制孔洞的变量变化实现对拓扑形状的改变，均匀化方法具有严谨的数学和力学基础，具有很高理论研究价值. 变密度法其实是均匀化方法的一种简化形式，Sigmund等[10]提出变密度法的基本思想，建立正交各向同性材料密度惩罚模型，对材料密度插值函数展开研究. 不同于变密度法将0～1连续变量作为设计变量，离散体变量法直接采用离散的0/1作为设计变量，渐进结构优化(evolutionary structural optimization，ESO)是离散变量优化方法的一个重要代表[11]. 为解决早期进化结构优化中单元格误删之后难以恢复问题，Huang等[12]提出了能重生材料单元格的双向渐进结构优化方法(bi-directional evolutionary structural optimization，BESO). 基于离散变量法模型，智能算法如遗传算法[13]、粒子群算法[14]和蚁穴算法[15]等具有很强的全局搜索能力和高准确性，但必须满足特定条件，针对性较强，通用性较差. 变密度法基于各向同性材料，将材料单元的相对密度作为设计变量，程序简单，具有很强通用性.

1.1 变密度法拓扑优化数学模型

结构拓扑优化是将结构的柔度作为优化目标，将其材料体积设为限制条件，最终实现目标函数的柔度最小化，从而实现结构刚度最大，具体的数学模型表达式为

目标函数：

(1)

约束函数：

(2)

式中：U和F分别表示结构的变形和向量力；K是结构的刚度矩阵；ue和ke分别为元素的位移矢量和刚度矩阵；xe是设计变量；xmin为相对密度最小的设计变量；N是在0～1设计区域内离散化的元素数目；p为密度惩罚因子；V(x)和V0分别为给定的材料体积和设计区域体积；f为体积分数.

1.2 优化算法

在拓扑优化的非线性优化算法中，优化准则法(OC)算法基于启发式调整法对设计变量进行更新，对于设计变量较多而约束条件较少的情况，优化准则法具有很高的求解效率，收敛速度快，通用性较强；移动渐近线法(method of moving asymptotes，MMA)是利用当前设计点目标函数和其导数建立一个简单的近似凸函数来逼近实际隐函数，具有很强的鲁棒性，但对于优化问题复杂的场合，寻找近似函数比较困难，所以适用于约束条件较少的优化场合；梯度投影法(gradient projection method，GPM)具有很高的求解效率，缺点是容易产生局部最优解. 本文采用通用性较强的优化准则法.

(3)

式中：m是正向移动极限；η是阻尼常数；λ是拉格朗日乘子.

(4)

为抑制运算过程中出现棋盘格、网络依赖性等数值不稳定现象，采用基于卷积分因子的灵敏度过滤技术，对过滤半径区域内网格加权平均获得新的敏度数值作为设计变量进行更新，进而提升网格的独立性，不需要再加入额外附加约束，简单可靠.

目标函数的灵敏度表达式为

(5)

f=rmin-dist(e,f)
{f∈N|dist(e,f)≤rmin},e=1,2,…,N

(6)

引入惩罚因子目的是将设计变量即文中所说密度从0～1向两端聚集，进而在设计区域内得到较为清晰的拓扑形式. 惩罚因子的取值对优化结果有很大影响，文献[16]进行了详细描述，本文取3.0对横梁进行优化.

1.3 横梁构型

本文研究对象高架桥式大跨度动梁数控龙门复合加工中心由立柱、床身、横梁、溜板滑枕等主要部件组成，如图1所示，其跨距7 m，横梁长9.5 m，溜板和滑枕等附件合计10 t. 根据横梁受力情况，为提高运行速度节省运行时间，将横梁随时间变化的变位载荷以及横梁自身重力简化为3点，即中点、左端和右端，此3种工况是横梁工作时3种极端情况，目标函数变更为

(7)

借助MATLAB软件编制拓扑优化算法程序，本文研究对象横梁主体长度9 500 mm，高度1 000 mm,随动载荷施加位置简化为横梁左侧、右侧和中间，过滤半径rmin取值1.5,惩罚因子设定为3.0，f取值0.5，优化结果如图2所示. 获得横梁纵向筋板结构形式如图3所示.

高架桥式龙门加工中心其溜板及滑枕安装在横梁一侧，造成横梁弯曲和扭转变形，横梁在保证纵向具有足够刚度的同时，横向也要尽量减小柔性变形. 经初步优化后，横梁纵向筋板需纵贯横梁内腔，如图3所示，若再增加横向加强筋，势必在横梁内部造成筋板交错，增加焊接难度甚至无法焊接. 为此，采用空间错位的方法，在横向优化的同时为纵向筋板预留空间位置，结合工程经验，截面加强筋一般在两结合壁板的公共垂直面上并呈近似三角形，如图4所示，纵向筋板预留位置在截面上投影呈近似圆形.

溜板及滑枕附件等效载荷施加在横梁横向截面右侧顶部和距离底部1/3处，将载荷简化并施加在如图5所示位置. 按空间错位方法，在横梁内腔预留出纵向筋板位置(如图6所示)，根据拓扑优化结果，对横梁内部横向截面加强筋板结构形式进行设计，得到横梁初始构型.

2 基于响应面法的尺寸设计

2.1 设计变量

在拓扑优化对横梁内部纵向和截面筋板构型设计的基础上，结合焊接、磨削等加工工艺以及导轨、电机等组件的装配空间和工艺，对横梁进行详细设计. 高架桥式重型龙门加工中心由于其跨距大，驱动形式采用横梁两端齿轮齿条同步双驱，伺服电机安装在横梁两端. 横梁端底板连接滑块将安装在高架墙的导轨上，简化对应于图3的支撑点. 再者，横梁两端须预留电机安装空间，所以端底板上方不设纵向筋板. 图7是横梁的初始构型，选取其中5个主要结构尺寸作为设计变量，分别为：截面筋板厚度P1、纵向筋板厚度P2、主壁板厚度P3、底面纵向筋板厚度P4、端底板厚度P5. 取值范围见表1.

2.2 响应面模型

响应面法(response surface methodology，RSM)的研究最早追溯到1951年，由Wilson和Box提出，在1959年Box和Draper将其定义为“在经验模型构造和开发中应用的一组统计学方法”. 近些年，基于响应面方法的优化设计已经成为国内外学者的研究热点，北京工业大学隋允康教授团队[17]做了大量研究工作. 对于n个设计变量，二次多项式响应面模型为

(8)

式中：xi(i=1,2,…,n)为n维设计变量；a0、ai、aii、aij为多项式待定系数，其个数k=(n+1)(n+2)/2，待定系数按照一定次数排列构成矢量a=(a0,a1,…,ak-1)，采用最小二乘法求解矢量a，试验点个数m大于等于k.

2.3 中心复合设计

在RSM曲面构建过程中，实验类型的选择有着至关重要的作用，它直接影响着相应面的构造精度[18]. 中心复合设计(central composite designs, CCDs)由Box于1951年提出，是一种在二阶设计中重复一阶部分的试验策略，具有很好的稳健性. CCDs既可以估计线性和交互效应，又可以估计曲性效应，以最少的试验循环提供了关于试验变量和试验误差的诸多信息，是目前在RSM中广为推荐的一种试验点设计方法[19].

对n因子两水平情况，试验点由中心点、轴向点和析因点三部分组成，图8所示为n=3、l=3情况下中心复合设计试验点分布方式.

m=2n-ζ+2n+1

(9)

式中：n为设计变量个数；ζ为析因系数. 本文提取了5个主要结构尺寸最为设计变量，取ζ=1，试验点数m=27.

2.4 回归评价

(10)

(11)

决定系数R2取值在[0，1]，数值越接近1说明响应面函数与性能函数近似程度越高，若R2=1则说明响应面函数可以精确地表达性能函数，所有试验点全部都在响应面函数确定的曲面上[20].

引入修正决定系数Ra2是为了减小参数个数变化对响应面模型近似精度的影响，即当参数个数增加时，Ra2不会随之增加，避免了冗余参数对响应面模型近似精度的影响.

从表2响应面模型的拟合度量值可以看出，响应面模型的总体进度可以满足要求.

表2 拟合评价指标数值

2.5 灵敏度分析

(12)

在本例的分析中，函数分别为横梁刚度即等效应力、最大静变形、横梁一阶固有频率和横梁质量.

由图9可见，P1截面筋板厚度、P2纵向筋板厚度和P3主壁板厚度对等效应力、最大静力变形和一阶固有频率影响较大，这也进一步验证了前期对纵向筋板和截面筋板构型进行拓扑优化的重要性.

图10和图11中，xi|min和xi|max分别为设计变量下限值和上限值. 由图10中各设计变量的曲线走向可见，所有设计变量对静力变形都是负相关，按影响由大到小依次为P3、P2、P1；由图11可见，对一阶固有频率影响由大到小依次为P3、P1、P2，且P3是负相关，可以考虑通过调整P3对静力变形和固有频率进行控制.

3 多目标优化

横梁作为龙门机床的重要零部件，设计时需要同时考虑其静态和动态性能，基于上述响应面模型，将最大静力变形和动态频率即一阶固有频率最大化同时作为优化的目标函数，将最大等效应力第二阶固有频率设定为约束条件，5个主要的结构尺寸作为设计变量，数学表达如下：

目标函数

maxf1(X), minδ(X)

约束函数

(16)

式中：X=(x1,x2,x3,x4,x5)；f1(X)为一阶固有频率；δ(X)为最大静力变形；f2(X)为二阶固有频率；f2|0为初始二阶固有频率；σ(X)为最大等效应力；σ0为初始等效应力.

在多目标优化中，各目标之间很难同时达到最优化，常产生一系列有效解集，叫作Pareto解. 传统的多目标优化问题常采用线性加权法和主要目标法等将多目标问题转化为单目标问题求解，这类方法一般需要事先确定出每个目标的重要程度，具有很大局限性. 基于Pareto解集的带有精英策略的第二代非劣排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)，由于其算法分布性和收敛性都非常优秀，是目前公认的一种最佳多目标优化算法[22].

本文利用ANSYS workbench design experiment模块，在optimization中选择MOGA多目标遗传算法，样本初始数量800，每次迭代样本数100，最大迭代数量50，得到Pareto最优解集如图12所示，2个坐标轴x、y分别代表了2个优化目标：一阶固有频率和最大静力变形，x、y目标函数对构成了Pareto前端.

对于重型龙门机床横梁，工程中最为关心的是静动态性能，即最大静变形和低阶固有频率. 由图11可见，两个优化目标最大静变形和一阶固有频率分别在0.0326～0.033 2 mm和57～59.5 Hz变化，静力变形相差很小，故此选取一阶固有频率较大值的解作为候选最优解. 从图10和图11的灵敏度分析可以看出P3、P2、P1对刚度和固有频率影响最大，对候选最优解的设计变量进行取整修正，代入模型中重新计算并与初始设计进行对比，具体数据见表3.

表3 优化结果对比

如表3所示，在初始构型和主要筋板尺寸经验设计的基础上，经过优化后的横梁质量减少了21.7%，最大静力变形减小了2.33%，一阶固有频率提升了8.72%，二阶固有频率提升了8.43%. 经过优化后的横梁在质量大幅减少的同时，静态和动态特性得到了进一步的提升.

论文方法已经应用到某高架桥式动梁数控龙门复合加工中心的横梁优化设计中，满足工程实践要求.

4 结论

1) 针对高架桥式重型龙门加工中心横梁承受随动载荷的工况，以及焊接工艺及操作空间的制造限制条件，建立基于变密度法SIMP插值的拓扑优化数学模型，采用启发式调整法对变量进行迭代更新的OC算法，利用灵敏度过滤技术抑制棋盘格、增强网格独立性，借助MATLAB编程进行结构拓扑优化，得到了横梁的纵向和横向截面初始构型，避免了以往初始构型靠经验设计的弊端，为此类零件优化设计提供了有力借鉴.

2) 在初始构型的基础上，以主要结构尺寸为设计变量，以质量、最大静力变形和一阶固有频率为目标，建立响应面模型，通过灵敏度分析证明了对初始构型拓扑优化的重要性，也为多目标优化之后主要结构尺寸进一步修正提供了依据.

3) 结合变密度法拓扑优化技术、试验设计、响应面法、多目标遗传算法和灵敏度分析技术，实现了高架桥式加工中心龙门横梁从初始构型设计到结构件具体尺寸优化的完整设计流程，设计结果满足工程要求，具有很强工程实用性.