GeoGebra辅助运动学公式的图示法

魏冲 王海锋

(石河子大学理学院 新疆 石河子 832000)

1 GeoGebra软件简介

GeoGebra是一款数学工具软件，它集合了平面绘图、3D绘图、动态几何、概率统计、代数运算、表格运算等多种功能.GeoGebra可以画点、线段、直线、向量、多边形以及函数图像，并且能够改变他们的属性，既能呈现静态图像，又能呈现动态图像，这使得它能够制作物理、数学等教学课件，可用于展示在黑板上或PPT上难以展示的动态物理规律，非常适合用于教学演示，解决教学中的难点，体现物理教学思想.

2 匀变速直线运动位移公式的图示分析

上式为匀变速直线运动的位移公式，匀变速直线运动规律是学生认识自由落体运动、平抛运动，带电粒子在匀强电场中的类平抛运动等知识的基础.人教版课本的位移与时间关系式的探讨采用以v-t图像推导位移公式体现物理学科的科学性与严谨性，并用无限分割再求和的方法使学生认识到匀变速直线运动的位移可以通过v-t图像求出，体验科学探究和微积分思想.而传统课堂中采用黑板或者PPT等形式，都是以静态的v-t图像呈现这一探究过程，对于物理思维表象较差的学生，难以获得有效的认知.因此，我们应用GeoGebra制作动态的v-t图像课件，以优化课堂教学.

2.1 课件制作

第一步，打开GeoGebra，在绘图区增添横轴和纵轴坐标的标签来建立v-t图像，在工具栏中选取文本工具，分别将横轴和纵轴的标签改为t和v.第二步，在指令栏输入指令“如果(0 ≤x≤ 60, 加速度ax+ 初速度v_0)”，得到形如一次函数的分段函数图像，其中调节滑动条加速度a和初速度v0可以改变v-t图像中图线的斜率和纵截距，如图1所示.

图1 v-t图

为体现微分思想，在指令栏输入指令“下和(f, 0, 60,n)”，其中n为小矩形的数量，在工具栏利用布尔变量定义下和指令，并将布尔变量重命名为“矩形”.如图2所示，其中“矩形”是否选中，可以改变小矩形的有无.移动滑动条“n”可改变小矩形的数量.

图2 微分思想分析时选中“矩形”

2.2 教学设计

做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt.在它的v-t图像中，着色的矩形边长正好是v和t，矩形的面积正好是vt.可见对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图像下面的面积.我们操作上文制成的课件，把加速度a调为零，选中“矩形”并把n调为1，来表示匀速直线运动的物体的v-t图像,如图3所示.

图3 a=0,n=1时v-t图

而做匀变速直线运动的物体，在它的v-t图像中，是一条倾斜直线，它与横轴所围图形为梯形.根据匀速直线运动的位移等于图线与横轴所围的面积，我们能否用v-t图像与时间轴所围的面积表示匀变速直线运动的位移呢？我们移动加速度a的滑动条，适当增加图线的斜率.此时观察到匀变速直线运动图线与横轴所围梯形的面积由一个着色矩形和一个白色三角形组成，如图4所示.

图4 n=1时匀加速直线运动的位移与面积关系分析

如果我们把矩形面积当做梯形面积，即把匀变速直线运动的位移当成匀速直线运动的位移，此时误差是很大的，如果我们增加矩形数量，n取值为2，即把一段匀变速直线运动分割成两段匀速直线运动，此时梯形被分成两个着色矩形和两个小三角形，我们观察到两个矩形的面积之和与梯形面积的差值减小了，如图5所示.

图5 n=2时匀加速直线运动的位移与面积关系分析

为了得到更精确的结果，我们把一段匀变速直线运动分割成n段匀速直线运动，此时我们可以得到此关系式：S梯形=nS矩形

我们缓慢调节滑动条n，使小矩形的数量缓慢增加，在这一演示过程中，学生可清楚地观察到梯形的面积逐渐被着色的n个小矩形填满，白色的小三角面积之和越来越小.当n取值越大，即小矩形数量越多，梯形的面积越来越接近n个小矩形面积之和，如图6所示.

图6 n逐渐变大时，梯形的面积越来越接近n个小矩形面积之和

而当n取值为正无穷时，我们认为上述关系式S梯形=nS矩形成立.所以匀变速直线运动等于无数段匀速直线运动，梯形面积等于无数个小矩形面积之和，而无数个小矩形面积表示无数个小位移，无数个小矩形面积之和则表示总位移.由此看来，匀变速直线运动图像的梯形面积也表示物体运动过程的位移.我们借助GeoGebra制作的课件，生动地展示了微分求和思想，弥补了学生物理表象思维不足的弱点.

图7 梯形的面积

我们将v=v0+at带入

最终可得到位移与时间的关系式

由此我们可直接通过图像来求得位移与时间的关系式.

图8 数形结合求位移与时间的关系式

3 匀变速直线运动位移差公式的图示分析

3.1 课件制作

修改x-y坐标轴为v-t坐标轴，输入指令：if(0≤x≤50,加速度ax+初速度v_0).如图9所示得到分段函数，输入指令：下和(f, 0, 50,n).使梯形被分割成n个矩形,如图10所示.

图9 if指令

图10 图表说明

在指令栏分别输入指令：A=(50 /n, 初速度v_0),B=(2 * 50 /n, 初速度v_0),C=(2 * 50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0),D=(50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0).选取ABCD4点为矩形，标注高为aT，底为T，面积则为aT2,标注为Δx,如图11所示.

每个相邻梯形都可以表示为连续相等时间内的位移，而每个相邻梯形的面积之差都等于图中的矩形面积Δx，而此矩形的高为aT，底为T,由此推出矩形面积Δx=aT2，即连续相等时间内的位移差相等.通过应用GeoGebra，我们得到了十分精确的图形，相对于传统的黑板粉笔画图，我们又增添了图像的可操作性，为解决相关物理问题提供了广泛的可能性.(如下文所示)

图11 指令说明

3.2 课件在课本纸带类练习题中的应用

【例1】(人教版课本问题与练习)为研究实验小车沿斜面向下运动的规律，把打点计时器纸带的一端固定在小车上，小车拖动纸带运动时，纸带上打出的点如图12所示.

图12 一次实验的纸带

(1)某学生用以下方法绘制小车的v-t图像.先把纸带每隔0.1 s剪断，得到若干短纸条.再把这些纸条并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐，作为时间坐标轴，标出时间.最后将纸条上端中心连起来，于是得到v-t图像.请你按以上办法(用一张薄纸压在图12上，复制得到纸带)绘制这个图像.

(2)这样做有道理吗？说说你的看法.

依照题干要求，纸带相邻两点为0.02 s,要分隔成5条纸带，上述课件中的n取值为5,如图13所示.

图13 图解

这5个矩形分别是依次排列的5段条形纸带，每段纸带的位移差在课件中用Δx标注.由公式Δx=aT2可求出加速度a,其中T=0.1 s，Δx通过直尺测量，取平均值.

3.3 推导实验公式一般式xm-xn=(m-n)aT2

在传统的教学中，我们采用数学方法，列式来寻找规律，总结出一般式xm-xn=(m-n)aT2.但学生往往采用背诵的方法记忆结论，更难以达到有效运用.因此,我们通过GeoGebra制作图像来帮助学生采用数形结合的思想来理解这一公式.

设xn内的平均速度为vn，设xm内的平均速度为vm，则有

xn=vnT

(1)

xm=vmT

(2)

(2)-(1)得

xm-xn=(vm-vn)T

(3)

由图14可知

vm-vn=a(m-n)T

(4)

将式(4)代入式(3)得

xm-xn=(m-n)aT2

(5)

图14 数形结合理解一般式

借助GeoGebra描绘的图像，学生能够在推导出公式的基础上，进一步在各类题型中应用这一公式，并结合图像理解其物理规律.

3.4 逐差法求纸带问题

对于打点计时器题型中求纸带中隐含的加速度问题，学生往往通过背公式的方法解题，这样不但不利于学生解题，反而容易导致学生思维僵化，更不利于以后的学习.在传统教学中我们往往采用下列方法进行教学.

根据公式xm-xn=(m-n)aT2有

x4-x1=3aT2

(6)

x5-x2=3aT2

(7)

x6-x3=3aT2

(8)

由式(6)+(7)+(8)得

(9)

在7点纸带题型中可以直接使用式(9)，但对于学生而言，Δx=aT2这一公式更容易记忆与理解.

【例2】(2016年天津理综改编)求下列7点纸带中的加速度a，如图15所示.

图15 例2题图

此题可直接使用式(9)

即可求出加速度a.但是学生只是套用了这一公式，并没有有效完成探究的过程，不利于学生的物理思维发展.于是我们可利用GeoGebra制作的课件帮助学生理解逐差法求加速度的解题过程，来避免学生采用死记硬背的方法解决物理问题.

我们不妨用GeoGebra把纸带模型进行“放大”，来直接使用Δx=aT2来解题,如图16所示.

图16 GeoGebra改编图

通过使用GeoGebra改编，使7点纸带简化成了3点纸带.可由公式Δx=aT2直接求得

注：两点的时间由T扩大为3T.

再如图17所示，使5点纸带简化为了3点纸带.

图17 5点纸带简化图

逐差法求加速度

通过观察GeoGebra制作的课件，我们注意到多点的纸带，即使是9点，11点及更多点，都可以选取中点，把纸带“切”分为x1和x2两大段，再通过Δx=aT2即可求出加速度.(注：此时两点时间T不是原来两点的时间，而是新的两个点的时间)有利于学生记忆和理解.

4 匀速圆周运动向心加速度表达式的图示分析

人教版必修2中，在“做一做”中以文本图像的形式“探究”了向心加速度大小的表达式，而通过借助GeoGebra制作的课件,能够更形象生动地探究向心加速度的大小以及方向.

4.1 向心加速度课件制作

首先，在输入栏输入：Circle(O,r),由此建立圆周c和参数r，在圆周c上取两点A,B，并以这两点做圆的切线tA,tB.在指令栏中用slope得出这两条切线的斜率kA，kB，再用θ=atand(k)指令求出两条切线的倾斜角θA,θB.为了建立向量以表示速度，选取切线的速度方向的一点A′.在指令栏输入：A**’=if(y(A) ≥y(O),A-v_1 (cos (θ_A), sin (θ_A)),A+v_1 (cos (θ_A), sin(θ_A))),求出点A′，同理求出B′.用Vector指令，建立从A到A′的向量以表示速度vA,同理建立速度vB.把vA的起点平移到B点，得到vA′，依次连接v′A与vB的末端，从而得到向量Δv以表示速度的变化量，此时已完成课本中的图像.

为了方便探究向心加速度的大小，连接v′A,vB与Δv，得到矢量三角形；同理连接O,A,B3点得△OAB.在指令栏输入Angle指令，标注两个三角形的角度.通过显示的角度，证明了两个三角形是相似三角形,如图18所示.

图18 两个三角形相似

4.2 向心加速度的大小

根据相似三角形可得

Δl为圆上A,B两点构成的弦，v代表速度vA,vB的大小.

当时间Δt→0时，弦Δl近似等于弧长vΔt，通过等量代换得

整理得

得

由此得到向心加速度大小表达式.

4.3 向心加速度的方向

取弦AB中点为起点，O点为终点，建立向量.观察到这一向量始终与向量Δv同向，即Δv的方向始终指向圆心，也证明了向心加速度a的方向始终指向圆心,如图19所示.

图19 向心加速度的方向

5 总结与感悟