基于模型预测控制的智能汽车轨迹跟踪方法比较

乔宝山，冯樱，江子旺，杨朝阳

（湖北汽车工业学院 汽车工程学院，湖北 十堰442002）

轨迹跟踪是指控制车辆在保持自身稳定的前提下迅速、准确地跟踪参考轨迹，是实现智能汽车驾驶必不可少的关键技术。目前，对于智能汽车轨迹跟踪控制，多采用PID 控制［1］、最优控制［2］、滑模变结构控制［3］和模型预测控制［4］等方法。其中，模型预测控制（model predictive control， MPC）具有预测模型、滚动优化和反馈校正等特点，适用于不易建立精确数学模型且存在约束条件的控制，在智能车辆的轨迹跟随控制上应用日趋广泛。文献［5］根据车辆运动学模型，对系统状态量的偏差和控制量进行优化，该模型设计简单，达到控制精度。文献［6］以车辆动力学模型作为预测模型，对轮胎侧偏角施加动力学约束设计了模型预测控制器，该控制器在中低速工况下能有效抑制车辆在跟随过程中的侧滑问题。文献［7］针对低速直线及圆弧工况以车辆运动学模型为预测模型，高速换道工况以车辆动力学模型为预测模型分别建立了MPC跟随控制器。运动学预测模型控制器在低速、高附着系数工况下，动力学预测模型控制器在高速、各种路面都能较好地跟踪期望轨迹，但未考虑将2种控制器放至同一工况下进行对比试验，分析其控制特性。

采用运动学预测模型和动力学模型设计了2种智能汽车轨迹跟踪MPC 控制器，并基于Carsim与Matlab/Simulink 联合仿真平台进行典型轨迹跟踪仿真，分析2种控制器轨迹跟踪效果。

1 车辆模型

1.1 车辆运动学模型

车辆运动学是从几何学的角度研究车辆的运动规律，包括车辆在空间的位置、速度和横摆角等随时间而产生的变化。假设车辆运动方向与前轮方向一致，车辆运动学模型见图1，点P为车辆转向中心。在地面坐标系OXY下车辆运动学方程为

图1 车辆运动学模型

1.2 车辆动力学模型

车辆动力学模型通过对轮胎和路面之间相互作用力来描述车辆的运动，相对于车辆运动学模型，动力学模型考虑了轮胎的侧偏等动力学参数，更接近车辆实际状态。文中主要研究车辆能否准确地跟随期望路径，无需考虑悬架特性。为简化计算，作以下假设：1）假设车辆在水平路面上行驶；2）忽略悬架作用和车辆垂直运动；3）假设左右轮胎完全一致且轮胎侧偏特性为线性；4）忽略空气阻力及道路阻力。用单轨模型描述车辆运动，构建包含纵向、横向及横摆3 个自由度的车辆动力学模型，见图2。根据牛顿第二定律和转矩平衡方程可得：

图2 车辆动力学模型

2 模型预测跟踪控制器设计

模型预测跟踪控制的原理框图如图3所示，包含MPC控制器和被控对象模块。其中MPC控制器包含车辆运动学或动力学预测模型、目标函数和约束条件，将求解得到当前时刻的最优控制序列u∗( t )输入到被控车辆，被控车辆按照此控制量进行控制后，将控制后的状态值x( t )作为输出，并传递给MPC控制器。由于采用运动学模型和动力学模型的模型预测控制器设计流程相似，因此文中仅描述动力学模型预测的设计过程。

图3 模型预测控制原理图

2.1 动力学模型线性离散化

式（2）可以改写为

参考文献［4］，将式（3）转换为线性时变系统方程为

对式（4）进行近似离散化处理为

本年度养殖从4月25号开始放苗，至11月初干塘起捕。养殖面积56亩，共放苗14.8万尾，回捕率41.5%。共收获商品虾6138kg，平均规格在97g，少部分200g以上和50g以下。销售收入共计64.5万元，其中苗种收入3.2万元，商品虾61.3万元。成本25.5万元，其中饲料6.3万元，塘租6.2万元，电费0.98万元，药品0.8万元，人工8万元，其它3.2万元。总效益39万元，平均0.69万元/亩。

对式（5）进行综合可得：

2.2 目标函数设计

目标函数要能保证车辆快速且平稳地跟踪上期望轨迹，需要加入对系统状态量的偏差和控制量的优化。对式（5）作如下转换：

得到新的状态空间表达式：

式中：Nu为输入量个数；Ny为输出量个数。

为了简化计算，令Ak，t= At，t，Bk，t= Bt，t，经推导可以得到系统的预测输出表达式为

参照文献［8］所使用的软约束方法，目标函数为

式中：et为预测时域内的跟踪误差。其值为

为防止控制量的变化过大或者控制量过大超出可运行范围，在控制中需要满足控制量、控制增量以及输出量的约束条件：

3 仿真及结果对比分析

3.1 双移线、双纽线工况及约束建立

图4 行驶工况曲线

高速公路下车辆的任何驾驶行为都可以分解为车道保持行为和换道行为，因此选择双移线工况来模拟智能汽车换道过程的轨迹跟踪，如图4a 所示。高速公路下车辆速度较高，为了保证换道过程中车辆的稳定性，前轮转角的范围限制为-2～2°，且其控制增量限制为-0.01～0.01°［9］。双纽线是常用的评价汽车操纵稳定性的典型道路模型［10］，用来模拟大转角低速车辆的轨迹跟踪情况和测试汽车低速时的转向轻便性，如图4b 所示。前轮转角的范围为-10～10°，且为了保证车辆行驶过程中的稳定性，控制增量限制为-0.3～0.3°。

3.2 仿真结果分析

选用Carsim 中Exotic 车型和Pacekjka 轮胎进行试验仿真。整车主要参数及轮胎参数见表1。

表1 整车参数及轮胎参数

智能车辆双移线轨迹跟踪仿真试验时采用100 km·h⁻¹的恒定车速，路面附着系数μ分别为0.3和0.8。双纽线轨迹跟踪试验时，设置15 km·h⁻¹、30 km·h⁻¹和50 km·h⁻¹共3 个车速，μ 为0.8。分别测试了2 种MPC 轨迹跟踪效果，控制器的参数相同，Np为20，Nc为10，采样时间T为0.02 s。

图5 双移线工况不同模型仿真结果

图5 为双移线工况下的仿真结果曲线。其中图5a 和图5c 为高、低附着路面下2 种模型预测控制器的跟踪曲线，可以看出：在高、低路面附着系数路面上，无论是采用运动学还是动力学的MPC 控制器都能较好地跟踪参考曲线，说明所设计的2种MPC 控制器不仅控制精度高，而且对附着系数有较强的鲁棒性。图5a和图5c均显示出动力学模型跟踪效果更好，原因是其考虑车辆的真实受力，预测模型更接近与受控对象。图5b和图5d为高、低路面附着系数路面上采用不同控制器在轨迹跟踪过程中前轮转角曲线，可见采用动力学MPC 前轮转角的峰值小于运动学MPC，控制更为平滑。对比图5d和图5b可以看出：在低附着系数路面，运动学MPC 的前轮转角的抖动现象加剧，动力学MPC的前轮转角曲线基本没变，说明动力学MPC 对附着系数具有更强的鲁棒性。

在附着系数为0.8 的路面，双纽线工况下的仿真结果如图6～7 所示。图6 为不同车速下运动学MPC的横向跟踪误差曲线和前轮转角曲线；图7表示车速为50 km·h⁻¹时2种MPC控制器的横向跟踪误差及前轮转角曲线。从图6a中可见运动学MPC在不同速度下都能较好跟踪期望轨迹，且速度越低跟随效果越好。图6b显示速度越低前轮转角曲线越光滑，车辆控制越平稳。从图7a 可见动力学MPC比运动学MPC跟随效果更好，且跟踪误差为-0.2～0.2 m，随着车辆行驶距离逐渐趋于稳定。图7b 中2 种MPC 的前轮转角曲线基本重合，但运动学MPC在转角为0°左右时有明显抖动现象。

图6 双纽线工况运动学不同车速仿真结果

图7 双纽线工况50 km·h⁻¹时不同模型仿真结果

50 km·h⁻¹车速下2 种不同预测模型的控制算法消耗时间见图8，在相同工况下，不同的预测模型对控制运算时间影响较大，动力学MPC 的单个周期运算时间平均要比运动学MPC多5 ms左右。

图8 车速为50 km·h⁻¹时计算时间

4 结论

在车辆运动学模型和动力学模型基础上，设计了2种模型预测轨迹跟踪控制器，并基于Carsim和Simulink联合仿真测试了2种控制器的轨迹跟踪效果，测试结果表明：1）所设计的2种模型预测跟踪控制器都具有较强的跟踪能力且对速度和地面附着系数都有较强的鲁棒性；2）被控车辆稳定性好，2 种MPC 控制效果没有明显差异，但动力学MPC跟随精度更高，且控制过程更为平顺；3）相同工况下，动力学MPC较运动学MPC运算时间较长，因此可根据实际跟随需求来选择不同模型的MPC作为跟随控制器。