数学化学习：过程从“生动”走向“深刻”

丁洪

[摘要]小学生的学习需要横向数学化和纵向数学化水平结伴而行、因需侧重和辨证统一，数学化学习让学生经历问题本质有根、智慧路径有链、模型结构有美和数学思想有魂的“再创造”过程，驱动学生“像专家一样思考”，形成数学素养。

[关键词]数学化学习;问题本质;过程经历;数学素养

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0011-03

所谓“数学化”，简单地说，就是数学地组织世界的过程。通常情况下，“数学化”分为横向数学化和纵向数学化两种水平。其中，横向数学化水平具有经验特性，是生活到数学的抽象建模，“生活味”要浓一些;纵向数学化水平具有演绎特性，是从数学到数学的螺旋建构，“数学味”要浓一些。小学生的学习需要两种数学化水平结伴而行、因需侧重和辩证统一，通过演绎知识的“再创造”过程，驱动学生“像专家一样思考”，使学生的学习体验从“生动”走向“深刻”。接下来，笔者以“用数对确定位置”的教学为例，加以详细阐明。

一、紧扣“问题本质”，凸显过程的“根”

问题是数学的心脏。教学需要剖析、确认和聚焦问题的本质。现实主义的教学理应围绕知识本质依次展开、有序调控和实现目标。

教师一般认为，“数对”是确定位置的本质，教学以建构“数对”这种数学形式为目标，所有的问题设置和交流重点，都指向“数对”本身。这种仅从课题名称“是什么”来判定知识本质的做法是肤浅的，未能触及确定位置的本质，容易造成“形式大于内容”的本末倒置，教学看似热闹，实则低效。既然“数对”的形式不是知识的本质，那么，这堂课的本质究竟是什么？从知识所属的板块来看，本课属于“图形与几何”板块中的“运用坐标描述图形的位置”，渗透的是“直角坐标系”的数学模型。在这种坐标系中，物体（点）的位置由一对数确定，一对数也唯一确定一个物体（点）。基于这样的考量，“用数对确定位置”的本质就是建立“一对数”与“一个点”在平面上的一一对应，以此驱动学生体验“距离+距离”组合的优越性和存在的必要性。

如此看来，数对的形式固然重要，但是数学化学习的重点不在数对本身，而在于建构用数对确定位置的内部要素和结构编排，即描述位置的统一性和结构性，至于简洁性是所有数学问题表征的价值取向，是数学建构的外在特征，而非数学的本质内容。另外，从知识的生长角度看，学生数学化学习的过程与笛卡儿“如何实现点与数的对应”的追求一脉相承。具体到教学实践，就需要将建立直角坐标系的“x轴”和“y轴”，巧妙转化为数对中的“列”和“行”，融合一维到二维的确定、多元到统一的表征、内在到外在的建构等。这样的教学，才是抓住了问题本质，才会目标明确。

二、规划“智慧路径”，构建过程的“链”

引导学生紧扣问题本质进行数学化学习，还需要在“根”的基础上设计符合学生认识规律、知识水平和切实可行的“问题链”。应该说，教学能规划智慧路径，是学生有序学习的保证。

以苏教版教材为例，先后出现两种实践版本：

案例A：1.座位引人。学生尝试描述小军的位置，但是说法各有不同，产生统一表征的内驱。2.介绍规则。运用第几列第几行具体描述小军的位置，但是形式烦琐，产生简洁表征的内驱力。3.激发创造。出现“4↑3↓”“4.3”“4，3”等方式，比较简化方式中的异同，感知“（4，3）”模型建构的合理。4.运用内化。即时练习巩固方法，联系生活实际体验二维平面内确定位置的特点，即“锁定两个关键信息，约定先后表达顺序”。这里有两条“问题链”：一条是“怎么办才统一？”“怎么办才简洁？”“怎么办才通透？”，属于外显的操作路径;另一条是都在平面内发生的“模糊确定”“精准确定”“透视生活”，属于内在的思维路径。

案例B：1.用“一个数”描述位置。学生先用‘‘在上面”“在中间”“在左边”等描述区域内小蜘蛛的大致位置，当一条“数射线”出现在底边后，逐步量化底边上小蜘蛛的位置，再将小蜘蛛向正上方平移几个单位，由“都在4的正上方”，使学生产生具体表达的内驱力。2.用“两个数”描述位置。给出另一条“数射线”，描述“在4的正上方”所有点的位置的同时，概括出形如“4的正上方1厘米处”的方式，并将之迁移到其他数的正上方，建构出坐标系中的“列”;把列中的相同刻度连起来，追问“横向的线”的作用，建构出坐标系中的“行”，形成直角坐标系的雏形;借助纵横交叉方式的演绎，凸显“数对”的精准定位。3.简洁表达的创造。出示“横4高1”“4-1”“4，1”等方式，引导比较异同，抽象概括出“（4，1）”的数对模型，再介绍笛卡儿发明坐标系的故事，呈现知识生长的内在一致性。4.用“三个数”描述位置。巧妙借助魔方，在三个维度标上“数射线”，通过追问：“还能用一对数确定位置吗？”驱动学生思维螺旋上升。这里，外显的操作路径是“都在4的正上方，表達不清楚？”“句子描述比较烦琐，形式不简洁？”和“再用一对数描述位置，确定有困难？”，而内在的思维路径是“一维的精准确定”“二维的模糊确定到精准确定”和“三维的方法渗透”。

显然，方案A是具体生活情境服务数学建构，并将建构的数学模型运用于生活情境，在不同中感知相同的结构特征，整体侧重横向数学化，以建模、变模和融模为主。方案B中，知识的生长痕迹明显，学生经历了维度递加、认知梯度和体验递进，虽然也有情境的辅助和调和，但是整体侧重纵向数学化。换句话说，两者的智慧路径不尽相同，生动的过程和深刻的指向各有侧重，但是数学化学习的意识明确、路径明朗和效果明显。

三、贯通“模型结构”。融合过程的“美”

费孝通老先生指出：“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同。”其实，在数学化学习中也有很好的解构：不同的教学都是一种美的存在，外在智慧路径可以美得不一样，但是内在的问题本质却相同，并且教学相长的目标一致。

1.内容与形式的辩证统一

数学化学习需要把握知识的内容和形式。内容是事物的内在诸多要素的总和。本课的学习内容是指用“第几列”和“第几行”这一对特殊的数，纵横交错、有序组合，共同作用唯一确定平面内的“一个点”，体现的是二维空间位置建构的一般特征。在实际教学中，创设的情境可以不同，过程经历可以有差异，但是教学所有行为都必须指向本质内容。这是教学的底线，也是数学化学习的本色。形式是事物的要素结构和组织方式。本课的建构形式是指（4，3）的数对模型，有列有行、先列后行，是在“教室内座位的位置”特殊情境下的抽象建构，遵循内容决定形式、形式依赖于内容的一般规律。如果回归生活，情境相对开放，虽然平面内确定物体位置的内在本质相同，但是呈现的外在形式就变得丰富多彩，如国际象棋棋盘（g2）、车位号（A-001）、火车座位号（04A号）、飞机座位号（30F）等。进一步说，知识形式的出现包含创造的偶然性、知识的衔接性和体系的完整性，虽然一旦确定下来就不会轻易发生改变，但是从生活的实际需求出发，改善和改变又必然是常态。就这样，在变与不变之间，内容与形式达到辩证统一。

2.“会学”与“学会”的和谐共生

数学化学习经历“会学”与“学会”两个必要阶段。第一阶段是“会学”，从生活到数学，经历对比、抽象和建模，强调的是“举三反一”。这里的“三”，是指相同结构的生活情境的数量，不是特指，而是表示较多的意思。只有大量的同质同构、异质同构的情境引入，才能激发学习主体的兴趣，驱动其发现问题、提取关键问题和建构数学模型。这里的“一”，是指数学问题的本质，是特指的，就是教学的核心问题和根本任务。“举三反一”背景下的“学会”学习，能够实现由厚到薄、由浅入深和由外到内的递进增效。第二阶段是“学会”，学习从数学到生活，学生经历运用、解释和内化的过程，强调的是“举一反三”。这里的“一”和“三”的含义与上面相同，引导学生从“学以备用”到“学以致用”，并形成三种积极的学习倾向，即“会用数学的眼光观察世界”、“会用数学的思维思考世界”和“会用数学的语言表达世界”。就这样，在生活与数学之间，“会学”和“学会”实现完美对接。

显然，对数学模型进行解构和重构，能使数学化学习的过程美妙、结构完美和体验丰美，促进模型内容与形式的辩证统一，驱动学生“学会”和“学会”，最终，超越具体知识，实现学习增值。

四、沉淀“数学思想”，触摸过程的“魂”

數学思想是思维活动的产物，是对数学科学研究的本质及规律的深刻认识，它制约着数学活动主观意识的指向，对方法的取舍、组合具有规范和调节作用。应该说，教学能沉淀数学思想，是学生深度学习的保障。

1.数形结合

数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，通过“以形助数”和“以数辅形”的方式，使代数问题与图形问题相互转化。就本课而言，要确定平面内一个点的位置，属于几何问题，但是在解决问题的过程中，却将思路巧妙引向数的表达，经历“第几列”和“第几行”两个维度的量化，并建构出形如（4，3）的数字模型，以“一对数”表征“一个点”，实现了几何问题向代数问题的有效转化。从此，平面上的一个点都可以像这样用一对特殊的数字组合来描述和记录。显然，数形结合不仅能解决具体问题，还能使不同类型的知识发生联系，显性架构直角坐标系的雏形，开创数学研究和学习的新思路。

2.对应思想

对应思想反映的是两个集合的元素之间的关系。它随处可见、应用广泛，如数与形、量和量、量和率等，但都需要寻找对应关系，以便更好地解决问题。就本课而言，先是确定一维上的一个点与一个数的对应，再确定二维中的一个点与一对数的对应，还可以引向三维，激发学生对空间中点的位置的深度思考。可以看出，不管发生在哪个维度，数字与维度的数量是对应的，而且确定的结果是唯一的，像这样的对应现象可以称之为“一一对应”，它是建立在对应思想上的一种特殊情况，因此，确定位置的结果没有例外。显然，对应思想可以帮助观察、分析和解决问题，还能使建构的数学模型结构稳定，驱动数学思维有序生长。

3.建模思想

建模思想是指运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。就本课而言，以情境中的位置确定为起点，激发学生调用生活经验和数学旧知，从模糊确定到精准定位，从个性表征到共性约定，最终形成“（4，3）”的特定模型，使数学化思考得以固化和沉淀。因为这样的模型建构具有科学性、逻辑性，所以运用建模思想所得的数学结论能反映实际需求，能够抽象和概括实际问题，可以有效迁移和推理运用，使学生的学习从特殊建构走向一般认知。显然，建模思想既与数学学科建设内在一致，也与学生数学化学习同步吻合，以促使课堂行为有过程、有思想和有结论。

当然，随着时间推移，纵向数学化将逐渐多于横向数学化，“数学味”将逐渐浓于“生活味”，这是由学生年龄特征和数学学科特点所决定的，这种变化符合学生认知发展的一般规律。但是，生动不是学习的点缀，而是对学生的一种尊重和关爱，数学化学习以“学生为中心”的视角不会变;深刻不止于对知识的理解和把握，而是要超越具体，形成一般能力，数学化学习达成“核心素养”的目标不能变。就这样，在不变中坚守，又在变化中发展，我们就能以不变应万变了。