以“植树问题”为例探讨如何在数学广角教学中有效渗透数学思想方法

摘要：植树问题一直以来都是小学数学中的经典章节，该问题不仅能够培养学生良好的数学逻辑思维，同时还能够将数学问题和生活问题有机结合拓展学生的生活视野。但是在实际的教学活动中，很多教师并没有掌握科学合理的教学方式，因此很多学生在学习的过程中存在很多的问题，下面将结合笔者个人的思考做出相关阐述。

关键词：植树问题;教学思想;方法探究

一、 引言

在小学阶段，很多学校的数学教师在教授数学的过程中并没有培养学生良好的数学思维能力，大部分的教师常常只是在课堂上完成书本中的任务并没有对比较经典的数学思想进行引申和拓展。其实生活中的一些基本问题蕴涵着非常丰富的数学哲理，因此下文希望能够通过植树问题对于数学思想方法的拓展进行介绍。

二、 植树问题中的数学分析

（一）植树问题的定义

生活中在植树过程中常常需要先挖坑然后每隔一段距离栽培树苗，在数学问题中树木的坑位以及各个树苗之间的距离是两个比较重要的变量，该问题中最为重量的部分就是研究坑位和间距之间的关系，在小学数学中常常分为三种不同的情况，第一种，两端都不栽树苗，第二种，两端都栽，第三种，两端之间只有一端种树。在上述的种种栽培方式中，坑数与间隔数的影响关系并不在于间距的大小，但是如果能够同时知道平均间距以及总长度能够求到间隔数。

（二）植树问题所蕴含的思想方法

植树问题虽然只是一个生活问题，但是内部涉及大量的数学思想，例如抽象思考、数形结合、归纳猜想等多种方式，如何在学习的过程中培养学生的思维模式，学会使用数学方式来解决生活中的问题是目前广大教师需要思考的主要工作。另外植树问题虽然比较简单，但是内部含有比较深刻的数学思维，如何将这种思维模式的转换完美展示给学生也是一种非常困难的工作，不仅要求教师需要具备扎实的专业基础，同时还需要能够具有良好的语言表达素养，当前很多教师往往无法平衡二者之间的关系。

（三）植树问题之后的衍生问题

一般种树都是直线栽培，但是植树问题的进一步延伸能够转向环形以及方阵问题，同时植树问题还可以转换为路灯、爬楼梯、摆花盆等其他类型的问题，教师需要在教学活动中尽量搜集更多的衍生问题并且将其归类汇总，让学生在纵横问题的对比中思考问题的本质，加深对于知识的理解。

三、 植树问题所蕴含的思想方法

在人教版五年级的数学课本中有一个“数学广角”的专题，该专题主要在于培养学生学习一些新的数学方法，增加独立自主解决生活问题的能力，拓展数学思维能力。因为下面笔者将以植树问题为基本导向，对于内部蕴含的数学思想进行分析。

（一）数形结合思想

为了能够将数学问题转换为更有故事性的问题吸引学生的注意力，可以将教学情境改为：一只可爱的小狐狸想在房屋的前面种植一排蔬菜，请可爱的同学们帮帮忙，学生在这样的问题面前往往会表现出比较强烈的好奇心，结合树上的图形，他们将一条线段模拟为一个排，一个粉笔表示一个坑，将问题转换为在一条线上画坑，通过这样的方式能够将书面上的问题和生活实际联系起来，强化学生的动手能力。

（二）分类讨论思想

在线段上面画图挖坑，为了能够减轻学生的学习难度，教师可以相应更改坑数，当然如果学生具有足够的简化能力，老师可以不加以限制。完成图形绘制之后学生分组讨论，探讨线段上面的不同搭配方式，经过激烈的对比讨论和分析，学生对一端栽种，两端栽种，两端都不栽种三个问题进行讨论，在批改的过程中最好能够结合图形将问题简化。

（三）归纳思想

归纳法的起点应该从简单的数学案例开始，因此从原则上最好能够从一端栽种的情况讨论，但是不同的学生素质不同，教师应该根据实际情况进行选择教学。数学老师从最初的一个坑到最后的多个坑，一边画图形一边数清坑的数量，逐渐归纳出二者之间的对应关系。

例题：园林工人需要在长度为1000m的公园小路旁边种树，每隔十米种植一棵树，则需要种植多少棵。

该问题的核心思想在于如何将比较复杂的问题转换为已有的知识进行解决，教师此时可以重新带领学生先回顾原先的“30m”问题，在引导他们发现树苗之间的距离关系之后再去转换为更为复杂的“1000m”问题，通过难易问题的转换能够帮助学生更好地理解化歸的核心思想。

（四）模型方法

正如上文所述，学生在找到第一种栽种方式的数量关系之后，需要利用自己的语言构建一定的数学模型来表达这样的关系。例如在两端都不栽种的问题上，从图形上面可以直接看出端点位置少一个坑不会影响间隔数的数量，等式可以表达为坑数=间隔数+1。以此可以类推出其他的数据关系，这种建立模型的主要目的在于希望学生能够根据自身的推理建模，进一步整理三种数学问题的解决思路。

（五）化归方法

教师可以直接先将问题的答案传递给学生，反过来让他们求坑数，观察他们是否能够根据种植方式的不同来解决问题，这种反过来求导的方式能够强化学生对于问题的理解，然后在这样的基础问题之上，教师再转移到其他生活问题的求解上，尝试引导他们去建立属于自身的数学模型，找到化归方法的精髓所在，将未知问题转化为已知问题。

四、 关于植树问题所带来的教学建议

（一）构建思维导图

思维导图一直以来都是一种非常科学有效的图形整理方式，和传统线性的记录方法不同，思维导图以图形的方式将各个概念之间建立逻辑关系，模拟思维网络进行记忆。学生在课上绘制思维导图，然后课后将课堂上面的知识，探索发现的规律全部记录到上面，同时教师也可以随时检查学生的思维导图，找到学生学习过程中存在的漏洞并且加以补充说明。

（二）减少思维误区限制

因为学生之间存在智力方面的差异，对于同样的知识往往需要不同的时间进行吸收，教师需要针对这样的情况制定不同的教学目标，可以从最简单的问题入手，然后一步一步开始拓展，根据学生之间思维层次的不同逐渐升级。例如，对于接受能力比较强的学生可以给他们在课后额外布置一些难度更大的问题。

（三）提高自身教学能力

在数学广角中存在的数学问题可能对于部分数学教师来说也是从来没有遇到的，他们虽然有能力解释出来，但是因为没有充足的准备，无法将内部的数学思维向学生解释。或者如果教师本身能力不够，无法将这些问题转移到更深的领域中，在教学的过程中将会出现更为严峻的问题。当前教学小学数学课堂的内容以及形式比较单一，因此需要广大的数学教师应用更多种形式的教学方式来丰富学生的思想，同时有关教师应该不断在教学活动中丰富自身的能力。

五、 在教学活动中存在的问题以及解决措施

首先，在数学教学活动中最为重要的任务就是探索，但是因为课堂时间有限，学生很难对于某一个问题进行深度分析，因此自主解决问题的能力一直都是处于低级阶段，对于部分学生而言，因为需要每天面对海量的数据信息，需要进行画图并且构建相应的模型，但是因为时间方面的限制无法在短时间内构建科学合理的数学模型，如果无法自己直接解决这样的问题将会出现畏难的心理。为了能够解决这样的问题，需要适当改良课本上面的习题，然后用简单的数据让学生在充裕的时间内完成树坑和间隔数的探究对比，并且找到相关数据之间的关联。

其次，在内容的安排方面，一个课时，教师只能够给学生介绍某一个教材的案例，并且对其进行深度分析，对于其他的方法需要用另外的时间来解释，这种割裂的教学方式无法一起将三种方法共同引入学生的视野中，学生容易失去学习知识的最佳时机。可能会在短时间内掌握一种思考的方法，但是无法全面来分析这个问题。

最后，数学方法的理解以及领悟往往是循序渐进的，如果教师本身没有形成良好的教学习惯，对于方法原理没有正确的认识，往往会误解编写者编写课本的初衷。例如在介绍环形植树、摆花盆等问题方面学生无法利用已有的知识进行思维上的发散。因此，笔者希望教师在帮助学生完成植树模型之后，能够进一步和学生对于该问题进行深度讨论。

六、 认识树与树之间的间隔关系

在植树问题中比较重要的案例是“两端都种”，而理解内部的运行原理需要教师帮助学生首先了解树与树之间的间隔关系，这是解决植树问题的根本所在。在介绍“间隔”概念之前可以设计一个教学方案：教师问：同学们将手指伸出来，能够发现什么。有的学生可能会回答：我们一个手有五个手指，四个空隙。教师接下来会补充：五个手指有四个空，那么四个手指有多少个呢？

在了解完这个问题之后，数学老师可以将问题转换为“对应”，教师先请6位同学排列成一排，有的学生可能会发现此时间隔数量永远比人少一个，如果按照这样的规律来判断，那么人数和间隔数之间始终都是存在一定数量关系的。此时在明白这个问题之后，数学教师将问题进行延伸，通过这样的关系能否发现其他的规律。

在平常的教学活动中，常常会以25m作为种树的全部长度，我们假设在这样的范围内种树，每一个树的距离为5m，两端全部都要种树，则问题为需要种多少棵树苗。将问题抛出之后，教师应该引导学生找到几个數量之间的关系，在适当的情况下可以给予提示，例如在黑板上引导他们将实际生活问题转换为点、线、面的数学图形问题，通过比较直观的图形来解决数学问题。

数学思想是数学学科的精髓部分，教科书中的数学思维只是冰山一角，学生要想培养更为深刻的数学思维，仅仅学习书本中的知识还是不够的，需要在数学教师的引导下去不断学习课外的知识才能够形成全面系统的逻辑思维习惯，因此，希望能够通过上文的论述给更多的教师带来教学上的帮助。

参考文献：

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[3]陈静.以植树问题为例浅谈小学数学解决问题课堂教学的建构[J].魅力中国，2017（6）：80.

[4]林祖润.渗透思想方法感悟数学价值——“数学广角——植树问题”教学反思[J].小学教学参考，2008（17）：20-21.

作者简介：

张艳，福建省福州市，福建省福州市交通路小学。