由2自由度并联髋关节构成的脊柱式四足步行机器人步态规划和稳定性分析

桑董辉，陈原，高军

(山东大学(威海) 机电信息与工程学院，山东 威海 264200)

0 引言

四足机器人的落足点离散，在其足端达到的范围内可以灵活调整行走姿态，并合理选择支撑点，因此对复杂地形和非结构化环境具有较强的适应能力[1-3]。四足机器人能以最少的腿实现静态步行，具备承载力强、稳定性好和结构简单等优点[4-6]，一直是国内外学者研究的热点。

在四足机器人中，腿部结构多为串联机构，比较典型的有美国波士顿动力学公司的Bigdog[7]和日本电气通信大学的Tekken[8]等。串联机构是一个开放运动链，其所有运动杆件没有形成一个封闭结构链，增加一个运动关节则机构的刚度和稳定性会随之递减，从而导致机器人整体的承载能力低[9-12]。然而，应用于一些救灾和运输领域的四足机器人应具有较高的负载能力。与串联机构相比，并联机构是一个封闭的运动链，结构紧凑且各向同性好，从而使得并联机构具有较好的刚性和较高的稳定性。因此，将并联机构运用于四足机器人的腿部结构，可以提高机器人整体刚度和承载力。

大多数四足机器人的躯干没有灵活的脊柱关节[13-16]，该无脊柱结构会使四足机器人在一些特殊工作环境下存在运动的局限性。例如，急转弯定点转向时，无脊柱结构会使机器人步态调整不及时，从而造成转弯半径大；爬楼梯过程中，无脊柱结构的稳定裕度低，且前腿容易与台阶发生碰撞。从仿生学[17-18]角度，脊柱关节可以有效地提高四足机器人的灵活性和稳定性。

步态规划是保证四足机器人稳定行走的关键技术。Hirose[19]提出了连接两对角支撑足的对角线法则，罗庆生等[20]和Pack等[21]经过改进将其重新定义为对角步态(SAL)。然而，多足机器人的步态规划方法大多以串联腿机器人作为研究对象，只对机器人的整体位姿进行研究，很少对四足机器人直线步行不协调、机器人受力失衡或机体倾翻等机体不稳定现象进行研究[22-25]。

针对以上问题，本文提出一种由2自由度并联髋关节构成的四足步行机器人，并对其进行运动学建模。该无膝关节式并联腿机构在结构上更加紧凑且可以承受更大的径向力，从而使四足机器人具有更高的承载能力和更好的稳定性。为了进一步提高四足机器人在爬楼梯和定点转向过程中的稳定性，本文根据仿生学原理提出一种2自由度脊柱关节，并提出一种无膝关节四足机器人的直行步态、定点转向步态和楼梯步态规划方法，以弥补无膝关节并联腿机构的延展性，避免机器人直线行走时机体的倾斜。最后，通过仿真和实验验证机器人步态规划方法的合理性和有效性。

1 四足机器人的坐标系构建与运动学建模

1.1 2自由度髋关节和机器人腿部设计

图1 四足机器人的三维模型与坐标系Fig.1 Three-dimensional model and coordinate system of quadruped robot

如图1(a)所示为本文提出的2自由度并联髋关节构成的脊柱式四足步行机器人。该四足机器人腿部由并联髋关节和末端支撑构成，躯干由前后两部分机体和2自由度脊柱关节构成。脊柱关节具有横断面偏航和矢状面俯仰2个自由度。如图1(b)所示，髋关节为2-RUPR-UR2自由度球面并联机构。该并联机构具有3条运动支链，其中2条RUPR运动支链为驱动支链，1条UR支链为支撑支链。通过控制RUPR驱动支链所连接的驱动电机转速和转向，可使动平台到达以UR支撑支链长度为半径的球面空间中的任一点，实现腿部在球面空间内的灵活运动。

建立如图1(c)所示的坐标系。图1(c)中，Ai为足端位置，i=1，…，4，Bi为髋关节位置，M为机体重心位置。在地面建立参考坐标系Oxyz，其坐标原点位于机器人重心垂直于地面的投影O处，x轴平行于B1B3，y轴平行于B3B4，z轴符合右手定则。参考图1(b)，令UR支链的U副中心为Bi点，基于D-H法在机器人髋关节Bi点建立相对坐标系Bixiyizi，该坐标原点位于Bi处，zi轴垂直于B1B2B3B4平面，yi轴平行于B3B4，xi轴符合右手定则。设定Ai点在地面参考坐标系下的位置向量为OPAi=[OxAiOyAi0 1]T，机体上髋关节Bi点在地面参考坐标系下的位置向量为OPBi=[OxBiOyBi0 1]T，设定机体长度B1B3为2n，机体宽度B1B2为2 m.

1.2 2-RUPR-UR球面并联腿机构的运动学建模

四足机器人步行动作由支撑腿的驱动机体水平移动和摆动腿的向前跨步两部分组成。四足机器人机体的水平移动可以通过控制所有支撑腿的驱动关节实现。对机器人支撑腿的逆运动学建模是在已知机器人位姿和支撑腿足端位置条件下，计算机器人所有驱动关节的变量值。支撑腿和摆动腿的运动简图如图2所示。图2中，α为绕x轴的旋转角度，γ为绕z轴的旋转角度，L为AiBi的长度，l0为Bi点在地面投影到Ai点距离的初始长度，l为Bi点在地面投影到Ai点距离的最终长度，h0为Bi点的初始高度，h为Bi点的最终高度，S为机器人沿水平方向前移的距离。如图2(a)所示，当机器人机体沿水平方向前移距离为S时，机器人第i条支撑腿上的Bi点随之前移距离也为S. 此时，Bi点在地面投影到Ai点的距离从初始长度l0变为l，Bi点的高度由初始高度h0变为h.Bixiyizi坐标系相对于Bi点的旋转变换矩阵可表示为

TBi=R(x,α)R(z,γ)=

(1)

式中：R(x,α)表示绕x轴的旋转矩阵；R(z,γ)表示绕z轴的旋转矩阵。

图2 支撑腿和摆动腿运动简图Fig.2 Kinematic diagrams of supporting leg and swinging leg

此时，足端位置向量在Bixiyizi坐标系下可表示为

(2)

式中：BiPAi=[0l0-h0]T为足端Ai点在Bixiyizi坐标系下相对于Bi点的初始位置，OPAi=[-Sl-h]T为足端Ai点在Bixiyizi坐标系下相对于Bi点的最终位置。根据已知的足端位置向量，可求得机器人支撑腿的位置逆解：

(3)

(3)式中的第1个公式表达了髋关节的旋转角度与髋关节Bi点高度h之间的关系，第2个公式描述了髋关节的旋转角度与Bi点在地面投影到Ai点距离之间的对应关系。当髋关节Bi高度和Bi点在地面的投影点到Ai点的距离已知时，可以求出对应髋关节的旋转角度α和γ.

(4)

四足机器人的向前跨步通过摆动腿来实现。已知支撑腿足端立足点位置，摆动腿在x轴方向跨出距离S时，根据摆动腿髋关节的旋转角度变量可求得摆动腿足端的运动轨迹。摆动腿足端的运动轨迹可根据行进路面的平整度，通过控制髋关节旋转变量进行调整。Bixiyizi坐标系相对于Oxyz坐标系的旋转变换矩阵可表示为

式中：P为机体的位置向量；I为单位向量。

根据机体的位姿和坐标转换矩阵，可以求得机器人摆动腿足端在地面坐标系中的位置向量：

OdAi=OTBiBiPAi+S，

(5)

式中：OdAi为腿摆动后Ai点在Oxyz坐标系下的位置向量；BiPAi为摆动腿在Bixiyizi坐标系下的初始位置向量；S为Bi点在x轴方向的位移向量。

2 无膝关节四足机器人的步态规划

2.1 直行步态规划

无膝关节并联四足机器人的腿部只有2个自由度，摆动腿足端轨迹在地面投影为一条曲线，根据已有步态规划方法很难实现四足机器人的直线行走。针对以上问题，本文设计一种新的步态规划方法，实现无膝关节并联四足机器人的直线行走。

稳定性是四足机器人步态生成的重要依据。将穿过立足点和机器人重心投影的直线设计为边界线，由2条边界线所形成的位于两立足点一侧的区域设为静态稳定区域(SSA)，根据SSA选择腿的摆动顺序。将四足机器人的前进方向和地面坐标系x轴之间的夹角定义为方向角ψ，四足机器人沿直线行走时，默认ψ=90°. 四足机器人的启动步态如图3(a)所示，机器人重心向前平移S/2，重心高度随之下降H，即机器人重心在一个步态周期中的升降高度。根据4条腿的静态稳定区域，选择腿3作为第1条摆动腿，当腿3在前进方向上跨出S距离时，机器人的位姿如图3(b)所示，腿3的立足点位置矢量可表示为OPA3=[Oxc-l0-m+Scosψ,Oyc-n+Ssinψ,OzA3]T，其中Oxc表示机体重心在x轴方向的坐标，Oyc表示机体重心在y轴方向的坐标，OzA3为腿3立足点在z轴方向的坐标。机器人机体的重心在地面坐标系投影的位置矢量可表示为OPc=[Oxc+S/2cosψ,Oyc+S/2sinψ,Ozc-H]T，其中Ozc表示表示机体重心在z轴方向的坐标。

图3 机器人直行位姿变化分解图Fig.3 Exploded views of robot’s straight walking gait

结合腿3立足点的位置，得到新的静态稳定区域，此时只能选择腿1作为摆动腿。腿1在前进方向移动S距离后，机器人的位姿如图3(c)所示。此时腿1的立足点位置矢量可表示为OPA4=[Oxc+l0+m+Scosψ,Oyc-n+Ssinψ,OzA4]T，OzA4为腿4立足点在z轴方向的坐标，机器人机体的重心位置不变。

腿1摆动后，根据此时的静态稳定区域，只能选择腿4作为下一条摆动腿，腿4在前进方向上移动S距离后，机器人的位姿如图3(d)所示。此时腿4的立足点位置矢量可表示为OPA1=[Oxc-l0-m+Scosψ,Oyc+n+Ssinψ,OzA1]T，OzA1为腿1立足点在z轴方向的坐标，机器人机体的重心位置不变。

最后，腿2在前进方向移动S距离后机器人的位姿如图3(e)所示。此时腿2的立足点位置矢量可表示为：OPA2=[Oxc+l0+m+Scosψ,Oyc-n+Ssinψ,OzA2]T，其中OzA2为腿2立足点在z轴方向的坐标，机器人机体的重心位置不变。

4条腿分别完成跨步后，机器人重心向前平移S/2，重心高度恢复到初始位置，机器人就完成了一个步态周期的运动，进入下一个步态周期的初始状态，如图3(f)所示。机体重心在地面坐标系投影的位置矢量变为OPc=[Oxc+Scosψ,Oyc+Ssinψ,Ozc]T。机器人直行时的三维位姿图如图4所示。

图4 机器人直行时的三维位姿图Fig.4 Three-dimensional diagram of robot’s straight gait

2.2 定点转向步态规划

刚性结构的四足机器人受机体长度的制约，存在转弯半径大的缺陷。脊柱关节水平方向的侧摆可以有效减少机器人在定点转向过程中的转弯半径，具有更好的机动性。根据脊柱关节的结构特点，本文设计一种新的定点转向步态。

图5 机器人定点转向时的位姿变化分解图Fig.5 Exploded views of robot’s stationary turning gait

首先，机器人立足点位置保持不变，机器人重心向前平移S，重心高度随之下降H，如图5(a)所示。根据静态平衡区域选择腿1作为第1条摆动腿，在腿1抬起向前摆动S距离的同时，腿2足端A2点位置保持不变，驱动髋关节B2，带动前半部分机体绕M1点顺时针旋转角度λ，使A2B2在地面坐标系的水平投影长度恢复到初始长度l0，同时前半部分机体重心恢复到初始高度，此时足端位置如图5(b)所示。根据新的静态平衡区域，选择腿3作为下一条摆动腿，令腿3足端A3点在x轴方向移动2S距离，如图5(c)所示。接下来，腿3足端A3点位置不变，选择腿4作为摆动腿，在腿4向前摆动S距离的同时，驱动髋关节B3带动后半部分机体绕M1点逆时针旋转角度λ，重心恢复到初始高度，如图5(d)所示。最后，依次调整腿2和腿3的足端位置，机器人便完成了一个定点转向步态周期运动，并进入下一个步态周期的初始状态，如图5(e)和图5(f)所示。机器人定点转向时的三维位姿图如图6所示。

图6 机器人定点转向时的三维位姿图Fig.6 Three-dimensional diagram of robot’s stationary turning gait

2.3 爬楼梯步态规划

刚性结构四足机器人在爬楼梯时，通常采用机体与水平面平行或者与楼梯斜面平行两种姿态。当机体采用与水平面平行的姿态爬楼梯时，前腿的运动空间小，容易导致前腿与台阶产生干涉而无法完成跨越台阶动作。当机体采用与楼梯斜面平行的姿态爬楼梯时，整体重心后移，导致机器人容易发生倾覆。具有2自由度脊柱关节的四足机器人可以有效地克服以上缺点，即通过驱动脊柱关节使机器人的前半部分机体做仰首动作，使前腿获得更大的运动空间，同时后半部分机体保持与水平面平行，避免了整体重心后移，使机器人具有更高的稳定性。

四足机器人的爬楼梯步态规划方法与直行步态相似，足端高度和重心高度随步态周期改变。设台阶高度为ht、宽度为bt，4条腿依次完成一次跨步后，机体向前移动的距离为S，前腿迈上第1层台阶。脊柱关节抬升角度为η，前半部分机体重心高度为h0+ht+nsinη/2. 4条腿依次完成第2次跨步后，机体向前移动的距离为2S，前腿迈上第2层台阶，脊柱关节抬升角度为2η，前半部分机体重心高度为h0+2ht+nsin(2η)/2. 4条腿依次完成第3次跨步后，机体向前移动的距离为3S，前腿迈上第3层台阶，脊柱关节抬升角度为3η，前半部分机体重心高度为h0+3ht+nsin(3η)/2，后半部分机体重心高度为h0+ht. 4条腿迈上第c层台阶的位置矢量可表示为

(6)

机体的整体重心在地面坐标系投影的位置矢量随机体仰首角度的变化规律为OPc=[(Oxc1cos(ηg)-Oxc2)/2,Oyc]T。其中：Oxc1为前半部分机体重心在x轴方向的坐标，Oxc2为后半部分机体在x轴方向的坐标，ηg为脊柱关节第g次仰首的角度值。机器人爬楼梯时的三维位姿图如图7所示，机器人爬楼梯位姿的俯视图如图8所示。

图7 爬楼梯步态三维位姿图Fig.7 Three-dimensional diagrams of stair climbing gait

图8 爬楼梯步态位姿的俯视图Fig.8 Top views of stair climbing gait

3 四足机器人稳定性分析

机器人从平衡状态至失稳状态的余量称之为稳定裕度。对于行走时的四足步行机器人，任何时刻至少需要有3条腿支撑机体，并且由3条腿立足点所构成的交替变化三角区域必须包围机器人重心的垂直投影点。本文将机器人重心的垂直投影点到其立足点所构成的三角形各边最小距离dmin作为判定稳定性的依据，称为稳定裕度。

与直行步态相比，定点转向步态和爬楼梯步态更容易使四足机器人发生侧翻和失衡，因此本节将对四足机器人定点转向步态和爬楼梯步态的稳定裕度进行计算。假设机器人重心和立足点在地面参考坐标系Oxy平面内的投影分别是Oc(xc,yc)和OAi(xi,yi)，重心的垂直投影点到立足点所构成的三角形三边距离可表示为

(7)

式中：a1=y2-y1；b1=x1-x2；c1=x2y1-x1y2；a2=y3-y1；b2=x1-x3；c2=x3y1-x1y3；a3=y3-y2；b3=x2-x3；c3=x3y2-x2y3. 从而稳定裕度表示为

dmin=min{d1,d2,d3}.

(8)

3.1 最大步幅

最大步幅Smax是指在一个步态周期中机器人机体可能达到的最大步幅。因此，当机器人的1条腿达到伸展极限时，机器人就实现了其步幅的最大化。

(9)

四足机器人摆动腿的摆动角度φi≥-65°，因此φi必须满足以下方程：

(10)

Smax=max{S1,S2}.

(11)

3.2 最大转角

(12)

机器人的步幅是影响转动角的重要因素。机器人步幅大小受机体结构和静态稳定区域的限制，因此要想使机器人达到最大转动角，转向步幅Sp必须满足以下条件：

式中：h-1为机体在Bi点z轴负方向的高度。

综合以上5个约束条件，可以求得最大转向步幅Sp：

Sp=max{S1,S2,S3,S4,S5}.

(13)

最大转向步幅Sp代入(12)式，可求得机器人的最大转角λmax. 结合(7)式、(8)式与机体的瞬时重心位置，可求得机器人在一个步态周期中的瞬时稳定裕度。

4 四足机器人仿真与试验

4.1 四足机器人的运动学模型仿真

经MATLAB软件编程计算，通过(3)式～(5)式可求得如图9所示髋关节Bi点高度的变化规律、支撑腿投影在地面坐标系z轴方向的长度变化规律、机体重心高度变化规律、髋关节旋转角度关系、摆动腿的足端运动轨迹。从图9(a)中可以看出，支撑腿髋关节的姿态角(绕x轴的转动角度α和绕z轴的转动角度γ)与髋关节的高度变化关系为光滑曲面，因此当2个姿态角的关系确定时，可以得到髋关节的高度变化规律。从图9(b)中可以看出，支撑腿髋关节姿态角与腿在y轴方向投影长度的关系为不确定的非线性关系。从图9(c)可以看出，存在一组确定的髋关节姿态角，使得支撑腿的髋关节在确定的Oxz平面内运动。图9(d)为摆动腿的足端轨迹曲线，从中可以看出腿部能够完成连续平稳的跨越动作。以上机器人运动学模型的仿真结果为后续机器人的步态规划和稳定性分析提供了理论基础。

4.2 四足机器人的步态规划仿真

根据步态规划结果，设定机器人的步态参数如下：步幅S=200 mm，占地系数β=0.75，步态周期为12 s. 基于机器人运动学的计算结果，结合步态规划方法和稳定裕度计算公式，运用MATLAB软件仿真，可求得四足机器人的重心高度变化曲线和稳定裕度变化曲线如图10和图11所示。

图10 直行步态和定点转向步态时机体的重心高度变化曲线Fig.10 Barycenter height curves of straight walking gait and steady turning gait

从图10(a)中可以看出，机器人直行步态中，机体重心在步态启动时下降，步态完成时恢复到初始高度。从图10(b)中可以看出，机器人定点转向步态中，机体重心在步态启动时下降，前后两部分机体在分别完成转向动作后，机体重心先后恢复到初始高度，其中黑色曲线为两部分机体的重心轨迹重合部分。从图11(a)中可以看出，机器人在定点转向过程中稳定裕度在零值附近连续波动，这是因为机体转向过程中，机体的重心位置总是在支撑对角线附近调整。从图11(b)中可以看出，机器人爬楼梯过程中，机体的稳定裕度一直大于0 mm，表明机器人具有较好的稳定性，仅在机体完成仰首动作时，稳定裕度存在波动。

通过以上步态仿真，验证了该四足机器人可以同过重心调整的方式，实现直线行走和灵活转向，证明了步态规划方法的有效性和可行性。

4.3 平面直行和定点转向步态试验

四足机器人所需各个部件及传感器元件的名称、型号等硬件信息如表1所示。机器人样机总长1.3 m，质量46 kg，垂直站立高度0.9 m.

图11 定点转向和爬楼梯时步态的稳定裕度变化曲线Fig.11 Stability margin curves of straight walking gait and steady turning gait

表1 四足机器人的硬件信息

髋关节处的2-RUPR-UR并联机构通过UMAC运动控制卡控制伺服电机运动，利用Turbo PMAC软件实现上位机和下位机的通信，传感器通过MAHRS软件监测和记录姿态角。

通过对四足机器人进行多次试验和姿态调整，实现了其在静态稳定区域内的稳定行走，如图12所示。在直行过程中，测得四足机器人姿态的欧拉角，包括俯仰角θ、侧摆角φ和方向角ψ，如图13所示。从图13中可以看出，四足机器人的俯仰角θ和侧摆角φ变化范围几乎不超过1°，方向角ψ变化范围不超过4°，表现出了良好的行进保持能力，能够顺利完成直行步态。

图12 直行试验Fig.12 Straight walking test

图13 四足机器人的姿态参数Fig.13 Attitude parameters of quadruped robot

通过对四足机器人进行多次试验和转向步幅调整，结果表明脊柱四足机器人能够在脊柱结构辅助下顺利完成原地转向运动，如图14所示。测得脊柱关节转动角度变化曲线如图15所示，可见其最大转角约为30°，与最大转角的计算结果基本吻合，表明步态规划的正确性，同时验证了脊柱关节在定点转向步态中的可行性与有效性。测得机器人前后两部分机体的重心高度变化曲线，如图16所示，其结果与步态仿真结果基本吻合，验证了步态规划方法的正确性。

图14 定点转向试验Fig.14 Steady turning test

图15 脊柱关节侧摆角度变化曲线Fig.15 Curve of sideslip angle of spine joint

图16 机器人重心高度变化曲线Fig.16 Barycenter height curve of quadruped robot

通过对四足机器人进行爬楼梯试验，并进行姿态调整，实现了其在高度5 cm、宽度25 cm的台阶上稳定行走，如图17所示。试验中在不启动腰关节的俯仰功能时，机器人在爬楼梯时重心后移，发生倾覆；启动腰关节后，机器人可以顺利爬上楼梯，表明腰关节可以有效地提高机器人爬楼梯的稳定性。测得机器人的脊柱关节俯仰角度变化曲线以及重心高度变化曲线，分别如图18和图19所示。从图18和图19中可以看出，随着脊柱关节俯仰角的变化，前半部分机体在迈上台阶时，后半部分机体重心高度可以保持稳定，从而有效提高了机器人爬楼梯的稳定性。

图17 爬楼梯试验Fig.17 Stair climbing test

图18 脊柱关节俯仰角变化曲线Fig.18 Curve of pitch angle of spine joint

图19 机器人重心高度变化曲线Fig.19 Barycenter height curves of robot

5 结论

本文设计了一种全新的以2-RUPR-UR自由度球面并联机构作为髋关节的四足步行机器人，并对其进行了运动学分析、步态规划和试验研究。得出主要结论如下：

1) 通过对四足机器人进行运动学建模和数值模拟，验证了机器人结构的可行性和准确性，表明该机器人结构紧凑、控制灵活。

2) 通过对机器人步态规划方法进行稳定性计算分析，验证了所提直行步态、定点转向步态和爬楼梯步态规划方法的可靠性。

3) 通过样机试验进一步验证了步态规划方法的有效性和可行性。