经济学中的数学模型应用及问题分析思考

刘悦彤 昌平第一中学

序言：经济学与数学是相辅相成的。数学是经济学的基础，可以说没有数学就没有精确计量的经济学。经济学是数学在生活中应用的一个分支。实际上，数学对人类生活的作用是间接的，它通过和其他学科的融合对人类起指导作用。数学对推动经济学学科的发展具有关键的作用，经济学中很多模型都依赖于数学的推导。经济学中的许多理念都是由数学确立起来的，相关人员以数学语言来建构经济学的概念，使得经济学的相关概念具有了数学特征。

经济学中，大量的概念通过数学来定义，并且用到了函数、微积分等数学概念。人们可以利用数学这一不可或缺的工具将一些复杂的问题简单化，可以快速、高效地解决经济领域的问题[1]。本文的第二部分探讨经济学与数学的联系；第三部分从微观与宏观经济学视角阐述三个经济学中的数学模型。

一、经济学与数学

（一）数学让经济学更长远有利的发展

数学是一门基础学科，它研究的是数量、结构、变化、空间以及信息的一门学科[2]。它蕴含在生活中，生活的方方面面都离不开数学，它始终贯穿于人类社会的生产生活中，有着不可或缺的地位。数学是一个必不可少的基本工具，指导我们更好的发现问题，解决问题。给问题带来了一个理论化的解释，并可以加以推广，解决同类问题，也可以上升到一个更广泛的概念或者是数学思维，这会给我们的经济生活带来一种质的飞跃。以数学为基础的物理化学等学科，让人类社会爆发了工业革命等技术革命，使人类在近二百年的发展成果远超人类历史发展的总和。以数学为基础的经济学，让商业、金融、借贷、货币等传统上不知其所以然的概念有了新的诠释，使人类认识到了经济学的力量。而不是避而不谈，甚至蔑视不懈。所以，数学是经济学的基础，没有数学，就没有今天的经济学。

（二）经济学让数学有了生活中的实际意义

经济是价值的创造、转化与实现，生产是基础，消费是最终结果[3]。亚当·斯密提出过经济人假设，从个人来说，会出现追求物质利益的现象。从社会层面来说，社会同样也为了追求社会利益，包括资源的合理配置，不同层面都会出现利益问题，那么在这些利益背后就是一个个数学问题。数学上的博弈论和纳什均衡等等应用于经济生活，使得数学学科生动形象。

二、经济学中的数学模型分析

经济学中的数学问题本质上是函数问题：函数是一种对应法则。它就是将经济问题更数字化的变为数学问题。当然，不仅可以通过数学函数来运算，也可以转化为图像问题，图像可以更清晰明了的帮助我们发现经济的规律或者最值等问题，反映更多的经济原理，图像的走势也可以来判断经济的发展趋势。

（一）帕累托原理

帕累托原理是经济学中常见的模型之一，探讨关于经济效率和收入分配的问题；纳什均衡理论奠定了现代主流博弈理论和经济理论的根本基础；凯恩斯宏观经济理论奠定了宏观经济学在经济学领域的主导地位。本文选择这三个经典的经济学原理，从微观到宏观，探讨经济学原理的数学模型的应用及对这些问题的分析思考。

在经济学中，对于某个经济分配结果，如果我们已无法使某些个体的状况变得更好的同时、而又不损害其他个体的利益，那么这个经济结果是帕累托最优的。如果没有达到帕累托最优，那么就存在一种新的分配方式，使得这种改进方式从经济学角度上，不会遭到任何人的反对，因为所有人的个人利益并没有受损。帕累托最优就像分蛋糕，当蛋糕并没有变大而且已经分完时，任何其他切分方式，不可能使得一些人的蛋糕变大，而其他人还不会变小。帕累托最优是“不可能再增加特定人群的利益，而不损害其他人的利益”的一个平衡点[4]。帕累托原理是经济学中常常用到的一个模型。在经济学、工程学和社会科学中有着广泛的应用。

因为经济的不确定性，所以用数学中的不等式来比较最优方法去取得最大利益。在数学上，我们假设一个可能的分配集合X中选择一个分配x∈X，使得社会中n个参与人的效用向量u(x)=(u1(x)，u2(x)，…，un(x) )是帕累托最优。那么，令∑iaiui(x)为各参与人在权重向量α=(α1，α2，…，αn)下的效用加权，该加权可视为一个简单的社会福利函数。也就是说，追求的是∑iaiui(x)的最大值，同时还要保证每个人的效用向量ui(x)并不会变小。

如果分配x0∈X可以最大程度上增大某个严格权重(α＞0)下参与人的效用加权，那么x0就是帕累托有效的。反过来，在一定条件下，每一个帕累托最优的分配都最大程度上增大社会参与人在某个权重下的加权效用，这种结果可以理解为对帕累托边界的一种描述。

将效用向量加权后的值作为数学中的因变量，那么帕累托最优解就是使用数学方法，找出一组自变量x，使得因变量的值最大。这样的分配方式，使得整体效益最高。

运用帕累托改进能够解放社会发展的束缚，优化生产分配结构，使全社会的总体效益增加。比如，在公办医院之外运行私营医院的开办，这样既保证了全民依然可以享受低价医疗等普惠性政策，又允许高收入者可以自由选择服务更好的私营医院，和收费高一些的专家挂号。再比如，当前某些教育资源匮乏的地区，引进名校的课堂录播视频等，通过互联网远程享受名校名师的优良教育，这对名校的教育资源没有损害，但是又同时提高了偏远地区的教育资源水平。这些就是帕累托改进，没有损害任何人的现实利益，但是改善了其他人群的状况。

（二）纳什均衡

纳什均衡是一种策略的组合方式，这个组合方式体现的是一种重要的思维逻辑，它是数学范畴下的博弈论的灵魂，融入到了生活中的方方面面。

纳什均衡中有一个典型的例子。如果有两个盗贼甲乙共同犯罪，被警察抓住，将他们两个分开审问，双方都可以选择招供或者抗拒。

图3-1 囚徒困境

如图3-1所示，甲有两种选择，乙也有两种选择，他们双方的选择组合起来，就会有不同的结果。如果甲招供，乙也招供，他们坦白从宽，双方会被判刑四年（图中(-4，-4)所示；前者表示甲判刑四年，后者表示乙被判刑四年，下同）。如果甲不招供乙也选择抗拒，警察没有完全的证据，甲乙二人就会获得较轻的刑罚一年。如果甲乙中有一人招供，而另外一人不承认罪行，那么不招供的那个人会被判刑5年，而招供的人不会被判刑。从甲乙双方的立场上，他们都希望自己被轻罪处罚甚至无罪释放，所以双方都抵赖是对他俩整体而言最好的结果。

甲乙分开审问，互相不知道对方的供词。如果自己抵抗而对方承认，那么自己面临最严重的刑罚被判刑5年。比如从甲的角度考虑，甲若招供，甲在乙抗拒的情况下被无罪释放，或者在乙招供的情况判刑四年。但如果甲不招供，甲在乙抗拒的情况下被判一年，或者在乙招供的情况下判刑五年。综合来看，不管乙如何选择，甲选择坦白，都是对甲最有利的方式。同理，乙也是面临同样的状况。那么在没有互信的情况下，甲乙两个人从自己利益出发，都选择坦白，那么他们各被判刑四年。但是实际上，两个人若都选择抵抗，则仅被判刑一年，这个比两个人均获刑四年更有利。

在没有商量没有互信时，两个人做出了均获刑四年的选择，而不是均获刑一年。这恰恰和他们想减轻惩罚的初衷背道而驰。所以，这个数学模型，在经济学上又称作囚徒困境。

这个例子也告诉我们在纳什均衡中，绝对理性人从自身利益出发，选择对自己有利的一种选择，但是可能并不是最优解。从长远来看，从社会整体来看，个人的最佳选择不一定对社会总体带来最佳结果。

为了避免陷入囚徒困境，只需要甲乙两个人事先沟通，增加对彼此的充分信任，设置违背承诺的处罚等，将均衡博弈引入良性方面。在经济生活中为了达到更加有利的均衡点，可以通过宏观调控、政策引导、政府监督等，将市场中的不确定性带来的损失减小，从而带来更多的利益，免于陷入囚徒困境。这是数学的博弈论模型给经济生活带来的解决方法。

（三）凯恩斯理论

著名经济学家凯恩斯，曾经提出宏观经济学理论。该理论的主要方面是研究一个国家或地区的宏观经济总量之间的关系。因为宏观经济理论常常被用来指导政府针对有关就业、国民收入问题做出相应的政策，因此也被称就业理论或收入理论。这一经济学理论可以简要地用两个数学等式来阐述：

国民收入恒等式：

消费函数：

其中，Y表示收入，C表示消费，I表示私人投资，G表示政府支出，参数α表示维持生存的最低消费，参数β表示边际消费倾向。若我们用国民收入恒等式减去消费函数，整理后求偏导，可以得到政府支出的乘数效应（GDP的数目和政府增加公共开支数目的倍数关系）：

凯恩斯理论的基本思想可以用上述两个或三个数学等式来表述。

从凯恩斯理论可以得出，如果财富过分集中在少数人手中，就会降低社会消费倾向，不利于国家的经济发展。为了促进消费，结合我国国情及经济活动的状态，我国采用适当提高累进个人所得税的起征点，努力减少中低收入人群的个人所得税，从而提高居民可支配收入，提高了全民的消费意识，有利于经济的发展。由此看来，凯恩斯理论的应用对中国有良好的影响。

三、结语

数学能够既精确又简洁地刻画经济理论中最重要的本质。经济学研究的是整个社会层面的现象，着重于提高社会整体效率，改善全人类的生活水平。运用经济学的规律，可以更好的达到人类命运共同体的美好前景。这一切使得数学不是抽象的哲学，而是实实在在从生活中来到生活中去的学科。

本文通过简单分析帕累托最优模型、凯恩斯理论模型、纳什均衡模型，指出了数学模型在经济学中的重要作用。当然，也不能陷入对数学盲目崇拜的困境，否则会形成数学化倾向，经济学也将最终失去其宽厚的社会基础[5]。