面向论文阅读与写作的张量分析教学改革研究

张志镇 程红梅 罗宁 王建国 高峰

[摘 要]课题组针对张量分析教学中存在的问题，分析了其发展历程、教学动机与教学目标，指出科学文献的阅读与写作是张量分析教学的主要目的，也是学生学习的核心诉求。基于此，课题组以高水平论文阅读与写作为主要抓手，将其和课程教学有机结合，构建了张量分析教学改革总体实施方案，包括六个方面：教学内容优化、教学方法改革、论文阅读研讨专题、论文写作实践、张量应用能力考核和教学效果评价。这六个方面贯穿于整个课程教学的始终，形成了张量分析一体化全方位教学实践体系，具有深远的实践意义与较高的推广价值。

[关键词]张量分析;教学改革;论文阅读;论文写作;改革方案

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）09-0053-03

张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数，这些线性关系有内积、外积、线性映射以及笛卡儿积等。自然界中绝大多数物理量和力学量都可以用张量表示，所以张量分析在物理学和工程学中非常重要，例如广义相对论完全用张量语言描述;工程中应力和应变都是二阶张量，弹性材料本构关系由一个四阶弹性张量来决定等[1]。张量分析作为连续介质研究的基本数学方法，在力学、物理学、土木工程、计算机科学、材料科学、地球科学等学科中具有广泛的应用背景[2]。

目前，在各高校工程类高年级本科生的数学力学相关课程中，都或多或少地涉及张量分析内容[3]。在我校，工程力学专业本科生弹性力学课程中会涉及笛卡尔张量的内容，一般是结合相关弹性力学方程进行对照讲解;在研究生教学中，张量分析是力学类（一般力学、固体力学、流体力学、工程力学）、土木类（岩土工程、结构工程、桥隧工程、防灾减灾等）等专业研究生的基础必修课。此外，矿业工程、矿产普查与勘探、安全科学与工程、材料科学与工程等专业也有不少研究生选修，每年于秋季学期上课，教学时数为30学时[4]。

但在多年授课过程中发现，学生对此门课程的学习积极性不高，学习效果不好，这主要是由于两方面的原因，一是张量分析课程本身十分枯燥，所需数学知识较多，学生学习起来有一定的难度，二是学生刚刚进入研究生阶段学习，对自己所研究领域尚不熟悉，也不清楚本课程对自己研究课题是否有帮助，导致学习意愿不强，积极性不高，只是想达到不挂科的目的。鉴于此，笔者结合学生实际需求，对张量分析课程教学开展了系统的改革方案与内容实践，使学生学习效果得到了很大改善。

一、论文阅读与写作是张量分析教学的主要目的

（一）张量分析的发展历程

张量分析最早可追溯至德国数学家高斯所创立的微分几何、格拉斯曼的超复数理论等。19世纪50年代后，黎曼、贝尔特拉米、克里斯托费尔和李普希茨等人建立并发展了微分不变量理论，为张量分析提供了基础。19世纪末，“张量”概念由意大利数学家里奇在《絕对微分几何》中引入，并随着他的学生列维-齐维塔的经典文章《绝对微分》被广泛知晓，他们基本建构了张量分析的理论框架。

1916年是一个大的转折点，爱因斯坦从他苏黎世联邦理工学院的同学马塞尔-格罗斯曼那里学习了很多张量语言，以张量分析和黎曼几何作为数学工具，用数学不变式表达了广义相对论，获得了巨大成功[5]，极大促进了张量分析的发展。此后，张量分析被广泛而深入地应用于理性力学等科学领域，取得了空前成就。

（二）为什么要学张量分析

自然界中客观存在的物理和力学量，绝大多数都可以视为张量。例如，时间、尺度、密度、温度等是零阶张量，也称为标量;力、速度、加速度、电磁场等是一阶张量，也称矢量;连续介质力学中的应力、应变、转动惯量等，则是二阶张量;而材料的弹性本构关系，则可由一个四阶张量来表征。总之，张量普遍而广泛存在，尤其是二阶或二阶以上的张量往往包含在诸多复杂物理力学系统中。

要不断地推进科学和技术的进步，需要更加精细地研究自然界中的复杂物理力学现象，揭示其中的规律，获得高品质的产品，在这一系列研究过程中，张量分析已经成为有力的工具。而作为知识媒介的书籍、论文、报告等科学文献中，张量也已经成为必不可少的基本语言，缺乏张量分析的手段，许多先进材料本构方程的研究和建立，以及工程结构与过程的推演与计算，都会举步维艰。笔者随机统计了SCI数据库中近20年百余篇力学类理论分析论文，发现越来越多的力学类文献和教材都采用张量符号书写，近年已达93%，如图1所示[4]。

作为高年级本科生，尤其是研究生，要开展创新性课题训练，撰写学术论文，就需要阅读大量的科学文献，并且在前人的研究基础上构建新模型，推导新公式。如果不熟悉张量分析知识，在阅读相关研究文献时就困难重重，更别提在此基础上开展创新研究了。因此，张量概念和张量分析方法已经成为工程科技工作者必须掌握的数学工具。

（三）学习的主要目标是什么

从上述分析可以得出，张量分析更大程度上是一个工具，帮助我们阅读文献、开展创新研究。清华大学郑泉水教授对于张量分析课程的学习目标主要分为如下三个层次：（1）学习为阅读大部分现代研究文献所需的张量分析基本知识;（2）初步能将张量分析作为方便的、有力的研究工具，并应用于自己的研究课题中;（3）对张量分析有较深入的理解，可以灵活应用，对现代张量函数理论和微分几何有初步的了解。

综上所述，科学论文的阅读与写作是张量分析教学的主要目的，因此，以高水平论文阅读与写作为主要抓手，将其和课程教学有机结合，以课程教学带动论文阅读写作，以论文阅读写作促进课程教学，将会极大提高教学成效。

二、面向论文阅读与写作的张量分析教学改革方案

基于以上分析，为切实提高研究生利用张量理论开展科学研究的能力，提出了以高水平论文阅读与写作为主要抓手的教学改革构想[4]，并进一步构建了总体实施方案，如图2所示。

（一）教学内容优化

将张量理论、工程科学问题和高水平论文有机结合，根据学生所在学科分布，从SCI数据库中遴选各研究方向高水平论文，剖析论文理论推导中张量分析的运用，将其与课程知识一一对应，构建“张量论文阅读研讨案例库”;遴选难度适中的典型科学问题，利用张量知识开展力学建模和公式推导，构建由命题式到开放式的“张量论文写作实践案例库”;增加工程实际图片、视频以及制作精美的三维彩图、动画等，吸引学生注意力的同时，使教学内容更加形象生动。总之，把张量分析课程知识教学与知识应用充分糅和，以知识应用刺激知识教学，以知识教学促进知识应用，可以形成一种新的“实战教学模式”。例如，基于瓦斯渗流问题，选择论文“Liu Jishan， Wang Jianguo， Chen Zhongwei， Wang Shugang， Elsworth Derek and Jiang Yaodong （2011）Impact of transition from local swelling to macro swelling on the evolution of coal permeability. International Journal of Coal Geology， 88（1）： 31-40.”開展针对性分析，讲解梯度、旋度、散度的概念及应用。

（二）教学方法改革

改革以课堂讲授为主要手段的教学方法，以精心筛选的高水平论文为主要线索，以培养张量理论运用能力为中心，开展案例教学、研讨教学、课堂讨论等多种形式的教学，着重采用启发式和互动式教学，以推动学生自主学习，提高学生学习的主动性和积极性。

（三）论文阅读研讨专题

在课程开始时就把学生分成若干个研究型学习小组，每组3～5人，开展论文阅读专题研讨。从“张量论文阅读研讨案例库”中选题，以《论文阅读研讨专题指南》的形式布置下去。重点的针对性训练有以下内容：工程问题的张量描述（问题认知）;利用张量理论构建力学模型（张量建模）;理论模型的推导与分析（张量推导）;撰写分析报告等。

（四）论文写作实践

针对学生的研究方向，从“张量论文写作实践案例库”中遴选难度适中的典型科学问题，在学期末以《论文写作实践选题指南》的形式布置写作，作为课程重点考查内容，让学生利用张量知识开展力学建模和公式推导，可以在指南内开展命题式研究，也可以不受指南限制，进行开放式写作实践。

（五）张量应用能力考核

教学改革与创新活动必须实行一个较为公平的考核评价方法，并具有激励作用，这样才能保证绝大多数学生参与其中并且受益。张量应用能力的考核评价主要从相应的三个方面入手，即张量知识掌握水平、张量阅读理解能力、张量写作实践能力。考核成绩与平时出勤等一起作为课程成绩。

（六）教学效果评价

客观上，利用上课出勤率和课程成绩作为教学效果评价指标;主观上，通过与学生直接交流、发放无记名调查问卷等，获得教学效果的反馈与建议，完善面向论文阅读与写作的张量应用能力培养体系。

三、张量分析教学改革的实践意义及推广价值

（一）实践意义

第一，高水平论文阅读与写作是学生深入理解和应用张量概念及理论的必要过程。对于大部分学生来说，张量理论晦涩难懂，对论文中具体张量推导过程的细致剖析与研讨可以使学生加深对理论本质的理解，把握理论的核心要点，领会在应用中的关键、难点及存在的问题，方便学生进一步加强研究与分析的深度。

第二，高水平论文阅读与写作直接体现了张量分析课程的学习目标。越来越多的理论性论文采用张量书写运算，张量分析课程也应直面科学研究中具体问题的建模分析过程，以张量概念及理论为工具，从研读学科内高水平论文中进行理论推导，到利用张量记法及运算的优越性进行理论模型构建和论文写作，是张量分析课程的核心目标。

第三，高水平论文阅读研讨与写作实践契合研究生阶段核心诉求与培养目标，可激发学生的学习积极性与主动性，营造生机勃勃的教与学互动环境。

因此，构建张量论文阅读研讨和写作实践案例库及相关教学资源，对于推动教师研究型教学、学生研究型学习，提升教与学的效果，培养研究生利用张量分析进行科学研究的能力，都具有重要的意义。

（二）推广价值

面向高水平论文阅读与写作的张量分析课程案例库及相关教学资源的建设，在我校研究生张量分析课程的研究型教学中发挥了重要作用，任课教师可方便地开展论文阅读研讨与写作实践环节，提高学生学习兴趣，提升教学效果。

此教改方案的最大特点就是：在多学科视野下，将课程知识学习与研究生阶段核心诉求结合起来。从高水平论文写作切入，符合本课程的固有属性，符合学生的内在需求，符合学校“双一流”建设要求，符合教育部关于加强研究生课程建设意见，具有广泛的推广价值。未来可拓展至分形岩石力学、损伤与断裂、渗流力学等力学专业研究生课程，共同打造开放创新的力学类研究生基础课程研究型教学框架。

四、结束语

通过分析张量分析课程的教学动机与目标，构建了面向高水平论文阅读与写作的教学改革总体实施方案。紧紧抓住学生阅读论文理论部分的主要困难，构建由点及面的张量论文阅读研讨案例库，提升学生输入型张量知识应用能力;紧紧围绕学生开展论文理论研究的核心诉求，构建由命题式到开放式的张量论文写作实践案例库，提升学生输出型张量知识应用能力;重研讨重应用重联系，建立教学内容优化、教学方法改革、论文阅读研讨专题、论文写作实践、张量应用能力考核和教学效果评价的一体化全方位张量分析教学实践体系。该教改方案具有深远的实践意义与较高的推广价值。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 黄克智，薛明德，陆明万. 张量分析（第2版）[M]. 北京：清华大学出版社，2003.

[2] 彭乐生. 在力学教学中及早普及张量的建议[J]. 教材通讯，1985（2）：14-15.

[3] 陈新，左建平. 张量分析教学内容改革的研究与实践[J]. 科技创新导报，2016（9）：116-117.

[4] 张志镇，程红梅，邢燕，等. 《张量分析》课程教学趋势分析与改革构想[J]. 教育教学论坛，2018（47）：91-92.

[5] 黄勇，魏屹东. 从张量概念到张量分析[J]. 科学技术与辩证法，2008（3）：80-84.

[责任编辑：钟 岚]