对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用

2020-09-10 07:22杨龙田
数理化解题研究·初中版 2020年6期
关键词:解题技巧

杨龙田

摘 要:掌握对称式、交代式、齐次式、轮换式在七年级数学中的整式乘法、因式分解、分式中的应用技巧,使得解这类题更加简便.给出若干用对称式、交代式、齐次式、轮换式解不等式,意在锻炼思维.

关键词:对称式;交代式;齐次式;轮换式;初一数学;解题技巧

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2020)17-0005-03

一、基础概念说明

1.对称式

一个n元代数式如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,那么,就称这个代数式为n元对称式,简称对称式.例如:

x+y,xy,x+yxy,x2+y2+z2,xy+yz+zx都是对称式.

2.齐次式

一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r,那么称这个多项式为n元r次齐次多项式.例如,

含三個字母的三元一次齐对称式为:A(x+y+z);

含三个字母的三元二次齐对称式为:A(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx);

含三个字母的三元三次齐对称式为:

a(x3+y3+z3)+b(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y)+cxyz.

3.交代式(多见于因式分解)

一个n元代数式如果交换任意两个字母的位置后,代数式均改变符号,那么就称这个代数式为n元交代式.例如,

x-y,(x-y)(y-z)(z-x),x-yx+y均是交代式.

4.轮换式

一个多项式含有x、y、z,如果用x替换y,y替换z,z替换x,得到的代数式与原来的代数式还相等,那么称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式.显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式.例如,a(x2+y2+z2)是对称式也是轮换式;b(x2y+y2z+z2x)是轮换式,但不是对称式.

二、运用示例

对称式、交代式、齐次式、轮换式在初中数学中的应用主要是涉及整式乘法、因式分解、分式这三个模块.掌握对称式、交代式、齐次式、轮换式在七年级数学中的整式乘法、因式分解、分式,使得解这类题更加简便.在有关不等式中的应用属于较高要求.

1.在整式乘法中的运用

例1计算:a+b+c3.

分析 a+b+c3是一个三次齐次的对称式,则展开式是含字母a ,b ,c的三次齐次的对称式,其同型式的系数相等,可用待定系数法.

解 设(a+b+c)3=m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc(m、n、p是待定系数).

令a=1,b=0,c=0.比较左右两边系数得m=1;

令a=1,b=1,c=0比较左右两边系数得2m+2n=8;

令a=1,b=1,c=1比较左右两边系数得3m+6n+p=27.

点评 这道题如果使用整式乘法法则计算,会比较复杂,但是在掌握了齐次式的概念,就能知道该式子展开是什么类型,不能确定的就是系数,因此利用待定系数法,就可快速求得结果.

例2 计算(xy+yz+zx)(1x+1y+1z)-xyz(1x2+1y2+1z2).

分析 ∵(xy+yz+zx)(1x+1y+1z)是关于x,y,z的轮换式,在乘法展开时,只要用xy分别乘以1x,1y,1z连同它的同型式一齐写下.

解 原式=

(y+x+xyz)+

(z+x+xzy)+

(x+y+xyz)-(xyz+xzy+xyz)=2x+2y+2z.

点评 两个对称式(轮换式)的和,差,积,商(除式不为零),仍然是对称式(轮换式).

2.在因式分解中的运用

由前面的基本概念,类似于x-y,(x-y)(y-z)(z-x),

x-yx+y均是交代式.

基本规律:两个对称式(轮换式)的和,差,积,商(除式不为零),仍然是对称式(轮换式).故:轮换式的因式分解结果仍是轮换式,交代式的因式分解结果一般是交代式和轮换式的乘积.交代式一般仅在因式分解当中有所考察.

例3 分解因式:(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3.

分析 原式多项式是轮换式,则因式分解的结果还是一个轮换式.利用因式定理可发现,当a=b时,多项式值为零,因此,分解过后的式子肯定含有a-b,则同时含有b-c和c-a,这时候只要确定系数即可.

解 设(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=k(a-b)(b-c)(c-a),令a=2,b=1,c=a得k=3.故:(b-c)3+(c-a)3+(a-b)3=3(a-b)(b-c)(c-a).

点评 这道题关键点是运用因式定理,但是对称式、交代式、齐次式、轮换式的知识会在当中起到辅助的作用.另外,要注意的是,这道题分解的结果并不是简单的(a-b)(b-c)(c-a)相乘,前面还有系数.

变式 因式分解:a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

解 ∵当a=b时,a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=0,

∴有因式a-b及其同型式b-c,c-a.

∵原式是四次齐次轮换式,除以三次齐次轮换式(a-b)(b-c)(c-a),可得一次齐次的轮换式a+b+c.

用待定系数法:

得a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).

例4 因式分解:x3-y3.

分析 x3-y3是一个三次齐次交代式,则因式分解的结果是奇数个交代式与若干个对称式相乘.而利用因式定理可知,x3-y3因式分解的结果含有一个x-y,剩下的就是一个二次对称式了,设该二次对称式为m(x2+y2)=kxy,易知m=1,只要确定k即可.

解 设x3-y3=(x-y)(x2+kxy+y2),当x=1,y=-1时,解得k=1,故x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).

点评 x3-y3是一个交代式,则x3-y3的分解结果会含有交代式和轮换式,当x=y时,原代数式为0,故x3-y3含有因式x-y,这个刚好是交代式,剩下一个次数是2的轮换式.

例5 因式分解:x3+y3+z3-3xyz.

分析 x3+y3+z3-3xyz

是一个对称式,当x+y+z=0时,原式为0,故x3+y3+z3-3xyz因式分解含有x+y+z,而x3+y3+z3是一个三次齐次轮换式,则分解后剩下的部分是二次齐次轮换式,可设为:A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

解 x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx)],利用待定系数法求得A=1,B=-1.故x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).

点评 一次齐次的轮换式形如:A(x+y+z),二次齐次的轮换式形如:A(x2+y2+z2)+B(xy+yz+zx).

3.在分式中的运用

对称式、交代式、齐次式、轮换式在此模块中的核心解题技巧是:

(1)若含有x、y、z的代数式是对称式,则在解题中可设x≤y≤z;

(2)若含有x、y、z的代数式是轮换式,且x,y满足性质p,则x,z;y,z也满足性质p;

例6 已知a、b、c是互不相等的正整数时,求证:1-a+b+cabc≥0.

分析 1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.由于a+b+cabc是一个对称式,故设1≤a<b<c,当a=1,b=2,c=3取极端情况.这时即可证明1-a+b+cabc≥0.

解 1-a+b+cabc=

12-1ab+13-1ac+16

-1bc.设1≤a<b<c,则12-1ab≥0,13-1ac≥0,16-1bc≥0,则1-a+b+cabc≥0.

点评 这题关键点是在于明白

a+b+cabc是一个对称式,进而设1≤a<b<c,故对称式的相关概念及运用在此类题目解题过程中起到关键作用.

例7 已知实数a、b、c满足

abc=1,a+b+c=4,

aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1,求a2+b2-c2的值.

分析 题目当中出现的所有式子都是对称式,因此这道题解题过程中,必然对某种相似的部分做同种处理,例如若对aa2-3a-1

进行变形,必然要同时对bb2-3b-1、cc2-3c-1进行相同形式变形,三式综合,可得到某种结果.一般情况下,具体如何变形没有定论,还是要进行尝试.当了解对称式、交代式、齐次式、轮换式的基本概念和性质时,它能提供的方向就是某些相同部分使用同一种变形方式.

解 由题得:1a=-bc,a=4-b-c,对于aa2-3a-1=1

a-3-1a=1bc-b-c+1=1(b-1)(c-1).

类似的:bb2-3b-1=1(c-1)(a-1),cc2-3c-1=1(a-1)(b-1).

三式相加得:aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=1(b-1)(c-1)+1(c-1)(a-1)+1(a-1)(b-1)=a+b+c-3(a-1)(b-1)(c-1)=1(a-1)(b-1)(c-1)=1.

所以:(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1=1,得:ab+bc+ca=1,所以:a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=14.

點评 这道题难度大,对称式、交代式、齐次式、轮换式的存在提供了一个解题方向:对三个式子进行相同的处理.这就是对称式、交代式、齐次式、轮换式存在的意义.

例8 已知:1x+1y+z=12,1y+1z+x=13,1z+1x+y=14,求2x+3y+4z的值.

分析 这道题条件中的代数式是三个轮换式,而且条件是三个等式,这里处理的方式即是对三个等式进行相同的变化.

解 1x+1y+z=x+y+zx(y+z)=122x=y+zx+y+z.

类似的:3y=z+xx+y+z,4z=x+yx+y+z,三式相加得:2x+3y+4z=2.

点评 该题在解题过程中,条件中三个等式都进行了同种变化,变化时是在考虑如何凑出2x+3y+4z

,最后再将三个式子进行相加,即可得出最终结果.分式这块很多题都有这类特点.

例9 已知aba+b=115,bcb+c=117,cac+a=116,求abcab+bc+ac的值.

分析 典型的轮换式,对条件的三个式子同时取倒数即可.

解 由aba+b=115可得:a+bab=1a+1b=15,同理:1b+1c=17,1a

+1c=16.三式相加得:1a+1b+1c=24,故abcab+bc+ac=124.

点评 此题对于条件的变化方式还是相同:取倒数.变化后的式子依然是相加得到所需结果.

例10 设x、y、z是三个互不相等的数,且x+1y=y+1z=z+1x,则xyz=.

分析 条件是一个连等轮换式,一般这种式子的处理方式是:转化成x+1y=y+1z、x+1y=z+1x、y+1z=z+1x,对这三个式子进行同种变化,再把得到三个式子相乘或者相加.

解 由x+1y=y+1z得:zy=y-zx-y.类似的:zx=z-xy-z,xy=x-yz-x.

三式相乘得:x2y2z2=1,故xyz=±1.

点评&nbsp;此题条件是连等式,解决方式则是将连等式转化成三个等式.前提条件是准备认识到题目条件给出的是轮换式.难点在于三个等式的变化方式.因此,在理解“轮换式”的基础上,还是要进行一些尝试,才能得到最终的解题方式.

4.在有关不等式中的应用

例11 (2019高考数学全国1卷第23题[选修4-5:不等式选讲])已知a、b、c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

分析 第(1)問是一个明显的对称式,第二问是一个明显的轮换式.第一问只要将分子1换成abc,然后移项配方就可以做出来;第2问要用到均值不等式.

解 (1)abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2

a2+b2+c2-ab-ac-bc≥0

12[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]≥0,则原不等式成立.

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a)≥3·2ab·2bc·2ac=24.

点评 对称式、交代式、齐次式、轮换式给出了一些解题方向,第1问处理方式,第二问部分处理方式.但是重要的还是课内的基础知识,对称式、交代式、齐次式、轮换式能算得上“锦上添花”.第2问要用到均值不等式的延伸:a3+b3+c3≥3abc.

以上例题还存在片面性,对称式、交代式、齐次式、轮换式一般出现在竞赛相关的知识当中,学习这个可以锻炼思维,能够学会从不同角度解决问题,提升思维能力、解题能力.

参考文献:

[1]管皓,秦小林,饶永生等.动态数学数字资源开放平台的研究与设计[J].哈尔滨工业大学学报,2019,51(5):14-22.

[2]何苗,孙蓓蓓.识别动力减振镗杆主系统等效参数的数学计算方法[J].振动与冲击,2019,38(6):194-198,244.

[责任编辑:李 璟]

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