函数单调性在解题中的应用

王壮

【摘要】函数单调性是函数十分重要的性质，函数的单调性是解决函数问题中十分有力的工具.本文介绍了函数单调性在解题中的若干应用，其中包括应用函数单调性证明不等式、解不等式、比较大小、求最值、解方程、解决实际问题，和求参变量的取值范围等方面的问题.

【关键词】单调性;不等式;最值;方程

前言

在函数的众多性质中，函数单调性是最为关键的，不论是高考的趋势，还是新课标内容所提倡的数学理念.都对学生学习函数单调性提出比较高的层次要求，但是因为在函数函数单调性学习过程中函数单调性证明和应用是比较复杂的.这就使得学生在解题和学习过程中遇到了很多困难，所以这就要求学生要熟练掌握以及运用函数单调性的定义能够利用单调性解决各种问题，从而才能更好的应用单调性解决问题，而在其应用中又体现很多的数学思想，本文就函数单调性解决问题这一点进行了整理归类，将平时遇到的问题整理出来.

一、利用函数单调性证明不等式

想要利用函数单调性证明不等式，首先得构造出函数.那么就得对不等式进行变换. 通过移项不等式的一边变为0，那么另一边就是所构造出来的函数.设为函数则原式就变成了或等关系.即证明满足这种关系，就能证明原不等式成立.此时就用到了函数的单调性.对函数当中包含的符号进行具体分析，找出其中的特点，并且利用这些特点来制定具体的解决方法.这样才能确定函数的增减性，利用函数单调性，可以推出所需要的不等式关系，从而原不等式就得到了证明.

二、利用函数单调性解不等式

想要利用函数单调性解不等式.这类问题有时候不能直接利用原不等式来证明，这时就要对原式进行等价变换，构造出新的不等式关系，使问题变得简单.首先要利用函数本身的性质，对原不等式等价变换构造出新的不等式关系，然后接下来对新的不等式进行运算得出结果，有时这个结果就是要解的不等式的结果，但有的时候，还需要根据实际问题具体分析才能解除不等式.

解决这类问题，核心就是根据函数单调性进行等价变形之后再求解，那么如何进行等价变形呢？这就是需要注意的地方了.首先观察题中所给的各种已知条件，有的已知条件时直接给出来的而有的条件需要推导出来，所以这就要求学生熟练掌握式子的变形，并且能够灵活运用题中给的条件才能更好地解不等式.

三、利用函数单调性比较大小

想要利用函数单调性比较大小.这就需要学生对函数等等性有很深的理解，解决这种问题的基础是要能够正确的选择考察函数，可根据定量，也就是常量和变量.作为比较的依据想比较两个函数的大小.就得分清楚函数中两个量的位置，通常进行比较的是变量的大小从而比较函数的大小，这时就会利用到有特殊問题归纳出一般问题这一数学思想.所以这类问题的解决方法可以总结为想要解决一个特殊的问题，就要把它转化成一般的问题.这样特殊问题的解就比较明确了.

四、利用函数单调性求最值

所以解决这类问题，重要的是掌握函数单调性的定义.只有掌握了定义，才能够更好的运用定义来解决问题.但是单单掌握了定义是不够的，像本题中是很好的运用了定义，但是如果没有选择正确合适的赋值是远远不能够达到解题的要求的，所以说赋值法对于解决问题起到了至关重要的作用，能够正确的赋值才是解决问题的关键.

五、利用函数单调性解方程

利用函数单调性解方程，关键的是对原方程进行合理变形，其中包含着各种数学思想有构造函数思想，换元思想，通过方程两边式子的结构和特征来进行观察，然后构造出合适的方程使解题变得简单容易.这时构造法起到了很重要的作用，构造法可以让从另一个角度来思考问题，可以使原有隐晦不清的特性在新构造的对象清晰的展现出来达到解决数学问题的目的.

六、利用函数单调性解决实际问题

函数单调性在实际生活中的应用主要反映在极值（最值）上，如材料优化、资源整合、利润最大化路径选择等.首先把生活中实际问题抽象成对应的数学问题，并列出有关的函数关系式;其次求的导数，并解方程;再次把的两个端点和上一步中所求的所有极值点，放在一起比较它们函数值的大小，从而得出函数的最值;最后根据实际问题的定义给出答案.

结束语

本论文主要是讲述了利用函数的特性能解决哪些问题，并举出了具体的实例来说明在解决实际问题中的具体步骤，想要利用函数单调性解题，这样的问题是有规律和套路可寻的.例如不能从题目给的已知条件考虑问题，有时还需要根据题中给的条件证明问题去构造函数，使得问题的解决变得简单明了从而使问题轻易解决.从上面来讲，学生在高中函数单调性的学习，不光要学习单调性的定义，更重要的是能够利用单调性解决各种各类的数学问题，因此教师在教学中应该有意识的培养学生的综合运用能力.但是本论文由于受自己的专业能力和写作时间的限制，仍存在一些不足.我会继续努力为以后的教学做出更大的贡献.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M]北京：高等教育出版社，2011.

[2]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M]，北京：高等教育出版社，2012.