齿轮损伤诊断的非参数统计检验方法

徐九南 ， 姜 毅

（南昌工学院 新能源车辆学院，南昌 330108）

0 引言

分析和处理齿轮箱振动信号以判断齿轮运行状况，是目前齿轮状态检测和故障诊断的主要方法。研究者提出了多种振动信号处理方法以提取振动信号故障特征值[1-2]，如时域方法（时域特征值、时间序列等）、频域方法（频谱分析、细化谱、倒频谱）、时频域方法（小波分析、短时傅立叶变换等）。这些方法均具有各自的有效性和局限性。

采样后的齿轮振动离散信号可以认为是随机数据样本。正常齿轮的振动信号样本与破损齿轮的振动信号样本，其分布类型及分布参数是不一样的。比较之间的差异可以识别齿轮故障的出现和发展。非参数统计检验致力于解决理论分布类型未知时的估计与检验问题，方法简单易行、应用范围广、限制条件少、稳健性能好[3]。非参数统计检验方法在故障诊断领域已得到应用，如Stepančič M 等[4]采用非参数双样本Kolmogorov-Smirnov 检验，通过评估Nyquist 曲线上每个频率点的变化来检测燃料电池系内部条件的变化。对齿轮振动信号样本采取非参数统计检验方法，可以判断齿轮是否发生了损伤，乃至损伤的类型和程度。

已有研究者将非参数统计中的两样本K-S 检验方法用于回转机械的状态监控，通过分析和比较时域信号的概率分布函数，推出信号的相似程度，从而得出设备的运行状况。ANDRADE F A 等[5]直接利用K-S 检验处理齿轮的时域同步平均信号，以检测齿轮的疲劳破损，结果表明，它能有效地识别破损的出现和进展，方法简单可靠。KAR C 等[6]将K-S 检验应用于轴承故障的分类和诊断，K-S 检验的统计距离被证实优于诸如均值、峰度等其他统计参数。ZHAN Yimin 等[7]也采用了K-S 试验来判断变负荷情况下齿轮的破损情况。WANG Wenyi[8]用单样本K-S 检验方法分析齿轮振动信号与正态分布是否相似。王细洋等[9]对正常齿轮振动残余信号和待处理齿轮振动残余信号进行两样本K-S 检验，获得K-S 统计距离和相似概率，并将其作为齿轮破损特征指标量，结果有效但不稳定。侯澎等[10]利用KS 检验对齿轮和轴承故障进行分类，认为样本含有一定噪声时也能正确判断故障；在利用少量轴承时域故障数据样本建立多故障分类系统后，仅仅需要极短时间就能准确分类多种故障。Alex Reinhart[11]将两样本KS 检验应用于放射源监控，通过放射频谱K-S 检验结果的变化来感知放射线异常，并为此开发了检验工具算法；认为该方法结果有效、灵活并且简单。Drezner Z 等[12]将K-S 检验应用于计算处理中极频繁数据的检验和转换。杨元威等[13]利用K-S 检验搜索故障信号与正常信号的幅值分布差异区间，并提取差异区间内的幅值，作为特征向量，通过分析贡献最大的若干特征向量从而实现对断路器机械故障的诊断。

已提出的两样本非参数检验方法均针对于振动时域信号。时域信号受随机因素影响大，信号稍有变动就会使结果出现较大偏差。个体样本与总体样本的分布类型和参数可能会出现较大偏差。频域信号亦可认为是一系列随机信号组成的样本，能更好地反映总体分布特征。本研究将频域信号作为非参数统计检验对象，并与时域信号参数检测结果进行对比，以检测频域信号非参数统计检验方法的可行性和敏感性。

1 非参数统计检验方法

1.1 齿轮啮合振动信号

在齿轮箱上测试的振动信号包含齿轮啮合振动信号、轴和轴承振动信号，以及其他背景噪声。齿轮缺损引起的振动特征被其他信号淹没。时域同步平均法（Time synchronous averaging，TSA)将齿轮箱振动采样信号与待分析齿轮的转速同步，以消减其他齿轮的振动信号和外界噪声，从而获得对象齿轮的啮合振动信号。设x(t)为齿轮箱振动信号，对应的采样离散信号为xn=x(n∆t)(n=0,···,n−1)， ∆t为采样间隔。按轴转频f0提取相应的周期信号，即将 xn分为p 段，每段对应轴转周期T=1/f0，并设各段采样点数相等为N，则第n 段的时域同步平均信号可以表示为：

只有在齿轮故障的出现频率与齿轮转速同步时，时域同步平均法才会增强故障信号，而不是起抑制信号的相反作用。齿面磨损、破损及断齿属于此类故障。同一轴上有多对齿轮参加啮合，也不适合采用TSA 方法。本研究所针对的齿轮对象符合TSA 应用条件。

对于正常啮合的齿轮，齿轮啮合振动信号频谱只包含由低阶轴转频调制的齿轮啮合频率及其各次谐波。齿轮啮合振动信号可以表示为：

其中：m 为啮合谐振频率阶数，fx为齿轮啮合频率，Xm、ϕm分别为m 阶谐波频率的振幅和相位。振幅调制由函数1+am(t)给出，相位调制由函数bm(t)给出。当轮齿出现损坏，如断齿，在啮合振动信号中会产生脉冲信号，引起额外的频率调制和幅值调制，在频谱图中产生高阶边频带。

1.2 两样本非参数统计检验

两样本非参数统计检验是比较两随机样本的分布是否相似的非参数统计方法。齿轮故障会引起振动信号分布函数及参数的变化，因而可以将该方法用于振动信号分析，以判定2 个信号是否具有相同或相似的分布函数。两样本非参数检验方法有多种，如符号检验、Wilcoxon 两样本秩和检验、Mann-Whitney 检验、Mann-Whitney-Wilcoxon（MWW）、Kolmogorov-Smirnov(K-S)检验等[1]。其中，K-S 检验通过对2 个分布之间的差异的分析，判断样本的观察结果是否来自制定分布的总体。K-S 检验对样本位置参数和形状参数都很敏感，比较适合于判定2 个振动信号的比较。

设有分布函数为F(x)的待检随机样本和分布函数为R(x)的参考随机样本，检验假设：

2 个样本的经验分布函数分别为FN1(x)和 RN2(x)。定义检验统计量D：

其中， N1、 N2分别为待检样本和参考样本的样本容量。

设

给定显著性水平α， 选取λ 的值使得：

如果 D∗=， 则 H0假 设在显著性水平 α上被拒绝。相似概率p(D)可以根据方程（5）计算。

如果2 个振动信号是相似的（即具有相似的分布函数），则D→0，相似概率p(D)→1， H0假设在显著性水平 α上不能被拒绝。反之，则D 不趋于0，p(D)→0， H0假 设在显著性水平α 上被拒绝。

将K-S 检验统计量D 和相应的相似概率p(D)作为故障指标。具体过程如图1 所示。采集齿轮正常运行阶段TSA 信号 x0(∆t)，快速傅里叶变换后获得其频谱序列 X0(f)，将之作为对照样本。在齿轮全生命运行周期中，在任意时刻t 采集的TSA信号 xt(∆t) 频 谱 Xt(f)作为待检样本。作两样本KS 检验，获得频域检验统计量D、相似概率P 以及检验假设值H。

图 1 K-S 检验流程图Fig.1 Flow chart of K-S test

2 齿轮试验装置

单级齿轮变速箱试验台如图2 所示。主动轮为整体齿轮轴，齿数为21，被动轮齿数为70。齿轮箱由1750 r/min、4.5 kW 的交流电动机驱动，并带动作为负载的磁粉制动器。传动比为1:3.3，齿轮啮合频率为613 Hz。齿轮箱上布置了5 个加速度式振动传感器，布置在齿轮轴向的传感器对轮齿故障最为敏感，以它采样的数据作为分析对象。

图 2 齿轮箱故障诊断试验平台Fig.2 Gearbox fault diagnosis test rig

为了正确获得齿轮的时域同步平均信号，必须保证按特定整周期截取振动信号，并保证信号起始点相位相同。为此，在实验装置中安装一个脉冲信号发生器，与齿轮所在的轴联在一起。在测取振动信号的同时，记录转速同步脉冲信号（时标信号）。以时标信号间隔的整倍数（例如2 倍）来触发数据采集卡采集数据。

采样频率为20 kHz，每隔10 min 采样一次，每次采样10 s，经A/D 转换，按一定格式转换为数据文件存储在硬盘里。每个数据文件含200 000 个采样点。

对齿轮副进行全生命周期破损试验，至主动齿轮发生故障，2 个齿完全断裂和1 个齿部分断裂。总共采集了341 个数据文件。在记录数据文件250 时刻，检查齿轮状态，已发现部分轮齿磨损严重。

3 非参数检验结果分析

3.1 齿轮啮合振动信号

图3 为主动齿轮各运行阶段的振动时域同步平均信号及其频谱。主动齿轮啮合初期正常运行阶段的TSA 时域信号中明显看出21 个波峰或波谷，与齿轮的齿数一致，信号频谱由均匀的啮合频率分量组成，频率成分单一（图3a）。主动齿轮啮合微破损（齿面磨损）阶段的振动时域时域波形偏离正弦信号形状，频谱出现大的高次谐波分量（图3b）。振动幅值有一定的起伏，原因是非均匀磨损。主动齿轮轮齿出现断裂时的振动时域同步平均信号及其频谱进一步恶化（图3c）。

虽然可以从振动时域波形及其频谱中初步分析齿轮状况，但这依赖于经验，且不能以量化方式评估故障的出现和进展。

图 3 齿轮啮合振动信号及其频谱Fig.3 Waveform and spectrum of gear meshing vibration

3.2 齿轮啮合振动时域信号K-S 检验

以齿轮正常运行阶段所采集的TSA 信号，即从初始运行阶段0 号数据文件提取的TSA 信号，作为对照样本。在齿轮全生命运行周期中，将从不同时刻采集的各数据文件所提取的TSA 信号作为待检样本。作两样本K-S 检验，给定显著性水平α=0.05，计算出时域统计量D、相似概率P 以及检验假设值H，变化趋势如图4 所示。图4 中，横坐标为数据文件序号，代表了运行时刻。

图 4 齿轮振动时域信号K-S 检验Fig.4 K-S test in time domain of gear vibration signal

1）若时域统计量D→0，意味2 个样本分布相似，齿轮尚未出现故障。从数据文件148 开始，D 开始出现非0，意味着齿轮啮合状况开始出现异常。148 文件之前，虽然个别D 亦有非0 值，但数量少，总体可以认为振动状态未发生变化。

2）若相似概率 p(D)→1，意味2 个样本分布相似，齿轮尚未出现故障。在齿轮全生命运行周期中， p(D)的变化并没有规律。齿轮正常状态和损伤状态难以区分。

3）若假设检验值H=1，意味着待检验的振动样本与正常齿轮振动样本的分布是相同的，亦即齿轮尚未发生破损。H=0 的含义则意味齿轮已经发生了破损。从图中注意到：①从数据文件148开始，有多个齿轮振动样本的H=0，意味着待检齿轮状态与正常齿轮状态振动样本的分布开始出现不同。②由于试验过程中文件储存时的差错，28 号数据文件不可靠，其H=0，不意味着齿轮出现了破损。③数据文件148 之后，并不是所有检验样本的H 均为0，这可以解释为振动信号样本的随机性和不稳定性。

综上所述，以振动时域信号为检测样本，检验统计量D 可以反映齿轮的状态是否正常。相似概率P 的变化无规律，不能指示出齿轮状态的改变。这与非参数统计检验理论一致：一般将检验统计量D 作为主要判断指标。

两样本K-S 检验，对总体分布虽然没有特定要求，仅依据样本构成检验统计量进行检验，这样就不管真实模型分布与假定分布是否有偏离均可使用。但另一方面，由于缺乏总体分布的更进一步信息，这种检验的准确性会相对减弱。振动信号时域样本文件，不能反映齿轮总体振动的变化状况。

3.3 齿轮啮合振动频域信号K-S 检验

以齿轮正常运行阶段所采集的TSA 信号频谱，即从初始运行阶段0 号数据文件提取的TSA信号频谱，作为对照样本。在齿轮全生命运行周期中，将从不同时刻采集的各数据文件所提取的TSA 信频谱号作为待检样本。作两样本K-S 检验，计算出给定显著性水平α=0.05 时的频域统计量D、相似概率P 以及检验假设值H，变化趋势如图5 所示。

1）从数据文件148 开始，D 开始非0，意味着齿轮啮合状况开始出现异常，这与振动时域信号的K-S 检验结果一致。

2）从数据文件148 开始， p(D)开始非1，意味着齿轮啮合状况开始出现异常，这有别于振动时域信号的K-S 检验结果。

3）H=1，意味着待检验的振动样本与正常齿轮振动样本的分布是相同的，亦即齿轮尚未发生破损。H=0 的含义则正好相反，意味齿轮已经发生了破损。从图中注意到，从数据文件148 开始，待检齿轮的振动样本与正常齿轮振动样本的分布开始出现不同。由于试验过程中文件储存时的差错，数据文件28 不可靠，其H=0，不意味着齿轮出现了破损。

综上所述，以振动频域信号为检测样本，检验统计量D 和相似概率均能指示出齿轮状态的改变。这似乎可以这样解释，振动信号频域数据，由于经过了对时域数据的变换，能够反映齿轮总体振动数据的变化状况。对振动频域信号进行KS 检验，结果更为可靠。

图 5 振动频域信号K-S 检验Fig.5 K-S test of gear vibration signal spectrum

4 结论

1）从齿轮箱振动信号中获得齿轮啮合振动的时域同步平均信号频谱，与齿轮初始啮合阶段的振动时域同步平均信号频谱比较，作双样本KS 检验，计算其K-S 检验统计量和相似概率，并将其作为齿轮破损特征值。用齿轮全生命周期试验数据进行计算，结果表明，这2 个特征值均能有效地指示出齿轮破损。

2）若直接以齿轮振动时域同步平均信号为检测样本，检验统计量D 可以反映齿轮的状态是否正常；但相似概率P 的变化无规律，不能指示出齿轮状态的改变。