半群的主因子的秩

吕 会 罗永贵

( 贵州师范大学数学科学学院,550025,贵阳 )

1 预备知识

设[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并赋予自然数的大小序.In表示[n]上的一一变换半群,SIn=InSn是[n]上的部分一一变换半群.设α∈SIn,若对任意的x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα,则称α是保序的;若(1α,2α,…,nα)是一个圈,即最多存在一个自然数i, 使得iα>(i+1)α,则称α是方向保序的.记OIn为InSn中所有保序变换之集,称OIn为保序严格部分一一变换半群.记POPIn为InSn中所有方向保序变换之集,称POPIn为方向保序严格部分一一变换半群.

设k是[n]上的一个固定点,令

(1)

其中a1

αR◇β当且仅当ker(α)=ker(β),

αL◇β当且仅当im(α)=im(β),

αD◇β当且仅当|im(α)|=|im(β)|.

(2)

易见,Pr关于运算· 是完全0 - 单半群.

定义2设

易知若θ1=σ1⊕δ1,θ2=σ2⊕δ2,则有θ1θ2=σ1σ2⊕δ1δ2.

定理1设n≥3,1≤r≤n-1,则

(3)

本文未定义的术语及符号参见文献[7-9].

2 定理1的证明

为完成定理1的证明先给出如下两个引理与一个推论.

证若(α,β)，(α,αβ)∈D◇,则|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|. 再由im(αβ)⊆ im(β),ker(α)⊆ker(αβ)与[n]的有限性可知,im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ),即(α,αβ)∈R◇,(αβ,β)∈L◇.

推论1设n≥3,1≤r≤n-1,则

(4)

证分以下几种情况讨论：

设A1={p1

将αm换成

易知

是一个群.

对其余D-类也用类似方式进行构造,可得集合

当i

当i=j时,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1.

当i>j时,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αj-2αj-1.

因此,结合推论1可得M是Pr的极小生成集, 且

综上可知定理1得证.

3 可进一步研究的问题