让笔算除法的算法和算理一脉相承

摘要：在加减乘除这四种计算中，除法最难，算理难理解，计算形式也难以掌握。为什么除法的形式相比乘法竖式要复杂得多，就是因为除法有余数，所以教学除法时，笔者打破教材思路，创新性地先教首位有余的除法，让学生更好地理解算理，掌握算法。

关键词：笔算除法;首位有余;算理;算法

一、教材分析

这节课是在学生已掌握了商是一位数的笔算除法，整十、整百数除以一位数的算理和算法，几百几十除以一位数的算理算法的基础上进行教学的。新教材先将首位无余的两位数除以一位数和三位数除以一位数放在一节课内进行教学，然后进行首位有余的除法和商中间有0和末尾有0的教学，目的是为了让学生先通过每位都无余的除法理解算理掌握两层和三层的除法竖式，然后夯实个整除法

算法。

二、困惑分析

1.两位数除以一位数，“首位有余”和“首位无余”哪个能更清楚地解释算理呢？

商是两位数的笔算除法，虽然有表内除法为基础，但其计算过程的复杂性仍是三年级学生学习上的障碍。教材把两位数除以一位数和三位数除以一位数放在同一课时，意图让学生通过学法迁移，领悟并掌握两、三位数除以一位数的笔算方法，事实上，三年级学生的学习能力较差，举一反三、方法迁移的能力很弱，因此这样的安排可能导致学生不能理解为何要分层列竖式。因此这节课可以打破教材的限制，重新进行了教材整合。在例题的选择上，将例题46÷2（无余除法），改成42÷3，十位上的余数可以巧妙地解释被除数个位上的数为何要抄下来，用算理突破了格式的难点。[1]

2.除法竖式是程序性的运算过程，假如死记硬背格式很容易出错，那么能否追根溯源，让学生理解除法竖式每个数字对应的含义后引出算法呢？

从古至今，除法演变了很多次，但都是要将计算的中间过程和结果按一定的顺序记下来，除法竖式是一种简洁而有效的记录方式。为了方便学生理解，我们可以理解为除法竖式就是将分小棒的过程记录下来，在学生已经明确分小棒的算理和已有基础（表内除法的竖式）后，可以让学生自主探索除法竖式。[2]

三、教学过程

1.回忆除法竖式

（1）分7根

师：今天我们继续来学习笔算除法，先请同学们来分小棒。瞧，这里有7根小棒，平均分成2份，每份几根，还剩几根？

（2）列竖式

①谁来列式？（7÷2）

②7除以2，除了用分小棒的方法得到结果，我们还可以把它列成（竖式）来计算。

师：算一个除法要经过三步，哪三步？

生：想商、相乘、相减。

师：3表示什么？

生：每份有3根。

师：6呢？

生：分掉了6根。

师：1呢？

生：1就是余数，剩下1根，不能再分。

设计意图：用分小棒引入商是一位数的除法笔算，不仅复习了旧知，同时和后面例题的教学贯穿起来。7÷2有两种方法得到结果，可以用小棒分一分，也可以列成竖式算一算，竖式中每个数字都能在分小棒的过程中找到对应的含义，3表示每份有3根，6表示分掉了6根，1表示还剩1根。通过小棒和竖式的结合复习唤醒学生对除法笔算的旧知，为后面迁移到商是两位数的笔算除法埋下

伏笔。[3]

2.新知探索

（1）分整捆

师：让我们继续来分小棒。看，把4捆小棒平均分两份，每份是多少？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆。

（2）分几捆带几根（无余）

师：那如果添上6根，总共有46根小棒，也要平均分成两份，小棒该怎样分呢？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆;把6根平均分成2份，每份

3根。

师：他在分的时候，不是一下子分完的，而是分了？（2次）先分整捆，再分单根。

师生一起分。（屏幕出示字样：先分整捆，再分单根。）

3.分几捆带几根（有余）

（1）（改题）那如果我拿掉4根，现在一共有42根小棒，而且要平均分成3份，又该怎么分？ 这次分小棒和刚才有什么不一样？请同学们带着这两个问题同桌讨论。

（2）提问：

师：这次的分小棒跟刚才哪里不一样？

生：4捆平均分成3份，每份1捆，余下1捆，不能正好分完

师：那接下来该怎么分？

生：一捆和2根合起来，12根平均分成两3份，每份4根。

（3）小结：虽然这次分小棒跟上面的不一样，但是，也要分几次？（2次）先分（整捆），再分（单根），要是整捆的分不完，余下的要和单根地合起来继续分，一共要分两次。

4.竖式

（1）刚才分7根小棒可以用这样的竖式来计算。那么现在分42根小棒，用竖式又该怎么算呢？

（2）定思路。刚才我们先分？（4捆）。

·分十位。

（1）那我们就要先算4除以3，商是几？

（2）1要写在？（4 的上面）。为什么？

（3）商已經想好了还要想两步，哪两步？

（4）请大家一起算。

（5）说每个数字的意思：3表示？1表示？

（6）连起来算一遍

·分个位。

（1）下面还要分剩下的几根？

（2）在竖式上1捆在这里，2根在上面，它们在两个地方，这可不行怎么办？（把2抄下来）

（3）12除以3商是几？（4）4要写在？（个位上）为什么？

（4）这就是想商，接着呢？

（5）齐说算法

5.对比，完整计算。

（1）这个竖式和原来的竖式相比，有什么不同的地方？（更长，商有两位，原来只有一层楼，现在有两层楼。）

师：原来分小棒只要分一次，所以竖式只盖一层楼，今天分小棒先分整捆再分单根，一共要分2次，竖式就要盖2层楼。

（2）这两个竖式除了有不同的地方，那有什么相同的地方？（不管盖几层楼都要有1商2乘3减这三步）

（3）下面让我们把42÷3完整地算一遍。

6.模仿。

师：大家会了吗？好的，那就请同学们自己说自己写，练习纸上第1题。

设计意图：新知的探索分三个层次。第一层：先分4捆，平均分成2份，整十数除以一位数也就旧知，唤醒学生对分整捆小棒的记忆，分整捆小棒和分单根小棒的过程是相似的;第二层：再添6根，顺承学生思维，引导他们先分整捆，再分单根，在这里突破第一个算理“先分整捆，再分单根”便水到渠成，如果没有再添上6根这个过程，学生先分单根再分整捆的想法比较突出，同时也为下一个例题做准备;第三层：拿掉4根，平均分成3份，这次分小棒有难度，同桌讨论让学生自主探索、合作交流，让知识自然地发生，对比这次分小棒和上面有何不同后突破第二个算理“整捆余下的小棒要和单根合起来一起分”，这也印证了上一题先分整捆再分单根的重要性。分完小棒将算理迁移至算法，也就是将分小棒的过程写成竖式，这一环节扶放结合，通过富于启发性的问题细化两层的竖式，并逐一强化。这一过程中让学生完整表述算法，也是使竖式算法得以内化的过程。

（三）巩固与深入

1. 54÷3

过渡：老师现在有54根小棒，而且要平均分成3份，又该怎么算呢？一起来看。

（1）54÷3应该先算？

（2）那5÷3商是几，分掉了几还剩几呢？请同学们填这三个框，练习纸上第三题。

（3）生汇报，分小棒验证。

（4）接着呢？（把4抄下来）小棒验证。

（5）24÷3商是几分掉了几，还剩几呢？生完成剩下的框。

（6）生汇报，小棒验证。

2.46÷2

刚才我们还分过46÷2，那它用竖式该怎么算呢？这次老师不给框了，练习纸上第三题。

（1）生试做。

（2）展示两种竖式

（3）哪个对？小棒分了几次？（2次）所以竖式盖几层楼？（2层）

（4）一起算，沟通4-4=0，0不要写。

设计意图：巩固练习不是一下子放手让学生，而是先第一层后第二层，逐层练习和用小棒验证，又将算法和算理进行融合，再次加深两层这个格式，明白每个数字的含义。第二个练习是将原先分过小棒的46÷2拿出来让学生列竖式，虽然这个竖式首位无余也是新知，但有了前面分2次小棒的经验，大部分学生能想到列两层竖式，第一层就是分整捆，第二层就是分单根。练习的设计也是有梯度的，先是有框，后是无框，层层递进。

四、教学反思

基于学生低年级时一层除法竖式的基础，笔者曾尝试让学生在理解两位数除以一位数（首位有余）的算理后，自己尝试让学生探索两层除法竖式。由于学生第一次接触的两层的竖式，三年级孩子没有经验可以参考，这次尝试没有成功。最终笔者还是采取“讲授式”这种传统的教学方式，在练习中采取“扶放结合“的方式新授这个内容。在日后的教学过程中，笔者将不断尝试，能否由学生自主探索两层除法笔算。

参考文献

[1]祖惠华.算理·算法·算趣——教学“两位数乘两位数”有感[J].当代家庭教育，2019.

[2]官秀平.貫通小学数学计算算理学习途径[J].数学学习与研究，2019.

[3]吕碧霞.小数乘整数中的算理算法教学[J].当代教研论丛，2018.

作者简介

汪丹（1989.7—），女，江苏江阴人。本科，毕业于徐州师范大学，江阴市教学新秀，曾在江阴市“三力课堂”评比活动中荣获一等奖。