当角平分线邂逅平行四边形

王锋

当角平分线邂逅平行四边形时，由角之间的等量代换，等腰三角形便应运而生了.而等腰三角形丰富独特的性质可迸发巨大的能量，为我们解决问题提供方便.

在几何问题中，若有角平分线和平行于角的一边的直线，则图形中必然存在等腰三角形，如图1，BE平分□ABCD的内角∠ABC，则△ABE为等腰三角形（因∠1=∠2=∠3）.

例1 （2016年·丹东）如图2，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F;CE平分∠BCD，交AD于点E.若AB=6，EF=2，则BC的长为（

）.

A.8

B.10

C.12

D.14

分析：由“角平分线+平行线”产生的两个等腰三角形，得出AF=A B=6，DE=DC=6，便可求出AD=6+（6-2）=10.则BC=10，选B.

例2 （2017年·成都）如图3，在□ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N;②分别以M，N为圆心，以大于1/2MN的长为半径作弧.两弧相交于点P;③作射线AP，交边CD于點Q.若DQ=2QC，BC=3，则口ABCD的周长为_____.

分析：解决本题的关键是了解基本作图的原理，发现作图的结果是AQ平分∠BAD，从而发现等腰△DAQ.于是DQ=AD=BC=3.又DQ=2QC，所以QC=1.5，CD=4.5.故口ABCD的周长为2（CD+BC）=2x（4.5+3）=15.

例3 （2016年·泰安）如图4，在□ABCD中，AB=6，BC=8. ∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于F.则AE+AF的值等于（

）.

A.2

B.3

C.4

D.6

分析：易知△BFC和△DCE都是等腰三角形，于是AF=8-6=2 ，AE=8-6=2.

∴AE+AF=4，选C.

例4 （2017年·自贡）如图5.在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥CE于点H.求证：CH=EH.

分析：由平行线和角平分线可构建出等腰三角形，证得BE=BC.在等腰△EBC中由BH⊥CE便可获得结论.