分析集中趋势 把握波动程度

来小静 邓泾河

以前，我们学习过平均数，知道平均数可以反映一组数据的平均水平，现在，我们将结合实际问题，探讨用平均数、加权平均数、中位数、众数等分析数据的集中趋势.同时，我们还将研究方差这一统计量，了解数据的波动程度.

一、分析数据集中趋势）

1.平均数

（1）算术平均数

意义：把一组数据x1，x2，…，xn的总和除以这组数据的个数所得的商.

应用场景：当所给数据x1，x2，…，xn中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数，

应用特点：

（i）可了解一组数据的大致集中程度;

（ii）当一组数据中最大的数据与最小的数据差距较大时，数据的集中程度可能受影响.

（2）加权平均数

应用场景：当所给数据x1，x2，…，xn中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数，

权的意义：权就是数据的重要程度，常见的权有数值、百分数、比值、频数等.

应用特点：

（i）可根据权把握一组数据的集中趋势.

（ii）可通过改变权的大小，改变一组数据的集中趋势.

（iii）组中值的意义：数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.

2.中位数和众数

（1）中位数

意义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列.如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数据就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间位置两个数据的平均数是这组数据的中位数，

应用场景：

（i）在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半：

（ii）因为中位数在一组数据的“中间”，所以通过中位数可大致了解一组数据的集中趋势.

（2）众数

意义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.

应用场景：众数可以是一个，也可以是多个（或没有众数）.

应用特点：

当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋势.

3.平均数、中位数、众数的区別

（1）平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响.

（2）加权平均数受权的影响较大，改变权的大小，可改变加权平均数.

（3）中位数计算简单，不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据.

（4）当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数便没有意义了.

二、把握数据波动程度）

应用场景：要把握一组数据的波动情况时，应用方差分析比较好.

应用特点：

（1）方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小;

（2）当一组数据同时加上一个数a时，其平均数、中位数、众数也增加，但其方差不变：

（3）当一组数据扩大后倍时，其平均数、中位数和众数也扩大后倍，其方差扩大k2倍;

（4）方差的运用要根据实际情况具体分析.

练习

1.有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取前10位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的（ ）.

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

2.高台跳水比赛有20位评委给选手打分.统计每位选手的得分时，会去掉一个最高分和一个最低分.这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响：（ ）.

A.平均分

B.众数

C.中位数

D.方差

3.某商场对上月笔袋的销售情况进行了统计.如下表所示：

商场经理决定本月进笔袋时多进一些蓝色的.经理的这一决定应用了哪个统计量：（ ）.

A.平均数

B.方差

C.中位数

D.众数

4.体育课上，两名同学分别进行了5次立定跳远测试.要判断这5次测试中谁的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学成绩的（ ）.

A.平均数

B.中位数

C.众数

D.方差

5.阳光公司招聘面试后，参加面试的小明、小英议论他们所在小组的人的面试成绩.小明说：“我们组成绩是86分的人最多.”小英说：“我们组7位面试者成绩排在最中间的恰好也是86分，”上面两位面试者的话能反映出的统计量是（ ）.

A.众数和平均数

B.平均数和中位数

C.众数和方差

D.众数和中位数

6.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加全市中学生运动会.在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：m）如下：

甲：5.85 5.96 6.10 5.98 6.12 5.97 6.04 6.00 6.13 6.01

乙：6.13 6.18 5.80 5.74 6.18 5.93 5.85 5.90 5.98 6.24

（1）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？

（2）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？

（3）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠.你认为为了夺冠应该选谁参加比赛？

（4）如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加比赛？

（答案在本期找）