《16.3 二次根式的加减（2）》教学设计

雷娟

【摘要】在2020年初因疫情原因，笔者所在地区的线下教学改为线上教学，笔者积极响应区教育部门的任务安排，在2020年3月广东省“粤课堂”越秀区“空中课堂”全区公开课——八下数学人教版《16.3 二次根式的加减（2）》，教学设计具体如下。

【关键词】数学   教学设计

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）28-171-01

【学习目标】

1.熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式;

2.会进行二次根式的混合运算。

【重点难点】

重点：二次根式混合运算的法则，二次根式的运算顺序，运算律的使用;

难点：能够快速准确地进行二次根式混合运算。

【学习过程】

一、温故知新

（一）二次根式的乘法除法加减法知识点回顾

（1）二次根式的乘法法则是：

（2）二次根式的除法法则是：

（3）二次根式的加减法方法是：

（二）整式的计算法则回顾

（4）整式单项式乘多项式法则：

（5）整式多项式除以单项式法则：

（6）整式多项式乘多项式法则：

思考：把字母用二次根式代替，会如何？整式运算中的字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的计算法则也适用于二次根式。

【设计意图】通过温故知新，复习二次根式的乘法除法加减法知识点和整式的计算法则，为接下来把整式运算法则过渡到二次根式的运算打下基础，以旧带新，让学生更容易接受新授知识。

二、探究新知

知识点1.二次根式的混合运算

例1.计算：

（1）（ 8 + 3）× 6 ;     （2）（4  2 - 3  6）÷2  2 ;

【设计意图】 分析题意可知，把二次根式看成“项”，就可类比整式运算。

（1）根据多项式乘以单项式的法则，用  6乘以括号里的每一项，再把积相加;

（2）根据多项式除以单项式的法则，用括号里的每一项除以2 2，再把商相加.特别要提醒学生，结果要化简成最简根式。

练习1：（1）（ 2 + 3）× 5 ;（2）（80 + 40）÷ 5

例2.计算： （ 2 + 3）（ 2 -5）

【设计意图】分析题意可知，在二次根式的运算中，多项式乘法法则仍然适用。根据多项式乘以多项式的方法计算，用第一个括号里的每一项与第二个括号里的每一项相乘，再把积相加，学生把这个关键点抓住，这一类题目迎刃而解。

练习2：计算

1）（ 6 - 3）（ 2 + 3）

2）3（ 8  +  50）-  30÷ 45

【设计意图】 分析题意可知，类比于有理数混合运算顺序，二次根式混合运算顺序是，先乘方开方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

归纳小结：二次根式的混合运算知识点：

1）

2）

3）

知识点2：利用乘法公式计算二次根式

温故知新：整式的乘法公式：

①                             ②

例3.计算：（1）（ 5 + 3）（ 5 - 3）（2）（ 3 +2）2

【设计意图】（1）可使用“平方差公式”（a+b）（a-b）=a2-b2.（2）可使用“完全平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2 .因式分解部分的完全平方公式和平方差公式广泛运用于二次根式的计算和化简。

练习3：计算

（1）（2 2-3）2016×（2 2+3）2016

（2）（2- 3）2015（2+ 3）2017-2×|-    |.

【设计意图】引导学生巧妙使用公式巧算，大大降低难度和计算量，让学生领略到数学的巧算之美——（1）整式运算幂的乘方公式的逆用公式anbn=（ab）n也适用于二次根式计算。（2）整式运算同底数幂的乘法公式的逆用公式an+m = anam也适用于二次根式计算。

例4 已知x= 3 +1  且 y = 3 -1，试求x2+2xy+y2的值.

【设计意图】分析题意可知，求代数式的值，通常要先化简。一种是化简已知条件;一种是化简所求的代数式，学生容易联想到完全平方公式，问题就迎刃而解。

练习4： 已知x =  3 - 2 且 y =  3 + 2  ，試求x3y + xy3  的值。

【设计意图】分析题意可知，可先化简所求的代数式，学生容易联想到提公因式法。

三、课堂练习

四、课堂小结

1.二次根式的运算顺序：

;

2.乘法公式：（1）                      ，（2）                 ;

课后反思：本课的主要内容是二次根式的混合运算，首先复习了二次根式的加减法则以及乘除法则，有利于学生顺利学习本节内容。

本节课有两个关键点，一是把二次根式类比为“项”，利用整式的运算法则（单项式乘多项式，多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式等），迁移类比到二次根式的运算，让学生容易上手;二是二次根式的混合运算法则类比于有理数的混合运算法则，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.抓住这两个关键点，以旧带新，学生很容易上手。

本节课有几个注意点，一是结果注意要化简成最简二次根式，二是引导学生利用乘法公式巧算——公式anbn=（ab）n， an+m = anam等。

以上是笔者疫情期间线上教学的新尝试，希望可以给其他老师一点启发和借鉴。

【基金项目：本文为2019年度广州市教育科学规划课题《大数据环境下个性化作业高效性研究》（课题编号：201912034）的阶段性成果之一。】