媒体报道对SEIQR传染病模型的影响

孔丽丽，李录苹，陈慧琴

（山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

1 模型的建立

传染病使得人口数量无法持续增加,生产效率难以有效提高,大规模的瘟疫爆发甚至影响到历史的演进。因此，传染病的研究成为了一个热门的课题。近年来，随着社会网络媒体对传染病的传播途径和防治手段的宣传使得人们对疾病的传播方式有了进一步认识，从而有效地控制了疾病的发展。因此，在传染病的研究过程中考虑媒体报道对传染病的影响是非常必要的。目前，已经有一些研究媒体报道对传染病模型影响的文章出现[1-5]。考虑媒体报道影响下的SEIQR传染病模型：

这里S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分别为t时刻各类人群的数量。用N(t)表示t时刻总人口数，则

N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。

Λ 为易感者的常数输入率，μ为各类人群的自然死亡率，为媒体报道对传染病传播的影响。，n分别为传染病的平均潜伏期和染病者的隔离率，r，r1为染病者的因病死亡率和隔离者的因病死亡率，，k为传染病的饱和恢复率和隔离者的康复率。

2 地方病平衡点的存在性

把系统(1)中的微分方程相加得总人口N(t)的微分方程

显然闭集

D1={(S,E,I,Q,R)∈R5|0＜S+E+I+Q+R≤;S,E,I,Q,R≥0}为系统(1)的正向不变集。

下面讨论平衡点的存在性，显然系统（1）总存在无病平衡点E0=(,0,0,0,0)。地方病平衡点的存在性由基本再生数R0所确定，接下来我们利用再生矩阵谱半径方法[1-3]给出基本再生数的表达式。

令x=(E,I,Q,R,S)T，系统(1)可表示为

则Φ(x),Ψ(x)在E0处的雅可比矩阵分别为

定理1当R0＞1m2＜m1时，系统存在唯一的地方病平衡点E1∗。

证明令系统(1)的右侧导数为0，由其后四个方程得

把上边的四个表达式代入系统(1)的第一个方程得

则当m2＜m1时，有F′(I)＜0，即F(I)为I的减函数。此时

从而当R0＞1 时，有F(0)＞0，那么方程F(I)=0 存在唯一的正解I∗，也即系统(1)有唯一的地方病平衡点E1∗=(S∗,E∗,I∗,Q∗,R∗)。这里

3 地方病平衡点的稳定性

在m2＜m1的字体下讨论系统（1）地方病平衡点E1∗的稳定性。

定理2当(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3且R0＞1时，E1∗局部渐近稳定。

证明系统(1)在E1∗处的雅可比矩阵为这里

当(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3时,有B2＜0。由此，系统(1)在E1∗处的特征方程为

(λ+μ)(λ+μ+r1+k)[(λ+μ+B1)(λ+μ+σ)。(λ+n+μ+r+)-B1B2σ+B2σ(λ+μ+B1)]=0 (2)

则由Hurwitz 判据知方程(3)的根均具有负实部。因此R0＜1 且(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3时，E1∗局部渐近稳定。

对于E1∗的全局渐近稳定性的讨论如下,令

定理3若(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3，R0＞1，且下列条件之一满足：

(1)当0＜I＜I∗时，有；

(2)当I＞I∗时，有。

则系统(1)的地方病平衡点E1∗在D1内全局渐近稳定。

证明对于系统(1)的平衡点E1∗以下式子成立：

定义Lyapunov函数

由S＞0，易知。又因算术平均数大于几何平均数，所以有

另外，当(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3时，有G′(I)＞0，从而G(I)是I的增函数。同时，函数g(I)满足定理3的条件，所以