2020年全国高考数学试卷I与新试卷I的异同分析

林晴岚 张 洁 陈柳娟

（福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

2020 年山东省启用了新全国高考数学试卷I 模式，原使用全国试卷I 的省（除山东省外）仍使用原教材原高考数学试卷I，2021 年福建省也将使用新全国高考数学试卷I 模式，那么，新高考数学试卷I 与原高考数学试卷I 哪些异同点？下面从试卷结构、考查内容、问题情境三方面进行分析.

一、试卷结构

（一）高考数学试卷I 结构

高考数学试卷I 题型以三大类出现：第一类是选择题，设置题号为1-12 的十二小题，共60 分，每小题分值为5 分；第二类是填空题，设置题号为13-16 的四小题，共20 分，每小题分值为5 分；第三类是解答题，设置题号为17-22 的六大题，共70 分，其中题号为17-21 的五大题为必做题，每题分值为12 分，题号为22、23 的两大题为两题选做一题，分值为10 分［1］.

（二）新高考数学试卷I 结构

新高考数学试卷I 题型以四大类出现：第一类是选择题，设置题号为1-8 的八小题，共40 分，每小题分值为5 分；第二类是多选题，设置题号为9-12 的四小题，共20 分，每小题分值为5 分；第三类是填空题，设置题号13-16 的四小题，共20 分，每小题分值为5 分；第四类是解答题设置题号为17-22 的六大题，共70分，其中第17 题为开放题，分值为10 分，题号为18—22 的五大题，每题分值为12 分.

（三）高考数学试卷I 与新卷I 结构异同点

试卷结构相同点：高考数学试卷I 与新卷I 结构都有三类题型，即选择题、填空题、解答题；分值：选择题与填空题的每小题都是5 分，解答题都是六大题且其中有一大题分值10 分，五大题分值12 分.

试卷结构不同点：1.新卷I 将第一选择题，设置分为两部分：第一部分仍然保持原高考数学卷I 选择题设置方式，只是题数改为8 题；新变化是第二部分改变原高考数学选择题设置方式，设置为多选题，题数为4题.2.原数学高考试卷I 题中解答题6 题，必做题是17-21 题，设置选考题为从第22、23 题中进行两题选做一题，分值10 分；新卷I 设置解答题6 题都是必做题，没有设置选考题，新变化是解答题第一题即第17 题是分值10 分的新型解答题，要求考生从题目三个备选条件中选择一个条件对该基本问题进行解答.3.新高考数学试卷I 不分文科卷与理科卷，原高考数学试卷I 有分文、理科卷.

二、考查内容

（一）数学高考试卷Ⅰ考查的内容（分文、理科卷）

选择题考查的内容：1.（理）复数的运算法则和复数的模的求解；（文）集合的问题，涉及利用一元二次不等式的解法求具体集合的交运算；2.（理）含参数的集合问题，涉及一元二次不等式的解法以及集合的交运算；（文）复数的运算法则和复数的模的求解；3.（文、理同题）正四棱锥的概念及其有关计算；4.（理）利用抛物线的定义计算焦半径；（文）古典概型的概率计算问题；5.（文、理同题）观察散点图的分布选择拟合函数模型；6.（理）利用导数求解函数的切线方程；（文）圆的简单几何性质，以及几何法求弦长；7.（文、理同题）三角函数中余弦函数图像的性质，以及三角函数周期公式；8.（理）二项式定理及其展开式的通项公式；（文）有关指数、对数式的运算的问题，涉及的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则；9.（理）三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；（文）程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用；10.（理）应用球的截面性质计算球的表面积；（文）等比数列基本量的计算；11.（理）直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用；（文）双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及双曲线的定义；12.（理）构造函数，并利用函数的单调性比较大小，函数与方程的综合应用；（文）与理第10 小题相同.

填空题考查的内容：13.（文、理同题）线性规划，讨论目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值；14.（理）向量模的计算公式应用；（文）向量坐标运算问题，涉及向量垂直的坐标表示；15.（理）双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用；（文）与对数函数有关的复合函数的切线方程，涉及导数的几何意义应用；16.（理）利用余弦定理解三角形；（文）数列的递推公式的应用，以及复合型数列的求和.

解答题考查的内容：17.（理）等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和；（文）古典概型的概率公式的应用，以及根据平均值对具体事件做出合理决策；18.（理）线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小；（文）应用余弦定理、三角恒等变换解三角形；19.（理）独立事件概率的计算；（文）空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积；20.（理）椭圆的简单性质及方程思想应用；（文）应用导数研究函数的问题，涉及的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围；21.（理）利用导函数的符号研究函数的单调性，以及构造新函数，结合导函数研究构造函数的最值；（文）与理20 题同题；22.选做题，参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化；23 选做题，画分段函数的图像，以及利用函数图像解绝对值不等式.

（二）新数学高考试卷Ⅰ（山东卷）考查的内容（文、理合卷）

选择题考查的内容：1.集合并集；2.复数除法运算法则；3.分步计数原理和组合数的计算；4.球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质；5.概率中积事件的概率公式P(A∙B)=P(A)+P(B)-P(A+B)的应用［2］；6.指数型函数模型的应用及指数式化对数式；7.以正六边形为载体，利用向量数量积的定义式，求平面向量数量积的取值范围；8.利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式；9.利用常见曲线方程的特征，通过数学运算进行对应分析选择；10.已知f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,φ>0)的部分图像，由图像和正弦函数的周期公式可解出ω 和φ，求得其对应正弦、余弦函数不同表达方式的解析式［2］；11.综合了基本不等式的性质，指数函数及对数函数的单调性，对四个不等式分别进行判断是否成立；12.对新定义“信息熵”的理解和运用，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用；填空题考查的内容：13.抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式；14.数列的问题，涉及两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式；15.通过把所求阴影部分图形合理分割，利用正切函数在直角三角形中的应用，求几何图形的面积；16.直四棱柱和球的结构特征，涉及直线与平面垂直的判定、立体几何中的轨迹问题、扇形中的弧长公式综合应用.

解答题考查的内容：17.解三角形问题，涉及利用三角形中的边角关系，选择条件求解三角形的问题.不同的条件的预决方法不同，可以利用全部边化为角的关系，或全部角化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.解决三角形问题时，注意角的限制范围；18.等比数列的基本量的计算；19.概率问题，涉及用古典概型的概率公式求有关事件的概率，根据条件的要求列出列联表，用独立性检验计算公式判断事件的结果；20.立体几何的问题，涉及线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量，求线面角，利用基本不等式求最值；21.导数及其应用，涉及导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题；22.圆锥曲线问题，涉及椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题.

（三）高考数学试卷I 和新卷I 考查的内容异同点

考查的内容相同点：1.考查了如函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、导函数及其应用、集命、复数、不等式、平面向量、立体几何、直线与圆锥曲线、抛物线、椭圆、双曲线、二项式定理、排列组合、独立性检验、概率公式等高中必备基础知识.［1］2.考查了逻辑思维能力、数学运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力.［3］3.新试题和原试题涉及的基础知识和主干知识都基本体现了高中数学的基本知识、必备知识以及解决问题应有的关键能力.

考查的内容不同点：1.新全国卷I 试题没有涉及线性规划、参数方程与极坐标方程、绝对值不等式相关内容；2.新全国卷I 试题考查内容中解三角形和数列两部分内容同时出现在解答题里，而原全国试卷I一般都是解三角形和数列两部分内容只出现其中一部分内容.3.新卷I 试题采用多样的形式对考生思维考查更深入，对考生的区分更加精细，试题的灵活性、开放性增强了.

三、问题情境

高考评价体系中规定了高考的考查载体——情境［6］，借助现实生活、生产实际、科学研究等鲜明时代特点的情境，来承载考查内容，创造性地将立德树人的育人根本任务融入考试评价过程.凸显高考的育人导向对中学教育教学的价值引领作用［3］.

2020 年新高考数学卷I 与高考数学卷I 的问题情境有如下特点：

（一）重视经典中外数学文化浸润

精选具有中华民族性与世界性的经典事实，以此事实背景引发考生对数学新问题的思考作为数学高考试题［4］.如，高考数学卷I 的第3 小题（略）背景是以埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥（如图1），考查考生用几何基础知识解决古建筑测量问题；新高考数学卷I 第4 小题（略）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.提出问题：若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，求晷针与点A 处的水平面所成角.考查考生理解古时记时方式，以及会正确画出对应截面图（如图2），其中OA⊥l，CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A处的水平面的截线，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直.

图1

图2

通过数学经典文化浸透，结合现代生活实际，合理、科学、严谨、创新地提出新的数学问题，引导学生会用数学的眼光看世界，认真思考如何将中华民族的优秀传统文化继承和创新发展，领会用数学简洁的语言表述继承和创新发展优秀文化的重要意义，发挥好数学学科的育人作用.［4］

（二）重视数学教育与劳动技术教育相结合

重视数学教育与劳动教育相结合，以真实的劳动生产情境为背景，让考生在解决问题体验过程中，领会掌握好数学基础知识、技能、方法能科学有效地提高劳动效益，创造更美好的生活.［1］如，高考数学卷I的第5 小题（略）背景是以某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：°C）的关系，通过选取在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，收集到的实验数据(xi,yi)(i=1,2,L,20)，画出样本散点图，思考选择最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型.以此考查利用数学函数模型进行科学探究，用数学语言表达模型中数据所反映的问题，科学地分析，提出合理判断依据.

高考数学卷I（文）第17 题（略）一项加工业务，生产产品(单位：件)有A，B，C，D 四个等级标准分；A 级品每件收取加工费90 元、B 级品每件收取加工费50元、C 级品每件收取加工费20 元，D 级品每件要赔偿原料损失费50 元，甲分厂加工成本费为25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.总厂让甲、乙两厂都试加工这产品100 件，通过统计两厂生产出产品的等级，以此生产实际数据进行科学分析两厂生产质量水平是否更能胜任完成此项加工业务.考查考生对现实生产问题，能理性思考如何科学地分析生产过程中的实际问题，并做出科学决策，促进企业提高生产质量，更好地为社会创造财富.［1］

高考数学新卷I 第15 题（略）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图3，求图中阴影部分的面积.考查考生会合理利用数学知识解决生产劳动中的实际问题.

图3

让学生从具体的生产劳动情境中，感受不同劳动方式给生产生活带来不一样的改变，理解掌握好数学知识、技能、方法能科学有效地提高劳动效益；理解提高劳动技术水平可以改善生活方式，明白一切物质财富和精神财富都是由劳动创造的，劳动技术提升促进创新科技发展，美好生活要靠劳动创造.［6］

（三）重视正确认识新冠肺炎疫情发展与科学防疫教育

通过对新冠肺炎感染者传染的时间，借助数学模型进行科学有效分析、判断，引导公民正确认识国家对新冠肺炎疫情严控与防护措施的重要作用，自觉遵守公共卫生安全条例，增强公民自我防护意识.如高考数学新卷I 第6 题（略），问题背景：设基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数，记指数增长率为r 与R0，用指数模型：I(t)=ert描述新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数I(t)随时间t（单位:天）的变化规律，分析新冠肺炎情初始阶段，测算累计感染病例数增加1 倍需要的时间，为科学有效的防疫防控提供重要依据.

总之，2020 年新高考数学卷I 与高考数学卷I 的试题都很重视考查考生数学基础知识应用能力与水平，强调学以致用.试题的问题情境重视将学科内容与国家经济社会发展、科学进步、生产生活实际等紧密联系，通过设置新颖的问题情境，重视体现体育精神.如，高考数学卷I（理）第19 题（略）借助体育运动中的比赛与计分的规则，提出数学问题，开展数学实践活动，促进数学知识的理论学习与实践应用有机结合，提高学生对竞技运动比赛中公平公正的认识、理解、支持.考查考生灵活运用所学知识解决实际问题的能力；重视环境保护教育，如新高考数学卷I 第19 题（略）借助环境监测部门对某市空气质量进行调研，对有效治理空气污染进行科学分析，提出数学问题，增强公民环境保护意识；重视增强公民参与志愿者服务意识，如新高考数学卷I 第3 题（略）以6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者为背景，提出数学问题，引导考生积极参与志愿者服务.试题的问题情境从不同的视角引导考生领会数学的原理和方法在解决问题中价值和作用，形成正确的人生观和世界观.［3］