一类极限结论若干证明方法与应用

王成强

(成都师范学院 数学学院， 四川 成都 611130)

0 引言

大学数学中的很多知识模块是从极限知识模块展开的[1-3]，例如，Taylor展开式理论是建立在可微函数类上的，而函数可微性的定义直接依赖于函数的极限理论；又如，函数的Riemann积分就是该函数在给定的区间分割上的Riemann和的极限。极限理论是Taylor展开式理论与Riemann积分理论的基础，而Taylor展开式理论与Riemann积分理论反过来又为处理某些极限问题带来极大的便利[4-5]。本文旨在针对一类极限结论，设计若干基于Taylor展开式理论与Riemann积分理论的证明方法，以期为大学数学中的极限、Taylor展开式与Riemann积分的教与学带来更多思考。本文要证明的极限结论完整表述如下。

结论(*)[6]设函数f(x)在有限闭区间[a,b]上二次可微，且二阶导数f″(x)在区间[a,b]上的Riemann积分存在。证明

在本文给出的结论(*)的几种证明方法中，函数Riemann积分的定义本身有重要应用，与之等价的Riemann可积条件也有重要应用：对任何ε>0，都存在δ>0，使得对区间[a,b]的任何分割a=x0

就有

本文用到的主要工具有一元函数与二元函数的带Lagrange型余项的Taylor展开式。一元函数的Taylor展开式完整表述如下：若h(x)在区间(x0-r,x0+r)上n+1次可微，则对任何x∈(x0-r,x0+r)，都存在严格介于x0与x之间的实数ξ，使得

主要用到的二元函数的Taylor展开式完整表述如下：若u(x,y)及其偏导数ux、uy、uxx、uxy、uyx、uyy都在区域(x0-r1,x0+r1)×(y0-r2,y0+r2)上连续，则对区域中的任何点(x,y)，都存在θ∈(0,1)，使得

本文将基于不同视角，综合利用函数Riemann积分的定义、一元函数与二元函数的带Lagrange型余项的Taylor展式，给出结论(*)的4种证明方法，并利用结论(*)中的公式给出数列极限题的简洁解答的一个例子。

1 结论(*)的4种证法与应用

1.1 结论(*)的4种证法

使得

使得

或等价地，使得

于是

仿照证法1，可完成证法2的其余步骤。

使得

接着仿照证法1与证法2即可完成证法3的其余步骤。

基于此，进一步还可得：对任何k=1,2,…,n，都存在

使得

对∀ε>0，因为函数f″(x)在区间[a,b]上Riemann可积，是故存在N>0，使得对任何n>N，都有

借助于这些分析，并经过一些常规但繁琐的计算，有

由数列极限的ε-N定义，结论(*)得证。

在结论的证法1中，用了两次变限积分形式的一元函数的Taylor展开式；在证法2中，只用了一次变限积分形式的一元函数的Taylor展开式；在证法3中，用了一次变限积分形式的二元函数的Taylor展开式；在证法4中，用到的是结论(*)给定函数的Taylor展开式与Riemann可积的充分必要条件，而并未用到变限积分形式函数的Taylor展开式。相较而言，证法4的想法最直接但步骤最复杂，证法2的解答步骤最简洁，但用以施加Taylor展开式的函数的选取最精妙。

1.2 应用举例

例1[6]计算数列极限

借助于1.1小节证法1～4中的想法，再仿照它们的证明过程，可给出例1中的数列极限的4种计算方法，但从证法1～4的证明过程中可察觉，其过程极其复杂。经分析后发现，直接利用结论(*)可给出例1一种简洁的解答。

解直接运用结论(*)中的公式，有

2 结束语

或等价地，使得

在此基础上，经过一些常规运算就能证得