浅析逆向思维在初中数学解题教学中的应用

孟迎佩

摘要：数学是一门非常基础的学科，学好数学对于物理、化学等学科有非常重要的意义，这也使得数学成为一门非常复杂、逻辑性很强的学科。初中数学涵盖的知识面很广，平时的习题和考试过程中经常会遇到一些很难解决的问题，以正向思维无法解决的时候，就需要采用逆向思维来解决。本文是对逆向思维在初中数学解题教学中的应用进行了分析。

关键词：逆向思维；初中数学；解题教学

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）07-0048

根据我国新课改的要求，初中数学不能和传统教学一样，要着重锻炼学生的思维方式和自主学习的技能。数学本身具有抽象性且复杂，初中数学解题涵盖的知识点非常多，其中很多习题如果只利用常规的思维方式很难解答，这时候就需要培养学生的逆向思维，鼓励学生从不同角度寻找解决方法，从而提升学生的数学成绩。

一、逆向思维的基本含义

逆向思维是指人类对生活、工作或者是学习中事情、方法、原理进行反向思考的行为，从另外一个方向思考问题，也叫做求异思维。逆向思维在初中数学解题教学中有广泛应用，主要应用在数学公式的逆向推导验证，也就是我们所说的从结果往回验证条件，这样可以使数学解题教学更加便捷易懂。初中学生受年龄和阅历的限制，抽象思维能力欠缺较多，且初中数学又很强调严谨性和逻辑性，很多教材知识点都是相同的，逆向思维在初中数学解题教学中的应用有助于学生更加高效的掌握数学解题知识，提高学生的抽象思维能力和思维的严谨性，对学生数学成绩的提高有非常重要的意义。

二、逆向思维在初中数学解题教学中的应用

1.平方差公式中的逆向思维

平方差公式在初中数学中是一种常用的公式，这个公式形式多样变化灵活，学生在数学题目解答过程中，很容易能认出这是平方差公式，但是按照自己常用的解题思路又行不通，很多学生在平方差公式的解题中会遇到困难，这时候可以利用逆向思维来解题，将平方差公式简化，这样得到最终的答案。

比如，题目是求12-22+32-42+52-…-20062+20072，假如学生一上来按照之前的解题思路来作答，一般情况下要先算出各个数字的平方值再做加减法，也就是1-4+9-16+25…+4028049。如果真的这样计算，那随之而来的就是庞大的计算量，这样的计算量学生在用时和结果的精准度上都会有较大的偏差。还有些学生借助平方差公式计算，就是（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）…+20072=-3-7-11-…20072，这种方法相较于第一种简化了一些，但是计算量仍旧很大，而且括号内的加减号也容易出现错误。这时候我们借助逆向思维来思考第二种解法的第二步，很容易就会发现每项都有公共因数-1，所以我们将公共因数提取出来，然后合并相关项，这样式子就会是这样：-1（1+2+3+…2006）+20072。这样，题目就简单多了。学生解题的时候习惯性的会从第一位到最后一位依次计算，这样做对于简单的题目还可以，但是很多时候难题就需要借助逆向思维来寻找更好的解题方法。

2.完全平方公式中的逆向思维

完全平方公式和平方公式一样，在初中数学中是很常见的，学生遇到这类题目，以往掌握的解题思路和方法很难顺利解答，这时候就需要借助完全平方公式的逆向计算，借助逆向思维对完全平方公式进行深入探究，问题就很容易解决了。

比如，题目：a、b为x2+3x+7=0的两个根，求a2+b2的和。一看到这个题目，学生习惯性的会直接求方程式中的两个根的数值，进而计算a2+b2的和，不过在解方程式的过程中我们发现两个根是无理数，这就会加大计算量，增加解题难度。这时候利用逆向思维结合完全平方公式来解题：（a+b）2=a2+b2+2ab，那么a2+b2=（a+b）2-2ab，根据方程式可以轻易地计算出a+b及ab的数值，那么这个题目也就很容易的解决了。

3.证明题中的逆向思维

证明题是初中数学考试中一个很常见的类型，大题、小题都有出现根据已知的条件来证明一个结果是否成立。解题过程中我们根据题目已知条件或者是解出来的条件还是不能得到最终的答案，无法证明结论是否成立，此时需要借助逆向思维思考题目解法，从需要证明的结论入手，反向推导，这样可能会有意外的收获。

比如，已知两个三角形的两边和一个角对应相等，求证两个三角形是否为全等三角形。这道题考查的知识点非常明确，就是两个三角形全等的条件，按照正常的思路我们直接根据已知条件来证明两个三角形是否全等就可以了。但是，有一个问题我们需要注意，那就是对等的那个角是否为对等边的夹角，这样证明就需要分多种情况分开证明，相对麻烦。那么这时我们借助逆向思维来考虑这个题目，如果能证明对等的角不是两条边的夹角就能证明两个三角形不是全等三角形。同类型的题目中，首先考查的是学生对相关定理的熟练应用，其次还考查学生对题目的理解能力。有些题目借助正常的思路来应用定理证明，不能保证答案的正确率和答题的效率。

4.数列计算中的逆向思维

数列计算是初中数学必不可少的一种题目类型，和证明题一样涉及多个大题和小题，数列的变化多样，对学生数学知识的掌握程度要求比较高。一般遇到这样的题目不应采用正面解题的方式，而是采用逆向思维来解题。

比如，题目1+2+22+23+…+2n的值。对于这个类型的题目，一定不能像之前的问题那样从正面来解题，我们必须要借助逆向思维来解题，可以将数列的值设为Z，即Z=1+2+22+23+…+2n，两边同时乘以2，这样等式还是成立的，也就是2Z=2+22+23+…+2n+2n+1，然后两边同时减Z也就是1+2+22+23+…+2n，这样便会得出Z=2n+1-1，这样就很好计算了。因此，如果既有的思路无法解决当前的题目，就需要利用逆向思维来解题，复杂变简化，从而更快的得出准确答案。

总之，初中数学解题教学中除了正向思维以外，还必须要学习逆向思维，教师及学校在数学教学过程中要重视学生逆向思维能力的锻炼，引导学生在数学解题过程中尝试变换思考角度，从另一个角度考虑，丰富学生解题的思路，更好地解决正向思维无法解出的数学题目，进而培养学生的思考方式，提升学生的综合素质。

参考文献：

[1]景银海.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].未来教育家，2018（12）.

[2]赵佳.转换思维角度，學会逆向思维——初中数学课堂教学中学生逆向思维的培养[J].教育，2018（7）.

[3]杨昭，李文铭.浅谈初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].学周刊，2016（1）：156-157.

（作者单位：浙江省温州市第二十三中学325000）