例析二项式定理中经典问题的解题策略

■江苏省宝应中学 殷晓辉

二项式定理是高考和各级各类模拟考试中的一个常考内容，主要以选择题、填空题的形式出现，难度不大，多为容易题和中档题，通过分析近几年的考题，可以发现二项式定理考查的题型比较稳定，主要考查以下几点：（1）考查二项式展开式的通项公式，包括求展开式的特定项、有理项、常数项等；（2）考查二项式系数（或系数）的最值、和（部分系数和）等；（3）考查二项式定理的应用，包括求近似值、整除与余数等。本文通过例题分析二项式定理相关经典题型的解题策略，与读者分享交流。

一、二项式定理的通项公式

1.形如（a+b）n 的展开式问题

例1若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：由二项式定理知且k∈N），令当k=4时，n取到最小值为5。故选C。

评注：利用二项式定理的通项公式求展开式中的特定项（或有理项、常数项），根据要求列出变量的指数所满足的关系式（方程或不等式），其中常数项指数为零、有理项指数为整数。求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且k≤n。

2.形如（a+b）n±（c+d）m 的展 开式问题

例 2在的展开式中，含x的项的系数为____。

解析：在且n∈N*）的展开式中且k∈N），令则k=n，于是的展开式中含x的项的系数为故所求展开式中含x的项的系数为=54。

评注：对于多个二项式相加（或减）的多项式的展开式求特定项（或有理项、常数项），通常的处理策略是逐个二项式分析，最后对满足要求的项合并计算即可。

3.形如（a+b+c）n 的展开式问题

例 3在（x2+x+y）5的展开式中，含x5y2的系数为____。

解析：（x2+x+y）5的展开式中Tk+1=且k∈N），令k=2，则的展开式中令6-r=5，则r=1，于是含x5y2的系数为。

评注：对于求解形如（a+b+c）n的三项式展开式的特定项（或有理项、常数项），首先看a+b+c能否化为完全平方式，若能，则转化为二项式问题，容易处理；若不能，我们可以把三项代数式变形为两项代数式，如变为[（a+b）+c]n的形式，求出其展开式通项再利用二项式定理展开（a+b）n-k，通项为Tr+1=且r∈N），计算，根据题目要求，求出符合题意的k，r后即可解决问题。

二、二项式展开式的二项式系数与系数

（ax+by）n（a，b为常数）的展开式中（k≤n且k∈N），我们称为第k+1项的二项式系数，为第k+1项的系数。

1.二项式展开式中的二项式系数问题

例 4在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为____。

解析：由题知n=6，二项式的展开式中x6-2k（k≤6且k∈N），令6-2k=0，则k=3，于是常数项为（-2）3=-160。

评注：任意一个二项式展开式的二项式系数和都为2n，奇数项与偶数项的二项式系数和均为2n-1。若n为偶数，则二项式系数最大项有且仅有一项为；若n为奇数，则二项式系数最大项有两项为。

2.二项式展开式中的系数最值问题

例 5已知的展开式中前三项的系数为等差数列。

（1）求二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项。

解析：的展开式中Tk+1=且k∈N），前三项的系数依次为且n≥2，解得n=8。

（1）当k=4时，取得最大值，故二项式系数最大项为。

（2）设第k+1项的系数最大，则N，所以k=2或3，于是系数最大的项为。

评注：若二项式展开式各项的系数均为正数，且系数最大（小）项不是首、末项，可以利用求出系数最大（小）项对应的k值；否则，就只能将系数看成数列，判断系数的单调性后求出系数最大（小）项。

三、二项式定理的应用

1.求近似值

例 6求0.9986的近似值，使误差小于0.001。

2.判断整除关系（或求余数）

例 7（1）求证：对任意正整数n，33n-26n-1都可以被676整除。

评注：求余数或证明整除，先依据除数凑配，然后利用二项式定理展开，最后证明、计算。关键是对被除式进行合理变形，把它写成恰当的二项式形式，使其展开后的某些项都含有除式的因式，进而求余数或证明整除。