刚性挡墙位移土压力的数学拟合公式研究综述

张常光，单冶鹏，高本贤，吴凯

(1.长安大学 建筑工程学院，西安 710061；2.成都理工大学 地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都 610059)

土压力大小及其分布在挡墙和地下设施设计中占有十分重要的地位，Coulomb、Rankine基于挡墙平移极限状态建立了土压力公式并形成两类经典极限土压力理论，文献[1-4]对经典极限土压力理论进行了扩展研究。经典极限土压力的形式简单、物理意义明确，至今仍被广泛应用。但要达到极限土压力的状态，所对应的挡墙位移多数超过实际设计允许位移，特别是对于被动状态，土压力的极限平衡状态往往不会出现。因此，经典极限土压力理论不能反映土压力随挡墙位移变化的中间性态，有必要研究土压力的整个变化过程以及挡墙位移效应的影响。

土压力是土体与挡墙相互作用的结果，不仅与土体性质、挡墙高度、挡墙刚度、时间效应等有关，还与挡墙的位移有着密切关联，这些因素对土压力的影响程度各不相同，不现实也没必要把所有影响因素一起考虑，笔者将重点探讨刚性挡墙位移对某点处土压力的影响。文献[5-11]的土压力模型试验结果均表明：挡墙位移效应(包括位移状态、位移模式和位移大小)对土压力的影响显著，且不同位移模式下土压力沿深度均为非线性分布。

在研究土压力与挡墙位移关系的计算方法中，可采用数学函数来表征土压力随挡墙位移的变化关系。笔者针对挡墙位移土压力的众多数学拟合公式，依据函数形式的不同分为三角函数、指数函数、双曲线函数、幂函数、S型函数以及其他函数等6大类，总结这些数学拟合公式的特点与不足，并指出进一步研究的方向。

1 土压力及挡墙位移效应

文献[12-14]指出土压力随挡墙位移变化而变化，实际挡墙土压力介于静止土压力和极限土压力之间，并与挡墙位移存在非线性关系，如图1所示。挡墙不发生移动时的土压力为静止土压力p0，背离土体移动时挡墙土压力随之衰减并终止于主动极限状态，相应的土压力衰减称为松弛应力pr、主动极限状态土压力为主动土压力pa即土压力的最小值。同理，朝向土体一侧移动时挡墙土压力随之增长并终止于被动极限状态，相应的土压力增长称为挤压应力ps、被动极限状态土压力为被动土压力pp即土压力的最大值。

除图1挡墙位移状态(主动、被动)、位移大小显著影响土压力以外，图2中的挡墙位移模式也对土压力具有重要影响。当刚性挡墙发生平移而处于非极限状态时，挡墙沿深度方向各点的位移相同，即研究某点处土压力与挡墙位移的函数变化关系可用于挡墙上的所有点，这使得挡墙位移土压力求解大为简化，故现有文献采用数学拟合方法研究挡墙位移土压力p*时均基于挡墙的平移T模式。

图2 挡墙位移模式Fig.2 Movement modes of a retaining wall

在位移土压力的数学拟合公式中，对应主/被动土压力的挡墙极限位移δcr是一个关键的物理量，一般通过模型试验获得。表1总结了土体达到极限平衡状态时挡墙所需的位移量，其中达到主动土压力的挡墙极限位移δacr要远小于被动土压力相应的极限位移δpcr。规定以被动状态的位移为正，主动状态的位移为负。

表1 极限平衡状态下挡墙极限位移Table 1 Limit displacement of a retaining wall under limit equilibrium conditions

续表1

2 数学拟合公式分类及特点

2.1 拟合公式分类

挡墙位移土压力的数学拟合公式常以静止土压力、主/被动土压力这3个已知土压力为基础，对图1可分别开展主动状态、被动状态下挡墙位移土压力的分段数学表征，也可不分段对整条曲线进行数学表征。将图1中挡墙的松弛应力pr和挤压应力ps统称为附加应力，进而挡墙位移时土压力可视为静止土压力相加减附加应力，如式(1)所示。

(1)

(2)

式中：prmax为松弛应力最大值；psmax为挤压应力最大值。

引入位移函数kaδ、kpδ表征松弛/挤压应力，记pr=kaδ×prmax、ps=kpδ×psmax，则

主动状态下的位移土压力为

(3)

被动状态下的位移土压力为

(4)

将式(3)和式(4)统一表达为

p*=p0+kδ(pcr-p0)

(5)

式中：pcr为主动或被动土压力。

可将式(5)变换为附加应力的比值，即

(6)

挡墙位移土压力也可以已知土压力为参考直接作比进行数学拟合，即

(7)

(8)

此外，还存在上述3种方式以外的其他构造方式。

可以看出：位移函数kδ1、kδ2、kδ3的量纲为1，对应位移函数kδ的3种构造方式，用于描述土压力随挡墙位移的变化关系。当构造位移函数的方式确定后，可选用不同形式的数学函数对位移函数进行表征，并着重研究其待定参数及取值。因土体类型复杂且土压力数据少，某种数学拟合公式仅在文献个别土体类型下的预测效果较好，不同土体类型下的拟合效果不尽一致，故数学拟合公式的适用性难以准确评价。但构造位移函数最突出的特点就是每个数学拟合公式都有较为明确的函数形式，决定挡墙位移土压力曲线的变化趋势。

因此，按照文献所用拟合函数的不同数学形式，将位移土压力的代表性数学拟合公式大致分为6大类。需说明的是，如果同时涉及2种函数形式，则以主函数形式进行分类，并按出现年代依次列出；若位移函数在主动状态、被动状态中采用同一函数，则用一个公式表示整条曲线；本文研究对象为刚性挡墙，未考虑挡墙自身的变形影响。

2.1.1 三角函数 徐日庆等[25]采用反正切函数描述松弛/挤压应力与挡墙位移的关系，提出的位移土压力公式为

(9)

张吾渝等[26]、徐日庆[27]使用正弦函数拟合土压力与挡墙位移的关系，提出的位移土压力公式为

(10)

在式(10)的基础上，张燕凯等[28]利用开挖深度反映挡墙位移，喻军等[29]考虑支护结构水平位移的影响，刘一俊[30]将幂函数和正弦函数相结合，并对正弦函数取m次方。

2.1.2 指数函数 陈页开等[31]采用指数函数描述土压力随挡墙位移的变化关系，提出的位移土压力公式为

(11)

式中：a为与土性等因素有关的参数，0≤a≤1。田培先[32]认为参数a在不同土层中的取值不同。

李德贤[33]使用正切双曲函数反映土压力随挡墙位移的变化，提出的位移土压力公式为

(12)

式中：A是与土性有关的参数。赵新益[34]指出A=b1+b2δ/δcr，其中b1、b2为与土体类别、变形特性及挡墙位移状态有关的参数，且b1恒大于0。对于砂性土，b2<0；对于黏性土，b2>0。

柯才桐等[35]提出的指数型位移土压力公式为

(13)

式中：φ为土体的内摩擦角。

2.1.3 双曲线函数 陆瑞明等[36]将土压力与挡墙位移描述为双曲线函数，得到的位移土压力公式为

(14)

式中：Kh为土体的水平基床系数。

(15)

式中：k0为静止土压力系数；Ra为主动状态发展系数。

Duncan等[37]将双曲线函数和Duncan-Chang模型相结合，提出的被动位移土压力公式为

(16)

式中：Kmax为土体的最大抗力系数；Rf为破坏比。

夏唐代等[38]对Kmax乘以参数λ，并令λKmax和Duncan-Chang模型的初始模量Ei相等，将式(16)的适用范围扩展至挡墙整个位移过程。

姜志强等[39]提出的双曲线位移土压力公式为

(17)

姚海明[40]、胡志平等[41]提出主动状态下的双曲线位移土压力公式为

(18)

张文慧等[42]选用双曲线函数，并引入修正项以消除计算值与实际值的显著差异，提出的位移土压力公式为

(19)

易南概等[43]将墙后土体视为非线性弹簧，提出的双曲线位移土压力公式为

(20)

李青[44]整理刘国彬[45]和胡晓虎[46]有关上海软土的卸荷土压力试验，将深基坑挡墙主动土压力采用归一化的双曲线函数描述为

(21)

式中：d1、d2为由卸荷应力路径试验确定的系数。

卢坤林等[47-48]综合分析刘昌清等[49]和陈页开[22]的土压力相关数据，得到的双曲线位移土压力公式为

(22)

聂宗泉等[51]通过实测值(p1，δ1)、(p2，δ2)反算得到的主动双曲线位移土压力公式为

(23)

韩勤等[52]基于软土基坑工程土压力实测数据，得到主动土压力与挡墙位移的双曲线拟合公式为

(24)

式中：g为主动土压力修正系数。

伍露露[53]运用双曲线函数，提出的位移土压力公式为

(25)

式中：j1为由边界条件和初始条件确定的参数；j2为考虑卸荷影响的参数。

2.1.4 幂函数 吴伟强[54]假定在土压力达到极限平衡状态前土体为线弹性，土压力与挡墙位移采用线性关系拟合。唐孟雄等[55]、高文华等[56]对基坑开挖进行有限元模拟，也使用线性函数描述土压力和挡墙位移的关系。

蒋鹏等[57]将松弛应力与挡墙位移关系利用二次函数来拟合，其主动位移土压力公式为

(26)

谭志勇等[58]在Rankine土压力的基础上，提出的位移土压力公式为

(27)

式中：q为地面超载；γ为土体重度；h为计算点到土体顶面的距离；ka为主动土压力系数，kp为被动土压力系数；l1和l2为经验系数。

梁洪水[59]提出的幂函数主动位移土压力公式为

(28)

2.1.5 S型函数 S型函数具有单调递增以及映射区间有限等性质，常用于研究土压力随挡墙位移的变化问题，其表达式为

(29)

梅国雄等[60]在S型函数的基础上，基于现场实测土压力数据分析，提出预测整条位移土压力曲线的公式为

(30)

式中：m(δacr，φ)为挡墙主动极限位移和土体内摩擦角的函数，且m(δacr，φ)>0；k(φ)为土体内摩擦角的函数。Ni等[61]在此基础上做了进一步的拓展研究。

梅国雄等[62]在式(30)的基础上，得到砂土考虑挡墙位移的Rankine土压力公式为

(31)

式中：

赵建平等[63]将式(30)适用范围拓展至黏性土，采用等代摩擦角φD替换内摩擦角φ，φD=acrtan[tanφ+c/(γh)]，并在此基础上引入修正系数n，指出被动状态计算时修正系数n不大于1.3，当达到主动土压力时，n=1；c为土体的黏聚力。

张春会等[64]对S型函数进行修正，得到的位移土压力公式为

(32)

式中：r1、r2为待定参数。

罗伟等[65]提出的S型函数位移土压力公式为

(33)

2.1.6 其他函数 以上均为基于某一类数学函数形式来预测土压力随挡墙位移的变化关系，计算公式具有该类函数的数学特征。但有些位移土压力公式却难以归为某一具体的函数形式，故将这一类位移土压力中的数学函数统称为其他函数。例如，卢国胜[66]结合Rankine土压力理论，考虑土体内摩擦角以及黏聚力，提出的位移土压力公式为

(34)

王培清等[67]考虑土体黏聚力提出的位移土压力公式为

(35)

2.2 拟合公式特点

结合挡墙位移土压力数学拟合公式的构造方式及函数形式分类可知，同类数学拟合公式保留了该类函数的数学特征，继而土压力呈现相似的变化趋势。现从数学拟合公式的目的、构造方式、合理性以及参数确定等方面，对代表性位移土压力公式进行总结：

1)这6类位移土压力公式的目的相同，即采用某一种数学函数描述挡墙在表1极限状态范围内土压力随挡墙位移的变化规律，可获得挡墙非极限状态下的位移土压力，故数学拟合方法的途径明了、简单易用，不过多探究挡墙位移土压力的内在机理，在工程设计中已得到一定应用。

2)构造位移土压力的数学拟合公式存在4种方式，前3种以静止土压力、主/被动土压力为基础，通过附加应力作比或已知土压力直接作比定义了无量纲的位移函数，尤以附加应力作比的构造方式应用最为广泛，可分别对主动状态、被动状态下挡墙的位移土压力进行分段数学表征，也可不分段对整条曲线进行数学表征。以已知土压力直接作比的构造方式，需综合考虑位移土压力的整体变化规律。

3)结合图1和6类位移土压力公式的数学特征可知，合理实用的位移土压力数学拟合公式需具备3方面特征：边界条件与初值满足、参数含义明确以及能反映挡墙与土体之间的相互作用。位移土压力公式的适用性需经多种类型土体工程实测、模型试验和数值模拟的系统性验证。

4)位移土压力数学拟合公式重点表征了刚性挡墙位移对土压力的影响，其待定参数常与土体内摩擦角或黏聚力等土性因素有关，部分参数需结合工程实测或模型试验确定；土体流变时间效应、基坑开挖空间效应以及多因素耦合作用等影响，一般是借助不同类型的数学函数相复合得以实现。

5)位移土压力数学拟合公式大多基于某一类明确具体的函数形式，其差异主要体现在函数形式选择和待定参数及取值不同，导致了数学拟合公式的多样性、可选性，同时也表明当前位移土压力数学拟合方法研究的广泛性与非系统性，这实际反映的是对挡墙位移土压力的认知局限性。

3 存在的不足及进一步研究方向

目前，数学拟合方法在土压力与挡墙位移关系研究中已占据重要地位，但土压力的影响因素众多且错综复杂，使得很多数学拟合公式仍停留在理论层面，存在研究不足并需进一步完善。

1)6类数学拟合公式重点描述了土压力随挡墙位移的变化特征，很大程度上未对墙后土体、挡墙以及土体扰动的相互作用进行阐述，仅针对土压力有限数据做了宏观规律性对比验证，虽在某些条件下说明了数学拟合公式的正确性，但只适用于对比所用的特定土，对其他土体的拟合效果不尽理想。

研究方向：应将挡墙位移土压力的形成机理、物理解释和理论分析与数学拟合方法相结合。另外，数学拟合公式提出后，需经大量土压力实测、试验或模拟的适用性验证，进而界定公式的适用范围、应用步骤，或以分段函数形式获得更具针对性的拟合公式。加强各数学拟合公式间的比较和参数定量化描述。

2)土压力是土体与挡墙相互作用的结果，其他影响因素，如温度、时空效应、施工工序、渗流等，有时一同归并为对挡墙位移的影响，这样虽然可简化实际问题，但并不一定客观。图2挡墙位移模式对土压力大小及分布具有显著影响，而数学拟合方法却均假定挡墙为平移T模式。

研究方向：应针对不同位移模式的挡墙，建立相应的位移土压力数学拟合公式，并适当兼顾其他因素的影响。例如，邾祝融等[68]考虑开挖顺序及时间因素，将时空效应影响与位移函数相复合。如何将其他因素影响也转化成数学函数表达，是对现有位移土压力数学拟合公式进行修正的一个重要方向。

3)位移土压力数学拟合公式大多针对的是干土或饱和土，表1中模型试验的土体也多为干砂、密砂、粉砂、粉土和矿渣，鲜有黏性土，针对不良特殊土体(湿陷性黄土、膨胀土等)的研究也不充分，且尚未开展基于非饱和土力学原理的挡墙位移土压力研究。

研究方向：开展各类土体挡墙土压力的模型试验或数值模拟以及现场试验，特别是黏性土、非饱和土、湿陷性黄土、膨胀土等。工程实践中遇到的土体大多为非饱和土，与饱和土最大的区别是基质吸力的存在及其产生的吸附强度，可构建基于非饱和土力学原理的挡墙位移土压力数学拟合公式。

4)已有的土体真三轴试验结果表明[69-70]，中间主应力对土体强度的影响明显。土体强度的提高必然会对挡墙土压力产生全方位影响，包括墙后土体滑裂面、土压力大小和分布，甚至是挡墙的位移模式。现有位移土压力的数学拟合公式均没有体现中间主应力的影响，获得的土压力难以反映土体实际强度。

研究方向：对墙后土体开展真三轴试验研究，探讨中间主应力对土体黏聚力及内摩擦角的影响规律，或者基于合理考虑中间主应力影响的土体真三轴强度准则与土体常规轴对称压缩试验，获得平面应变条件下土体的真实强度参数用于位移土压力计算，并加强对墙后土体滑裂面和挡墙位移模式的试验观测。

4 结论

1)挡墙位移土压力常以静止土压力、主/被动土压力为基础，存在4种数学函数构造方式，尤以第1种附加应力作比构造位移函数的应用最为广泛，可相应对主动或被动状态下挡墙的位移土压力进行分段数学表征，也可不分段对整条曲线进行数学表征，目的都是更准确地描述土压力随挡墙位移的变化规律。

2)将挡墙位移土压力数学拟合公式按函数形式分为6大类：三角函数、指数函数、双曲线函数、幂函数、S型函数以及其他函数，可利用某类数学函数应具备的3方面特征，确定其适用范围，以便更好地表达土压力随挡墙位移变化的非线性特征。

3)应将挡墙位移土压力的形成机理、物理解释和理论分析与数学拟合方法相结合，加强位移土压力数学拟合公式间的对比分析，探究各自的合理性及适用性。对挡墙不同位移模式开展全面分析，并进行黏性土、非饱和土、湿陷性黄土、膨胀土等的土压力试验和中间主应力效应研究。