层状地层中矩形隧洞围岩应力及位移

刘灯凯，饶军应，徐世军，谢财进，聂崇欣

(1.贵州大学 土木工程学院，贵州 贵阳 550025；2.中铁十八局集团第二工程有限公司，河北 唐山 063000)

0 引 言

在地下空间修建隧洞等结构物时，往往会穿越层状地层。针对层状地层中隧洞围岩应力和位移等问题的研究方法主要有数值模拟、现场监控和理论分析等。李晓红等[1]结合共和隧道现场监测和数值模拟，探讨了层状岩体的破坏特征问题；采用理论分析和数值计算等方法，王雷等[2]研究了穿层巷道围岩变形破坏机制和支护技术。

当层法理论是将上层岩土体换算为与下层岩土体弹性模量相同的当量岩土层的理论，是研究层状地层应力应变问题较为有效的理论。戴俊等[3]以东胜煤田塔拉壕煤矿为依托，基于Покровский当层法理论，通过定义2种应力路径，对比分析了复合地层分别在6°，12°，18°倾角下，直墙拱形和圆形断面巷道围岩压力拱内外边界和拱体厚度变化情况；艾传志等[4]通过引入等效模量当层法，考虑隧道上覆不同材料时，推导出由开挖引起的浅埋圆形隧道地层位移、应力及地表沉降的解析解。

复变函数解析方法由N.I.Mushhelishvili等[5]于1957年提出，为求解地下孔洞围岩位移及应力提供了一种新途径；A.R.Kargar 等[6-8]应用复变函数法中的柯西解法得到了非圆形隧道的应力解析解；刘淑豪等[9]通过保角映射函数将隧洞外域变换为单位圆外域，利用Cauchy积分和留数定理求出2个应力函数，从而得到围岩的应力与位移的平面应变问题的解析解；祝江鸿[10]从 Harnack定理出发，推导出求解任意开挖断面隧洞围岩应力的两个解析函数通式；饶军应等[11-12]基于平面弹性复变函数理论，分别对椭圆形溶洞和双椭圆硐室计及内压时围岩应力进行了研究；施有志等[13]利用复变函数解法中的Cauchy积分法，求解了单心圆仰拱马蹄形隧道在弹性半空间内任意一点处的应力值和位移值解析解表达式。

层状地层因在相邻两岩土体间的位移、应力条件和局部荷载条件等极其复杂，层状地层中隧洞围岩应力及位移的求解至今仍是一个难题。本文以上下地层分界面正好通过矩形隧洞形心为例，通过运用Покровский当层法理论将层状地层转换成与下部地层弹性模量的当量层，通过保角变换，将求解平面z上层状地层中浅埋矩形隧洞的问题等效为求解复平面ζ上均质地层位移及应力分布问题。针对浅埋隧洞，通过结合Loganathan修正式，推导了层状地层中浅埋矩形隧道围岩位移、应变和应力分量表达式；针对深埋隧洞，通过求解解析函数Φ(ζ)和Ψ(ζ)，得出层状地层中深埋隧洞围岩应力；最后，借助MATLAB辅助计算软件，针对矩形隧洞，研究围岩侧压力系数、矩形隧洞高宽比和边界力对隧洞围岩应力的影响。

1 层状地层模型及转换

1.1 层状地层模型简化

层状地层分层模型见图1，考虑到上层(E1，μ1，φ1)和下层(E2，μ2，φ2)岩土材料具有不同的力学参数，层状地层中隧道开挖引起的地层位移及应力可根据Покровский当层法计算。当层厚度计算式为

图1 层状地层分层模型

(1)

式中：h′1为上地层等效厚度；h1为上层岩体的厚度；E1为上层岩体弹性模量；E2为下层岩体弹性模量。

假设地层中任意一点坐标为(x，y)，y为距离隧道中心线水平坐标，x为距隧道形心的垂直距离，由隧道形心向上为正，进行当层替换后对应点坐标为(x′，y′)，坐标变换见式(2)，式(2)可将复合地层问题简化成力学参数为(E2，μ2，φ2)的均质地层问题。

(2)

1.2 均质地层及映射函数

由Покровский当层法理论可知，层状地层中隧洞形状不同，其转换后隧洞形状亦不一样。在此将层状地层中高宽比不同的3种矩形隧洞转换为对应均质地层中隧洞，再通过映射函数即式(3)[14]将z平面上的矩形隧洞转换为ζ平面上半径r0=1的圆形隧洞，求出对应隧洞的映射函数，见表1。

(3)

式中：R，C1，C3均为正实数;R为隧洞大小；C1，C3为隧洞形状。

表1 不同高宽比下矩形隧洞映射函数

2 层状地层中浅埋隧洞围岩应力及位移

通过运用Покровский当层法理论，将层理地层中的矩形隧洞转换成均质地层中对应的矩形隧洞，再通过复变函数中的保角变换将均质地层中z平面上的矩形隧洞转换成ζ平面上的圆形隧洞，将z平面保角映射为ζ平面上的圆环，通过求解解析函数Φ(ζ)和Ψ(ζ)以及考虑重力作用的势函数V(ζ)，求出隧洞在重力作用下各应力分量的表达式[15]：

(4)

式中：F1，F2，F3，F4，F5，F6均为关于ρ和θ的函数；R为与矩形大小有关的常数；h0为隧洞中心至地表的高度。由平面应变问题的物理方程可知，当应力分量完全确定时，应变分量即完全确定。因此将式(4)代入式(5)，即可求出层理地层中隧洞围岩应变分量。将求出的应变分量带入式(6)，可求出隧洞围岩位移分量。具体求解过程不再赘述。

(5)

(6)

式中：εx，εz，γxz分别为地层应变的3个分量；σx，σy，τxy分别为地层应力的3个分量。

3 层状地层深埋隧洞围岩应力解

为求解层状地层中深埋隧洞围岩应力和位移，首先将层状地层运用Покровский当层法转换为均质地层，其次根据弹性复变理论，运用保角变换，将半无限平面z上任意形状的隧洞圆外域转换成ζ平面的单位圆外域，求解任意形状隧洞围岩应力。

假定均质地层隧洞无限长，故该问题可看作平面应变问题，由弹性复变理论[16]可知，均质地层中隧洞围岩的应力与位移分量可由复平面上2个解析函数Φ(ζ)和Ψ(ζ)确定，根据边界条件，通过式(7)～(11)得到φ(ζ)和ψ(ζ)[16]。

Bω(ζ)+φ0(ζ)，

(7)

(B′+iC′)ω(ζ)+ψ0(ζ)，

(8)

(9)

(10)

(11)

B=(σ1+σ2)/4，

(12)

B′+iC′=-(σ1-σ2)e-2iβ/2，

(13)

式中：fx,fy分别为整个隧洞内边界上沿x,y方向上的面力；Fx,Fy分别为整个隧洞内边界上沿x,y方向上的面力之和；σ为ζ平面上单位圆的边界值；常数B和B+iC由无穷远处的主应力σ1和σ2确定；β为σ1与y轴的夹角。

弹性体在z平面上直角坐标中的应力分量σφ和σρ的关系以及x和y方向上的位移关系分别见式(14)～(18)。

σρ+σφ=4ReΦ(ζ)，

(14)

Ψ(ζ)]，

(15)

(16)

Φ(ζ)=φ′(z)=φ′(ζ)/ω′(ζ)，

(17)

Ψ(ζ)=ψ′(z)=ψ′(ζ)/ω′(ζ)。

(18)

考虑衬砌时层理地层中隧洞围岩应力与位移的计算过程为：运用Покровский当层法理论将层状地层转换成均质地层，将层状地层中的隧洞开挖轮廓线、衬砌轮廓线分别转换为均质地层中的隧洞开挖轮廓线、衬砌轮廓线，然后将均质地层中隧洞的开挖轮廓线内部、衬砌部映射到ζ平面的圆外域，采用文献[6-8，17]提出的求解均质地层中隧洞开挖轮廓线内部、衬砌部中的应力函数式，结合相应的应力连续边界条件和位移连续边界条件，即可求出考虑衬砌隧洞的围岩应力和位移[18]。

4 数值模拟对比分析

基于Midas GTS数值模拟软件，通过将层状地层中矩形隧洞围岩应力与对应均质地层中隧洞围岩应力进行对比，论证将层状地层等效为均质地层的可行性。运用Midas GTS软件对层状地层进行数值模拟，矩形隧洞尺寸大小为8 m×6 m，取上部地层弹性模量E=8 000 MPa，下部地层E=10 000 MPa，隧洞所受竖向均布压力σy和水平均布压力σx分别为10.125，76.5 kN/m2，层状地层中隧洞竖向和水平应力数值模拟计算结果如图(2)～(3)所示。根据Покровский当层法理论对层状地层进行转换，得出对应均质地层矩形隧洞尺寸，为6.780 4 m×6 m，弹性模量E=10 000 MPa，均质地层中隧洞竖向和水平应力数值模拟结果见图(4)～(5)。

图2 层状地层中隧洞竖向应力图

图3 层状地层中隧洞水平应力图

图4 均质地层中隧洞竖向应力图

数值模拟结果显示，距离隧洞无穷远处的点不受应力集中的影响，其竖向应力及水平应力与σy，σx基本一致，在矩形隧洞周边的4个角点竖向应力σy具有应力集中现象，竖向应力出现突变，从图(2)～(4)可以看出，层状地层中矩形隧洞各角点竖向应力最大值与均质地层中矩形隧洞各角点竖向应力最大值分别为31.71，30.30 kN/m2，相似度为96%；从图(3)～(5)可以看出，层状地层中矩形隧洞x轴向隧洞周边水平应力值与均质地层中矩形隧洞x轴向隧洞周边水平应力值分别为4.95，4.69 kN/m2，相似度为95%。由此可知，根据Покровский当层法理论将层状地层转换成均质地层进行计算是可行的。

图5 均质地层中隧洞水平应力图

5 层状地层深埋隧洞算例分析

假定隧洞为矩形且为毛洞，不考虑衬砌的支护作用，隧洞纵向长度远大于隧道的横断面尺寸，将该问题视为平面应变问题进行分析。矩形隧洞埋深h=100 m，宽b=6 m，高a=8 m，隧洞上部地层弹性模量E1=2 500 MPa，泊松比μ1=0.3，内摩擦角φ1=39°；下部地层的弹性模量E2=10 000 MPa，泊松比μ2=0.25、内摩擦角φ2=45°；地层物理力学参数详见表2。以隧洞形心作为坐标原点建立xoy直角坐标系，依据Покровский当层法理论，位于层状地层中宽b=6 m、高a=8 m的隧洞(图6)转换为均质地层中宽b=6 m、高a=4 m的隧洞洞型(图7，式(19))。层状地层转换为均质地层后隧洞埋深h′=50 m。

表2 地层物理力学参数

图6 层状地层中隧洞洞型图

(19)

图7 均质地层中隧洞洞型图

5.1 层状地层中矩形隧洞φ(ζ)和Ψ(ζ)值

求出图7中隧洞形心处竖向应力σ11与侧向应力σ22，因隧洞埋深比隧洞跨径大得多，可将其看作距隧洞无限远处半无限大体受到的竖向应力σ1与侧向应力σ2。据式(20)～(21)[19]，求得σ1=σ11=67.5 kN/m2，σ2=σ22=10.125 kN/m2，将其代入式(12)～(13)，B=19.406 3 kN/m3，(B′+C′i)=-28.687 5 kN/m3。式中，s为围岩级别，如属Ⅲ级，则s=3；ω=1+i(B-5)为宽度影响系数；B为隧道宽度，m；i为以B=5为基准，B每增减1 m时的围岩压力增减率，B<5 m时，i=0.2；B>5 m时，i=0.1；λ为侧压力系数，λ=0.15。

σ1=0.45×2s-1×ρgω，

(20)

σ2=λσ1。

(21)

φ(ζ)=Bω(ζ)+φ0(ζ)，

(22)

ψ(ζ)=(B′+iC′)ω(ζ)+ψ0(ζ)。

(23)

为求解式(22)～(23)，需先求解映射函数。由式(3)知，求解映射函数的问题最终将化为求解映射函数参数R，C1，C3的问题，其中R可由C1，C3表示，见式(24)，该问题变为求解C1，C3的问题。用复合最优化方法[7]计算C1，C3，目标函数见式(25)。采用MATLAB计算C1，C3，经求解，C1，C3和R分别为0，-0.17，3.614 5，映射函数见式(26)。

R=r0(1+C1+C3)，

(24)

βi)+C3cos(αi-3βi)]}，

(25)

ω(ζ)=3.614 5(1/ζ-0.17ζ3)。

(26)

根据式(9)，得出φ0(ζ)表达式，见式(27)，继而求出ψ0(ζ)，见式(28)。将式(27)～(28)分别带入式(22)～(23)，得到φ(ζ)和ψ(ζ)，分别见式(29)～(30)，

φ0(ζ)=-88.624 8ζ+23.849ζ3，

(27)

ψ0(ζ)=-15.066 2ζ-1-70.144 1ζ+17.627 5ζ3+

(28)

ψ(ζ)=88.624 8ζ-1-140.288 1ζ+

(30)

5.2 层状地层中矩形隧洞围岩应力分析

为求解层状地层中隧洞围岩应力，将φ(ζ)和ψ(ζ)代入式(17)～(18)，求得Φ(ζ)和Ψ(ζ)，然后将Φ(ζ)和Ψ(ζ)代入式(14)～(15)，求出σρ和σφ的的关系，见式(31)～(33)，

σφ+σρ=4Re(19.406 3-

(31)

σφ-σρ+2iτφρ=

[ρ2(-5.7×105ζ10-5.639×108ζ8-1.375×

1010ζ6+1.689×1010ζ4+5.818×109ζ2+

4.436×109)-ρ8(1.675×105ζ6+7.743×

108ζ4+2.6×109ζ2-1.723×109)-

9.072×109ζ4+1.368×1010ζ6+4.076×

109ζ8+8.815×105ζ10+ρ4(1.41×105ζ8+

6.521×108ζ6+2.189×109ζ4-1.451×

109ζ2)]×[ρ2(2.864×107ζ12-2.412×107ζ10+

1.575×108ζ8-8.525×107ζ6+2.763×

108ζ4-7.423×107ζ2+1.546×108)]-1。 (32)

φ=0时，有ζ=ρ，代入式(31)～(32)，求得距离隧洞远近不同的各点理论应力值σρ和σφ，切向和径向应力数值模拟结果见图8～9。从图8可以看出，切向应力σφ理论计算结果与数值模拟结果非常吻合，隧洞围岩的点从近到远，切向应力σφ先增大后减小，并最终趋于一条缓和的直线，其值最终与施加的边界水平应力值相等；从图9可以看出，径向应力σρ的理论计算结果与数值模拟结果吻合较好，隧洞围岩的点从近到远，径向应力σρ先增大后减小，并最终趋于一条缓和的直线，其值最终与施加的边界竖向应力值相等。

图8 切向应力对比图

图9 径向应力对比图

6 影响因素分析

地下工程围岩的受力极其复杂，影响隧洞围岩应力的因素也多种多样。针对矩形隧洞，借助MATLAB软件对式(14)～(15)进行计算，研究围岩侧压力系数、边界力和隧洞高宽比等对矩形隧洞围岩应力的影响，为类似工程提供理论基础。

6.1 侧压力系数对隧洞的影响

当侧压力系数λ分别取0.15，0.30，0.5，1时，隧洞洞周(即映射圆ρ=1处)切向应力值如图10所示。从图10可以看出，在矩形隧洞的4个角点切向应力值明显大于隧洞洞周其他位置处切向应力，λ=0.3时，在矩形隧洞4个角点的切应力低于λ分别为0.15,0.5,1时的切向应力值。其切向应力值从小到大分别为σφ(λ=0.3)<σφ(λ=0.15)<σφ(λ=0.5)<σφ(λ=1)。

图10 不同侧压力系数下的隧洞洞周切向应力值

从图11可以看出，隧洞围岩的点(φ=0)从近到远，其切向应力先增大，然后趋于平缓，其值最终与模型边界水平应力值相等。侧压力系数越大，同一点的切向应力越大；从图12可以看出，隧洞围岩的点(φ=0)从近到远，其径向应力先增大，然后趋于平缓，其值最终与模型边界竖向应力值相等。

图11 不同侧压力系数隧洞围岩切向应力图

图12 不同侧压力系数隧洞围岩径向应力图

6.2 隧洞宽高比对隧洞的影响

矩形隧洞高宽尺寸见表1。从图13可以看出，随着隧洞高宽比减小，隧洞洞周4个角点处的切向应力值越来越大；从图14～15可知，隧洞围岩的点(φ=0)从近到远，其切向应力及径向应力均呈先增大后减小趋势，最终趋于平缓，其终值与模型边界水平应力值相等。

图13 不同隧道高宽比下的隧洞洞周切向应力值

图14 不同高宽比隧洞围岩切向应力图

图15 不同侧高宽比隧洞围岩径向应力图

6.3 边界力对隧洞的影响

取围岩密度ρ=2 206 kg/m3，层状地层中隧洞高a=8 m，宽b=6 m，围岩侧压力系数λ=0.15，巷道无穷远处所受竖向应力σ1和水平应力σ2见表3。从图16可知，在矩形隧洞的4个角点切向应力值明显大于隧洞洞周其他位置处切向应力值，隧道围岩边界竖向应力越大，其切向应力值越大；从图17～18可以看出，隧洞围岩的点(φ=0)从近到远，其切向应力和径向应力亦均先增后减，并最终趋于平缓，其终值也与模型边界水平应力值相等。

表3 物理力学参数

图16 不同围岩等级下的隧洞洞周切向应力值

从图16可知，在矩形隧洞的4个角点切向应力值明显大于隧洞洞周其他位置处切向应力值，隧道围岩等级越高，其切向应力值越大。

图17 不同围岩等级隧洞围岩切向应力图

图18 不同围岩等级隧洞围岩径向应力图

7 结 论

(1)基于Покровский当层法理论，将层状地层中隧洞转化为均质地层中隧洞，通过保角变换将求解平面z上层状地层中浅埋矩形隧洞的问题等效为求解复平面ζ上均质地层位移及应力分布问题，结合Loganathan修正式，推导了层状地层中浅埋矩形隧道围岩位移、应变和应力分量表达式。

(2)通过运用Midas GTS数值模拟软件对层状地层中矩形隧洞与对应均质地层中隧洞进行建模、围岩应力对比分析可知：运用Покровский当层法理论将层状地层转换成均质地层进行计算是可行的。

(3)从Покровский当层法理论出发，将层状地层中深埋隧洞转化为均质地层中深埋隧洞，在此基础上利用保角映射工具，将坐标平面z的均质地层中矩形隧洞映射为复平面ζ的单位圆，通过求解解析函数Φ(ζ)和Ψ(ζ)，得出层状地层中深埋隧洞围岩应力。

(4)研究了侧压力系数λ分别为0.15，0.30，0.5，1时对深埋矩形隧洞的影响。λ=0.3时，在矩形隧洞4个角点的切应力低于λ为0.15，0.5，1时的切向应力值。

(5)研究了3种高宽比对隧洞围岩应力的影响：随隧洞高宽比的减小，隧洞洞周4个角点处的切向应力值越来越大。

(6)研究了边界力对深埋矩形隧洞的影响。在选取的3种不同竖向应力中，边界上竖向应力越大，隧洞洞周4个角点处切向应力值越大。