以教材为蓝本对一道习题的纠错与思考

江苏省苏州第一中学 (215000) 王 耀

笔者在高考复习时，给学生布置了一道习题，遗憾的是这道求最值的小题让不少同学犯错，下面笔者针对这道问题开展纠错工作，并结合教材内容，对问题从多角度分析．现将教学过程以及点滴思考整理成文，与读者交流，并例举几道相似题供读者品评．

2.问题探究

数学解题是一个严谨而细致的过程，需要循序渐进去分析，如果一个细节没有把握好，都会导致失误．笔者罗列了学生的典型错误，具体分析过程如下：

2.1 典型错解分析

这个错误容易让人联想到2013年全国高考(新课标I理科卷)的一道考题：设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.

事实上，在分析无理函数的最值时，首先应进行宏观分析，运用观察法，若具有明显的单调性，那么问题就在很大程度上被简化了，本题的分析过程也不例外，同样可以先观察，再分析，即如下解法：

图1

评注1：这里要说明的是由上面2013年高考题的分析也可利用求导数的方法求最值或者取值范围.

分析：在处理动态范围的填空题时，数与形之间的转化也是学生习惯思考的方向，但是必须时刻留意变量的范围，这种错误的根源也是在于非等价转化，且忽视检验造成失误.针对这种问题，“形”的思路可用下面的解法5或6两种方法，“数”的运算过程可以用解法7来完善：

图2

图3

2.2 其他解法赏析

众所周知，苏教版这套教材，跟以前的传统教材相比，在必修4中，第一章和第三章是三角函数，第二章是向量，这样的教材设计在证明两角和与差的余弦公式时，通过构造向量的数量积来证明，既方便快捷，且又能很好地锻炼学生的数学思维，那么文中研究的这个问题也能采用向量作为研究手段进行.

图4

教材中，在第126页上有份阅读材料介绍万能代换公式，其本质上即为通过利用二倍角的三角函数公式时，进行“齐次化”转化，从而可用一个角的正切去表示二倍角的三角函数，这也是平时习题中教材用到的解题思路，充分体现了三角函数公式之间的和谐统一.

评注2：解法9体现了“齐次化”这个数学转化思维的优势，在处理二元不等式的最值问题时，也通常会采用这样的转化策略，从而可进行“减元”操作，即如下解法10.

3 解法运用

众所周知，会一题而通一类是数学解题的目标. 上文中，对一道习题进行了细致的错因分析和方法纠错，体现了不同的解题思维在数学解题中的统一美、和谐美. 同时，笔者也认为，对这道习题的深入思考，可以解决一系列本质相似的问题，例举几道试题如下：

(2)若方程|x2-2x-1|-t=0有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4，且x1

图5

4 题后感悟

感悟1 以发展的眼光看教材

数学解题教学是数学教学工作中的一项艰巨而重要的任务，尤其是面对像高考这种选拔性的考试，高考试题的命制理念之一就是试题源于教材，又要高于课本，显而易见，高三一轮的复习过程中，应注意尽量不留死角，特别要关注教材，以教材为蓝本帮助学生数学建好知识框架，文中研究的这道小题，对数学教学回归教材、理解数学有着极好的引导作用．具体而言，理解数学要“把书读薄”，即要明白知识的核心和本质是什么，不同知识结构之间的联系，对教材内容的结构发展有着深刻的认识，充分明白数学教材中关键知识点之间的相互转化过程．

因此，在教学中，教师要了解教材中的知识体系结构，深谙个中的关系，善于探究结构的“起源”或“发生”方法，通过转换结构达到可理解性，促使学生完善、改良和发展对结构的认知能力，并自觉地指导和帮助学生认识问题，参悟本质，形成思维；作为求知者，学生要从被动的解题中解放出来，知晓知识的来龙去脉，深究核心知识的数学本质，从而做到了然于心，方能运用自如．

感悟2 用创新的思维看问题

数学问题总是千变万化，解一题并通一类，是数学解题的终极目标．作为教者，首先要更新观念，多学习，多思考、多准备，充分做到备教材、备学生、备教法. 具体而言，要想提升解题教学的效果，首先，教师应善于研究学生的思考方式值得仔细研究，它既是学生学习和解决问题的核心要素．本文以一道填空题为切入点，沿着学生的思路引导学生展开思考，探究解法，通过评析问题并解释清楚其中的方法内涵，让学生知晓解题思维的切入点、关键点，实现试题研究价值的最大化，实乃题目虽小，其容乃大.

再者，教者应善于通过渗透数学思想达到优化解题思维的目的，分析一些经典的数学思想方法，让学生能够发现和体会，加强知识的梳理及应用，这样提高知识运用效率，提升思维品质. 上文中，笔者从多视角切入分析并提供了多种解法，思维方式各不相同，解法也各具特点．这种多角度审视的原则，既能从纵向上追溯教材知识体系的认知与梳理，也能在横向上加强知识点间的联系与转化，对加深对经典数学思想的理解与运用将大有裨益．