福建省南平第一中学 (353000) 陈晓铃
图1
题目(2018年高考浙江卷)如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB的中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)略.
本题内涵丰富,意境深邃,值得深入探究.以下是由本题第(1)小题引发的一系列探究.
问题1本题(1)的结论是关于特殊的抛物线C:y2=4x的一个性质,对于一般的抛物线C:y2=2px(p>0),此结论是否仍然成立?
结论1 已知点P是y轴左侧一点,抛物线C:y2=2px(p>0)上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上,设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴.
类似地,可得
结论2 已知点P是x轴下方一点,抛物线C:x2=2py(p>0)上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上,设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴.
2探究极限位置:由“割线”到“切线”
问题2上述结论涉及从抛物线外一点出发的两条割线的性质,那么对于这两条割线的极限位置,即当割线演变为切线时,有什么相应的结论?
结论3 已知P是抛物线C:y2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点,直线PA,PB分别与抛物线C相切于点A,B,设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴,且抛物线C平分线段PM.
类似地,可得
结论4已知P是抛物线C:x2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点,直线PA,PB分别与抛物线C相切于点A,B,设AB的中点为M,则PM平行于抛物线C的对称轴,且抛物线C平分线段PM.
由结论4可得,若线段AB的中点M的横坐标为xM,则点P的横坐标xP=xM,且点A,M,B的横坐标成等差数列,从而可得点A,P,B的横坐标成等差数列.这就是2008年全国高考山东卷(理)题22第(1)小题的结论:
图2
如图2,设抛物线方程为x2=2py(p>0),P为直线y=-2p上任意一点,过点P引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)、(3)略.
问题3 在上述结论中,设P是抛物线C外(不含焦点的区域)一点,点M在弦AB上,记①直线PA是抛物线C的切线;②直线PB是抛物线C的切线;③M是弦AB的中点;④PM平行于抛物线C的对称轴;⑤抛物线C平分线段PM.则结论3、4即①②③⟹④⑤,那么其逆命题:②④⑤⟹①③成立吗?
结论5 已知P是抛物线C:y2=2px(p>0)外(不含焦点的区域)一点,直线PB是抛物线C的切线,点M在弦AB上,PM平行于抛物线C的对称轴且被抛物线C平分,则M是弦AB的中点,且直线PA是抛物线C的切线.
类似地,对于抛物线C:x2=2py(p>0),可得
结论6 已知P是抛物线C:x2=2py(p>0)外(不含焦点的区域)一点,直线PB是抛物线C的切线,点M在弦AB上,PM平行于抛物线C的对称轴且被抛物线C平分,则M是弦AB的中点,且直线PA是抛物线C的切线.
图3
以上对一道高考试题进行多向探究,得到了关于抛物线的一系列性质.高考试题是命题者心血和智慧的结晶,是命题者留给我们的一笔宝贵“财富”.我们不仅要研究试题的解法,还要引导学生探究隐藏在试题背后的奥秘,发掘试题的内涵,发现新的规律.只有这样,才能领会到试题的深刻背景,才能引领学生跳出题海,做到触类旁通、举一反三,从而培育和提升学生的数学学科核心素养.