一道立体几何高考题的多种解法

江西省高安市第二中学 (330800) 张克勤

2020年全国Ⅰ卷数学(理)第18题，由于该题考查的图形是立体几何中的圆锥，可以非常好的选择建立空间直角坐标系来解决该题的第(2)问，本文给出不同于参考答案的另外两种解法.

图1

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

图2

E(-2a,0,0)，所以

评注：解法一是命题者提供的参考答案，通过建系，利用空间向量关系求解，解法自然常规，但运算量较大.

图3

评注：解法二是利用向量的数量积的定义求解.相对解法一更加简化，无需建系求坐标，但用到向量的加减运算和数乘以及二面角平面角的定义，这些也是教材中的基础内容.

图4

评注：解法三直接利用余弦定理，无需建系求坐标，也不需要用到向量的加减运算和数乘，但要求在空间图形中寻找到二面角相应的平面角，这正是回归立体几何教学的本位，更凸观立体几何教学的核心素养目标.