2020年全国Ⅰ卷导数压轴题的命题手法探究*

福建省福清市教师进修学校 (350300) 李云杰 福建省福清第三中学 (350315) 何 灯

2020年高考数学试题设计围绕高中数学的核心内容，坚持素养导向、能力为重的命题原则，注重基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用.2020年的高考已经落下了帷幕，很多省份将迎来新高考，这给我们带来机遇的同时，也带来了挑战.如何从容应对？笔者认为，加强试题研讨，不失为应对挑战的有效方法.

下面笔者以2020年全国Ⅰ卷理科数学导数压轴题为例，探究其命题手法，借助此手法，实现试题的一般性拓展.文中所述只是笔者对命题者命题过程的思考、揣测、推演，可能并非命题者的命题意图，仅供读者参考.

试题已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

本题主要考查导数函数的单调性、不等式的恒成立等基础知识，以及推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，同时考查函数与方程的思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想和逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

1.解法探究

(1)过程略.

2.手法探究

解法二采用分离参数法，将不等式恒等变形为a≥g(x)，其中g(x)的导函数可进行因式分解，其中一个因式是关于x的一次表达式，另外一个因式符号恒定，从而可求g(x)的最大值.由解法二的过程，逆向推演，不难猜测命题者的命题手法.

第一步:寻找一个在区间[0,+∞)上符号恒定的函数h(x)，命题者取h(x)=2ex-x2-2x-2.

第五步：进行合理设问.为了体现题目的梯度，一道试题几个设问往往具有一定的相关性，设问与设问之间呈现层层递进的关系，前一个设问常常是后一个设问的台阶，为后面问题的解答提供思考方向，埋下伏笔[1].为了证明2ex-x2-2x-2≥0，需要构造函数F(x)=2ex-x2-2x-2，研究其图象的特性.由于F(x)与f(x)的形式相近，为了降低题目难度且呈现设问的相关性，命题者设定第(1)小题研究函数f(x)的单调性，为证明F(x)≥0埋下伏笔.

3.试题拓展

基于上述命题手法的分析，笔者得到原试题第(2)小题的如下拓展结论.

(ⅰ)若x=0，则λ∈R.

4.解后反思

本题在考查学生的思维能力、实践能力和创新意识等方面起到一定的作用.笔者认为通过试题解析，是数学学科“立德树人”的具体体现[2].学生通过研磨数学试题，有助于形成理性思维，树立科学精神与科学态度，从而促进智力发展，并形成正确的人生观、价值观、世界观[3].这种基于探究策略的试题研究，对提升数学教师的专业素养，提高审题能力、解题能力、析题能力、说题能力、变题能力、命题能力和教题能力也有极大的裨益.