放缩法在高考不等式恒成立问题中的应用*

福建省石狮市第一中学 (362700) 莫伟昌

不等式恒成立问题是高考导数解答题中常见的题型，因其常同时包含超越函数结构(指数、对数等)和非超越函数结构，使得直接构造出的函数难以直接求出最值，导致问题无法解决，因而它被认为是高中数学最具区分度的问题之一.

解决此类问题的策略一般有三：一是将变量分离，构造函数求最值；二是将不等式变形，使不等号两边的结构相同，构造函数，用单调性的性质把复杂的不等式转化到简单的不等式来处理；三是利用不等式把复杂的不等式，转化到较简单的不等式来处理.本文尝试用第三个策略求解此类问题.

1.恒成立求参数范围问题

问题1 (2020年新高考全国I卷21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(I)当a=e时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(II)若f(x)≥1，求a的取值范围.

分析：(I)过程略；(II)为不等式恒成立问题，同时存在指数和对数结构，且含有参数，若直接求f(x)的最小值，其难度可想而知，不应该作为首选的方法.

通过分析f(x)≥1的等价变形得elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，发现不等式两边为相同的结构，构造函数g(x)=ex+x，f(x)≥1等价于g(lna+x-1)≥g(lnx)，因其为增函数，故f(x)≥1最终等价于lna+x-1≥lnx，再分离参数，求出新函数h(x)=lnx-x+1最大值(h(x)max=0)，问题即可解决.此为同构法.

将f(x)≥1的指数和对数结构分到不等式两边为ex+lna-1≥lnx-lna+1.通过分析发现，两边的对应函数都为增函数，左边的是凹函数，右边的是凸函数，据此可推断，两函数之间存在一直线将两函数图像隔开；又联想到两个不等式“ex≥x+1”、“x-1≥lnx”，即有ex+lna-1≥x+lna和x-lna≥lnx-lna+1，又y=x+lna和y=x-lna斜率一样，而且lna=0时，对应直线为两函数图像的公切线，即原不等式等号成立，也就是lna不同取值可以涵盖ex+lna-1≥lnx-lna+1成立的所有情况(图像相离到相切)，故f(x)≥1必等价于ex+lna-1≥x+lna≥x-lna≥lnx-lna+1，即lna≥0,∴a≥1.此为放缩法.

从以上分析可以看出，第一种方法是通法，思路简单，但执行难度非常大；第二种方法是巧法，思路较为复杂，但比较容易执行；第三种方法也是巧法，思路相对复杂，解答过程较简单.

2.恒成立证明问题

问题2 (2013年高考全国新课标II卷理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(I)当x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)单调性；(II)当m≤2，证明f(x)>0.

分析：(I)过程略；(II)最直接的思路是求出f(x)的最小值并证明其大于0，但这会非常繁杂，不作为首选的方法；同样，难以变形出两个相同的结构，同构法不再适用.

分析f(x)>0的等价形式ex>ln(x+m)，两边都为增函数，但其凹凸性相反，故可推断两函数图像存在直线将两图像分开，联想到不等式“ex≥x+1”、“x-1≥lnx”，故有猜想ex≥x+1≥x+m-1≥ln(x+m)，而当m≤2时恰有x+1≥x+m-1，猜想成立.又因为ex≥x+1和x+m-1≥ln(x+m)等号成立的条件不同，故ex>ln(x+m)，得证.

分析：(I)过程略；(II)最直接的思路是求出f(x)的最小值并证明其大于等于0，但这会非常繁杂，不作为首选的方法；同样，难以变形出两个相同的结构，同构法不再适用.

经过以上分析，放缩在这两个问题，起着至关重要的作用，特别是问题3的第一次放缩，直接把参数去掉，大大降低了问题的难度.实际上，问题2可以做类似的放缩，把参数消掉，但去掉参数后求最值的过程并不容易，还是进行第二次放缩更为简单.

3.放缩法的本质和使用条件

放缩法的作用就是把复杂的不等式变为较简单得不等式.问题3的第一次放缩是必不可少的，也是理所当然的.而问题1中选择的“ex≥x+1”和“x-1≥lnx放缩，却有两个理由：一是相关的两函数凹凸性不同——这是选择放缩的前提；二是选择这两个不等式来放缩后，原不等式的“大于或等于”都能覆盖完整(如e2x+ln2a≥lnx-lna恒成立，则应该选择ex≥x+1和2x-1-ln2≥lnx来放缩)，其他的放缩方式则不能做到.

实际上，对于恒成立的证明问题来说，只要能证明原不等式成立，选择哪一个不等式，放缩多少次，都是可以的，当然是越简单越好；但对于可以用放缩求参数范围的问题来说，则放缩的不等式必须符合问题1中的分析要求.