2020年全国高考数学Ⅲ(理)23题的解法探究

广东省广州市铁一中学 (511447) 范 群

1 试题呈现

2 试题证明

首先证明第(1)题：

证法1：因为a+b+c=0，abc=1，可见a,b,c不全相等，a,b,c均不为零，a,b,c中一正两负，不妨设a0，可见ab+bc+ca<0.

证法4：构造三次函数y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，不妨设y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，即y=f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3+(ab+bc+ca)x-1，显然，f(x)在[a,b],[b,c]上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知f′(x)在(a,b)中至少一个零点，在(b,c)中至少一个零点，可见，f′(x)一共至少两个零点，而f′(x)=3x2+(ab+bc+ca)，令f′(x)=0，显然当且仅当ab+bc+ca<0时，f′(x)最多有两个零，此时必有ab+bc+ca<0.

现证明第(2)题：