本原性问题驱动初中数学概念教学——以“探索三角形全等的条件（一）”教学为例

江苏省苏州市吴江区实验初级中学 吴晓丽

一、教材内容

1.教材分析

本节课是这一单元的第一个课时，主要是探索三角形全等条件，而在掌握了图形的全等、全等三角形的概念和性质之后，要去探索三角形全等所需要的条件是什么，得出条件之一是“边角边”，这为后续探索三角形全等的其他条件以及三角形相似的条件都提供了依据和方法。

2.学情分析

该初中的教学设备都十分齐全，学生的学习基础也都比较好，并且都具备一些简单的画图能力，但是对于如何进行有序分类以及有条理地探索全等条件，都缺乏一些体验和领悟。

二、教学重难点

教学重点：熟悉三角形全等条件的探索过程，并且理解掌握三角形全等的“边角边”条件。

教学难点：对三角形全等的条件进行分类探索。

三、教学工具

三角形教具、多媒体、几何画板、磁力棒和透明纸。

四、教学过程

（一）创设情境，概念的引入

1.情境一：找一找

教师：（在黑板上贴一些三角形）同学们，这些三角形中只有一个三角形和老师手中的三角形全等，请找出来并验证。

学生1：找到三角形并在黑板上运用叠合法进行验证。

教师：在叠合时发现这两个三角形完全____，那什么叫全等三角形？

2.情境二：贴一贴

教师：（老师把手中的三角形也贴在黑板上）我只提供直尺和量角器，那怎么来判定这两个三角形全等呢？

教师：需要几个条件？

学生2：三条边分别相等，三组角分别相等，一共需要6 个条件。

教师：今天我们来探索“三角形全等的条件（一）”，有没有不同想法？

学生3：条件越少越好。

学生4：1 个。

【设计意图】通过“找一找”，我设计了“其中只有一个三角形和老师手中的三角形全等，请找出来并验证”这个预设性本原问题，帮助学生更好地理解和掌握了数学知识——全等三角形的本质；通过“贴一贴”，提出了“那怎么来判定这两个三角形全等呢”，在这个问题的驱动下，带来了学生3 的生成“条件越少越好”，让学生能够在利用原有的认知去解决问题的过程中发现一些新的问题，从而产生进一步探究问题的欲望。

（二）深入探索，概念的形成

1.探索一：一个条件

教师：只给一个条件。一个条件有可能是什么？

学生齐答：边或角。

教师：已知一条边，你能画出多少个三角形？它们全等吗？能画出完全重合的吗？

学生5：无数个，不全等，能。

教师：有不全等，有全等，那到底该怎么说呢？

学生6：不一定全等。

教师：很好，已知一个角，你们能得出什么结论？

学生7：一角相等的两个三角形不一定全等。

【设计意图】通过预设性本原问题：“一个条件有可能是什么？”“已知一个角，你们能得出什么结论？”让学生能够体会到在数学学习的过程中最为原始、朴素、本质的分类与类比的方法，获得基本的数学活动经验，对于一个条件的探索进行了一种低层次的感知。

2.探索二：两个条件

教师：只给两个条件，可能出现哪几种情况呢？

学生8：两边，两角，一边一角。

教师：好，下面我们以小组为单位讨论能不能判断全等，若不能，请举出反例。

学生以小组为单位开始讨论，教师巡视。

学生9：两条边分别相等，但两条边的夹角可大可小，所以不一定全等。（拿着圆规演示）

学生10：两个角分别相等，甚至三个角分别相等，但不全等。（手里拿着一个三角板，一边说一边指三角形的内外两个角）

学生11：一边一角确定了，可其他的边或角没法确定，所以不一定全等。

教师：若给定一个三角形的两个数据：一边长12cm，一个角60°，为了方便操作，把每个组发的这根磁力棒作为12cm 的边，在试卷上用磁力棒摆一摆，铅笔连一连，能画出怎样的三角形？

学生在摆一摆时，教师在黑板上画两个60°的角。

学生12 上黑板演示。

教师：这位同学把磁力棒放在这个角的一边上，还有其他情况吗？（停顿片刻）

学生13：这个磁力棒可以放在这个角的对边。（上黑板演示）

教师：黑板上的这两个三角形形状一样吗？

学生齐答：不一样。

【设计意图】通过预设性的本原性问题“下面我们以小组为单位讨论能不能判断全等，若不能，请举出反例”，让课堂教学围绕问题展开，用问题引领学生思维。

3.探索三：三个条件

教师：只给三个条件，可能出现哪几种情况呢？

学生14：三边，三角，两角一边，两边一角。

教师：能否再分得具体点？三边不能再分了，三角也不能再分了，两角一边呢？

教师：（在黑板上画了一个三角形ABC）你们会选择怎样的两边和一角呢？

学生15：我选边AB、边BC 和∠ABC。

教师：你选的这个角是这两条边的夹角，这种位置关系叫两边一夹角（板书）。同学们，还可以怎么选？

学生16：我选边AB、边AC 和∠A。

教师：同学们，有何不同意见？

学生17：他选的也是两边一夹角，我选边AB、边AC 和∠B。这个角不是两条边的夹角，而是其中一边的对角，两边一对角。（教师板书）

教师：同学们，那你们觉得两角一边该怎么分？

学生齐答：两角一夹边，两角一对边。

【设计意图】通过我设计的本原性问题“能否再分得具体点”，关于所给的三个条件的分类，分类的思想方法已经渗透到了最高点，也就能自然学成。但是在这之中，两边一角的分类是一个难点，于是我在这里设置了一些必要的问题，通过生成的本原性问题引领学生思维，有效激发学生理解和体验学习主题。

（三）实验探究，概念的确立

1.实验一：按照学生喜欢的数据来画

教师：今天我们重点研究：两边一夹角分别相等的两个三角形全等吗？

学生18：两条边确定了，它们的夹角确定了，那整个三角形也就确定了。

教师：说得很好。那我们利用作图来验证一下。现在请每组确定好本组画图的统一标准，画在透明纸上，验证与其他同学的三角形是否重合，能得出什么结论？

学生19：我们选的数据是两边分别为3 厘米、4 厘米，两边夹角为90°，我们发现所画的三角形能够完全重合。（实物投影展示）

教师：有没有组选的数据夹角是钝角或锐角的？

学生上台展示并得出结论：能完全重合。

2.实验二：几何画板演示

教师：你们的数据能否再特殊点？（老师提前用几何画板制作了可以任意输入两边和一夹角的数据的小程序）

学生20、学生21、学生22试了一些烦琐的数据，均发现完全重合。

3.实验三：画两边和夹角均为字母的三角形

教师：数据举不完啊！

学生23：老师，我们能不能引用字母来表示边和角啊？这样举例太烦了。

教师：那我们用a，b 分别表示两条边长，用∠a 表示夹角，请同学们在透明纸上画图，看能否完全重合？请班长到每组收集，并上台展示。

学生发现所画的三角形能够完全重合。

综上所述，运用本原性问题这个方法去驱动数学概念教学，创造并设置一些有关概念本质的问题情境，然后再运用反映概念本质的一系列问题（本原性问题）去驱动课堂中教与学的活动，并一层层、一步步地揭示概念背后的本质观念和科学方法，确实能够很有效地激发学生加深对学习内容本质的理解，不仅提升了基础知识和基本技能，也提升了数学学科素养，从而也就拥有了之后发展的可塑性。而教师能否把握到位也是一大挑战，还可以形成新的思考，比如：预设性的本原性问题如何进行推广？生成性的本原性问题如何熟练地捕捉？