浅谈数学教学中的几种变式训练

刘文梅

【摘要】本文结合实际情况及笔者自身的教学经验，从“多题一解”“一法多用”“一题多用”“一题多变”“一解多用”這几个方面谈了自己在初中数学教学中的一些实际做法，以促进初中数学教学实践的发展，促进学生掌握更多的数学知识和基本技能，提高其自身的数学学习效率与学习能力.

【关键词】初中数学;变式训练;多题一解;一法多用;一题多变;一题多用

变式训练是数学教学中的一种常用的有效方法，能有效培养学生思维的灵活性、化归性和迁移性，同时提高学生的发散思维能力.在实际教学中，教师要按照学生的认知规律和年龄特点，对教学内容分层设计，做到由低至高、由浅入深，采用适度的“变式”练习，使学生正确理解、有效提炼和合理组织数学知识，并能运用数学知识去解决现实中的实际问题.通过变式，数学活动有效真实，学生能够真正学到知识，提高自身的学习能力.下面笔者结合实际情况及自身的教学经验，从“多题一解”“一法多用”“一题多用”“一题多变”“一解多用”这几个方面来谈谈自己在初中数学教学中的一些实际做法.

一、变式训练的定义

变式训练是指在实际教学中，根据学生的兴趣、水平、能力与身心实际状况，站在不同角度对数学概念、公式以及问题等实现改变，只转变条件和问题，而其本质不会发生变化，使学生深入理解和掌握数学知识与解题方法，学会掌握数学问题的本质的一种有效的训练方式.因此，在实际教学中，教师应充分发挥变式训练的优势和重要作用，切实提升学生的思维能力、自主学习能力及数学学习水平.

二、变式训练的现状

在初中数学实际教学中，变式训练方式已被运用，虽取得了一定的进步，但因受到多种因素的影响，变式训练的优势与深层价值未能发挥.受传统训练方式的影响，有的教师认为变式训练不重要，忽视运用多种变式训练，从而使教学效率降低，学生的能力得不到提高.

三、变式训练的策略

1.多题一解

在初中数学中利用多题一解的方式，能激活学生的思维，发展其智力，使其抓住题目的本质，触类旁通，培养学生的变通能力和思维能力.

例如，在讲授二次函数的解析式时，笔者设置了这样一组变式题目.

例1 已知二次函数的图像经过A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式.

例题的教学一般采取“议一议”“练一练”“指导点拨”“评讲”相结合，着重启发和引导学生如何设出所求函数的解析式、怎样建立方程组及其解决过程与方法.教师可以从例题出发，组织变式训练，进而提高训练效率.

变式1：已知二次函数的图像与x轴，y轴交于A，C两点，且过点B（1，0），求这个二次函数的解析式.

变式2：已知抛物线经过两点B（1，0），C（0，-3），直线x=-1是它的对称轴，求这条抛物线的解析式.

变式3：已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于A（1，m），B（n，4）两点，又经过点（1，0），且在y轴上的截距是 -1，直线x=2是二次函数的对称轴，求这两个函数的解析式.

教师出示变式题后，先让学生读题，了解题目的意思，找出这三道题的异同点，然后让学生分组讨论解答方法，议一议，练一练，解一解，再集体交流解答过程，掌握答题方法.在此过程中，教师在知识的转折点上适当提出一些关键性的问题及时对学生进行点拨，在思路解决上为学生扫除障碍.

具体分析如下：对变式1，先让学生比较它与例题在已知条件上有什么不同，再提出问题：“怎样转化为例题中的方法来求解.”然后讨论思考：“怎样求A，C两点的坐标？”最后写出解答过程.对变式2，引导学生利用对称性，抓住“对称轴是直线x=-1”，求点A的坐标.对变式3，引导学生分析题目，把它分解为下面几个简单的问题：①一次函数的解析式怎么求;②画出草图分析，求m，n的值;③二次函数的解析式是什么（和变式2比较解答）.通过比较、计算、解答，学生能明白这些变式题和例题都是求二次函数的一般式，要先设出它的解析式，代入三点的坐标，利用三点法列出方程组，求得答案.

“多题一解”的变式训练能够强化解题的方法与思想，促进学生智力和思维的发展，培养学生灵活的变通能力，让学生通过“多题一解”抓住问题的本质，触“一”通“类”，提高解题能力.

2. 一法多用

在教学中要有效利用典型例题或习题，通过变式把它们集合在一起，对比分析异同点，归纳总结题目立意、解题思路、策略方法和易产生的误区等，形成同类的异型，同时联系教材各章的知识点进行整合，使学生共同认知知识，掌握方法.虽然题目的知识结构不同，结果也不同，但解决问题的思维方法、解题思路是相同的，以一种题目的解答方法去解决相关的同类型的多个题目，互相转换，培养学生的类比想象能力，提高学生运用与迁移的解题能力.举例如下：

例2 若5x-（3b-3）=2x+（7b+6）的解为非正数，试求实数b的取值范围.

变式1：已知二元一次方程组3x+2y=9 与2x+y=p的解x>0，y<0，求p的取值范围.

变式2：已知方程组4x+5y=31，x+3y-a=0是关于x，y的二元一次方程组，它的解是正整数，求a的整数值.

变式3：已知不等式组y-q>0，3-2y>0是关于y的不等式组，且它的整数解共有5个，求q的取值范围.

比较这些题目，可以看出它们都含有字母，是求一个字母的取值范围的题目，虽然有的是关于方程组的，有的是关于等式的，有的是关于不等式组的，但它们的解题思路和方法基本是一样的，都是通过先解方程组，用所求字母来表示它们的解，再合理转化成不等式求出答案.学生可以通过对“一法多用”的掌握进行“举一反三”的训练.

这样，学生能从多方面理解数学问题，转化概念、原理和问题，从而巩固基础知识，内化知识，轻松获得知识，提高类比想象能力.

3.一题多用

“一题多用”在初中数学教学中能系统化地归纳知识，其是培养学生的应用意识和综合能力的有效途径，也是培養学生的发散性思维能力的最佳方式，帮助学生在发散的多种途径和方法中通过比较判断获得一种最简捷、最合理的方案与结果.因此，在初中数学实际教学中，运用“一题多用”的训练方式能真实有效地指导学生，使学生有效梳理数学概念以及公式等内容，可对同类异型问题进行整理，科学有效地归纳数学解题思想、方法与策略，让学生灵活运用同一知识点有效地解决同类型的问题，提高学生的解题水平和能力，更好地发挥“一题多用”训练方法的重要价值.

例3 已知一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段？

这是七年级数学中我们已解决的问题，易得共有1+2+3+…+（n-2）+（n-1）=n（n-1）/2条线段.运用这个数学模型，可以解决很多数学问题.

例如：

①有50名学生，每两人互握一次手，需握手多少次？

②有甲、乙两个站点，它们之间有5个停靠站，而且每两个站点之间需准备一种车票，则共需准备多少种车票？

③n边形共有多少条对角线？

④现在要选出两名优秀班干部，候选人有9名班干部，由这9人中产生优秀班干部，则甲和乙同时当选的概率是多少？

……

以上一系列问题都可以通过建立这样的数学模型来解决.这种方式培养了学生归纳整理的能力及发散思维能力，还深化了学生建模思想和应用数学模型的意识，最终提高了解题能力与学习效率.

4.一题多变

在初中数学教学过程中，要想培养学生的数学学科素养，就要更好地开展“一题多变”的训练方式，培养学生举一反三的意识与能力，强化学生的实际解题能力，引导他们有效学习与掌握数学问题的解决方法.进行这种训练时，教师应立足教材重点内容，抓住与之关联的数学知识，对数学问题进行有效转变;应结合数学题目中存在的各种条件，通过转变条件与结论，深入探寻题目间的内在联系，对学生进行引导，让学生掌握不同的解题技巧，形成相似问题的解题思路，拓展学生的思维，探索钻研掌握解决相关数学问题的一般解题方法，融会贯通，能迅速、从容地解决问题，为学生今后更好地学习数学创造条件，促进学生的进步及全面发展.例如，在证明平行四边形的中点四边形是平行四边形时，可以通过利用题目中“依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，我们将其称为中点四边形”来证明平行四边形的中点四边形是平行四边形.在此基础上，教师可以再引导学生依次求证矩形的中点四边形是菱形、菱形的中点四边形是矩形、等腰梯形的中点四边形是平行四边形……在这样一系列的证明及证明过程中，学生能不断了解并应用平面图形的特点，循序渐进地培养自身的思维能力，达到举一反三的学习目的，掌握不同的解题技巧，更好地解决数学问题，提升数学学习能力与学习水平.

5.一解多用

在实际教学中常用的方法是“一解多用”.由于初中数学知识点零散、繁杂、抽象，难以理解，加上教材内容具有很大的分散性，所以教师必须采用有效的方式展开教学，合理构建数学知识系统和理论体系，注重全面深入发掘、合理恰当整合、科学有效分析及灵活高效利用教材上的知识点，多对学生进行“一题多练”“一题多用”“一解多用”的训练，对学生进行充分指导，让学生梳理数学概念及公式等内容，充分发挥“一解多用”方法的优势和价值.

在实际开展变式训练的过程中，教师可及时有效地整理同类异型问题，合理归纳解题的方法与策略，借助教材中的典型例题及其他习题，指导学生灵活运用同一数学知识点，解答同一类型数学问题，对数学知识加以有效拓展与延伸，进一步指导学生深入探寻多种不同题目间的相似性与差异性，找出解题过程中的共性，掌握解题思路与方法，最终总结出一套一解多用的模式，帮助学生达到“以不变应万变”的学习目的，从而有效提升学生的数学解题水平.例如，在学习人教版七年级下册“一元一次方程”这一课时的内容后，可进行变式训练，让学生巩固重点知识，并理解其概念，有效合理地梳理本节课的内容，然后采用一解多用的训练方法，让学生充分了解同类异型的数学问题，有效地运用“一元一次方程”的解题方式.又如在学习完概率的内容后，教师出示这样的题目：“被分为六个区域的一个转盘，在两次转动转盘后，指针指向区域一致的概率是多少？”“两枚相同的骰子，如果同时抛掷，所得点数是否有相同的概率？”“在一个箱子中，装有六种不同颜色的小球，从中随机取出一个，记录后放回，再随机抽取一个，两次取到的颜色相同的概率是多少？”等等.这些题目其实都是同种类型的，解答方法和思路基本相同，也就是我们俗称的“换汤不换药”.通过这样的同类型题目，教师指导学生总结规律，找到这类问题的解答方法与思路，以更好地让学生灵活应对多样化的题目，提高解题能力和学习效率.

结 语

综上所述，通过“多题一解”“一法多用”“一题多用”“一题多变”“一解多用”等的变式训练，学生能够有效探索、积极发现、自主设计、主动解决问题的解答过程，多方位、多层次、多角度地认识问题的本质，积极参与实践，更深层次地理解问题，促进和拓展学生的智力、思维和能力的提高，成为创造的主人，实现创新目标，为获得高效课堂的教学效果做好铺垫.

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